培養學生數學推理能力的方法舉隅

陳一葉

2016 年，中國學生發展核心素養研究課題組公布了中國學生發展核心素養總體框架及其基本內涵，將核心素養的概念界定為“學生應具備的、能夠適應終身發展和社會發展需要的必備品格和關鍵能力”。關鍵能力是核心素養的內核，也是學科教學的價值所在。德國教育家梅滕斯認為：關鍵能力是一種普遍的、可遷移的，在個人的工作、個性發展和社會活動等方面起關鍵作用的能力。小學數學學科的關鍵能力主要指運用數學的思維去發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力，具體包括抽象能力、推理能力和數據分析能力等。推理又稱“推論”，是由一個或幾個已知的判斷（前提）推出新判斷（結論）的過程。數學推理能力是學生數學能力的重要組成部分。課標明確指出，通過義務教育階段的數學學習，學生能“在參與觀察、實驗、猜想、證明、綜合實踐等數學活動中，發展合情推理和演繹推理的能力，清晰地表達自己的想法”。研究表明，學生的推理能力隨著年齡的增長而不斷增強。因此，教師在教學中要把握好學生推理能力發展的關鍵期，著力培養學生的推理能力。

1.讓學生經歷知識的“再創造”過程。

荷蘭數學家弗賴登塔爾指出，數學學習唯一正確的方法是“再創造”。教師教學時，要讓學生有足夠的時間和空間經歷觀察、實驗、猜想和推理驗證等活動過程，在學生“再創造”知識的過程中加強他們推理意識和能力的培養，有意識地多讓學生經歷數學推理的過程，引導他們掌握數學推理的一般方法。數學推理的過程一般包括：（1）發現問題。教師要創設合適的情境，學生要能在關聯的情境中發現和提出數學問題，為提出猜想或主張做準備。（2）提出猜想。根據發現的問題，通過合作交流，最終提出共同的研究對象——猜想。（3）進行論證。小學生進行論證一般都是運用類比或歸納等合情推理，合情推理不一定保證猜想的正確性，但它是發現新知識的重要手段，有利于培養學生的創新能力。當然，小學階段也要有意識地滲透運用數學概念、規則等進行演繹推理的方法。

2.讓學生深刻理解知識本質。

美國心理學家奧蘇伯爾提出了有意義學習的基本條件，其中關鍵是學生已有知識與新知之間能建立非人為的實質性聯系，這種非人為的實質性聯系是數學推理的重要基礎。知識的表層結構難以讓學生產生聯想及直覺，日本數學家小平邦彥說過，數學是需要深刻理解的學問，要理解數學就必須根據數學直覺掌握具體的數學對象。而數學直覺主要指對數學對象內隱的整體性、次序性的領悟。

例如：教學“3 的倍數的特征”，如果僅僅依靠“撥珠聽聲”和觀察百數表就得出用各個數位上的數的和來判斷能否被3 整除，這只是知識表層的教學，而一個數的倍數的本質是數的組成。如果一個數是abcd，可以寫成a×1000＋b×100＋c×10＋d×1，因為10、100、1000……除以3都余1，所以，各個數位上的數是幾，除以3后就余幾（如5000÷3余5，余數5比3大，可以再除以3，余2），把各個數位上的數除以3 得到的余數加起來就是a＋b＋c＋d，如果a＋b＋c＋d 的和能被3整除，那這個數就能被3整除。筆者在教學中發現，有學生甚至還發現了更簡單的規律，即如果某個數位上的數大于3，還可以除以3，使余數小于3，這樣加起來的和比較小，更容易判斷，如4585 這個數，按照一般的方法用4＋5＋8＋5=22 來判斷，但學生發現各個數位上的數都比3 大，還可以進一步除以3，余數分別變成1、2、2、2，加起來更容易判斷。雖然這樣的方法并不一定比一般方法簡單，卻是學生在把握原理的基礎上通過推理“創造”出來的。對學生來講，只有經歷了真正的推理過程，才可能有這樣與教材不一樣的創新。

3.加強學生對整體性知識的建構。

如果把知識的表層結構和內隱結構看作知識的縱向結構，那么知識與知識之間的聯系就是橫向結構。在小學數學教學中，歸納和類比是十分重要的推理方式，知識間的橫向結構有利于學生應用類比的方法進行推理。這是因為橫向結構的知識往往都有一些學科中的共同要素，這些知識在學科本質上有共同性，在思維方式上有同一性，在學習方式上具有共同特征，因而學生往往可以利用這些相似的特征進行類比推理。數學推理不僅要有猜想和驗證，更要有思辨與批評、證明與反駁。

例如：教學“2 和5 的倍數的特征”時，教師讓學生先觀察圖1。學生通過觀察數的組成，可以發現如果整十數和整百數都能被2 和5 整除，剩下的就只要看個位能否被2和5整除。同理，在探究“3 的倍數的特征”時，就可以利用探究“2、5 的倍數的特征”時采用的方法，通過類比推理來發現“3 的倍數的特征”。而后，教師要注意引導學生反思這兩個規律的探究過程，找到解決此類問題的共同方法——觀察數的組成。

總之，數學推理是數學知識形成的認知方式，也是學生數學關鍵能力的重要體現，教師教學時應注重讓學生經歷知識產生的過程，經歷觀察、猜想、驗證與反思的過程，促進學生深刻理解知識本質、建構整體性知識，從而不斷提高學生的數學推理能力。