向結論更深處追尋數學的深度
——《3的倍數的特征》教學

李翠紅 姚俊俊

【課前思考】

人教版《3 的倍數的特征》的編排注重學法指導，通過小組合作在《百數表》中觀察、發現形成猜想，并進一步驗證猜想，由此形成結論：3 的倍數各個數位上數的和是3 的倍數，并把研究的數從《百數表》中3 的倍數擴展到“任意幾個3 的倍數”等。但是否絕大多數學生都能通過觀察形成這樣的猜想？還是直接根據同伴的結論來進行驗證？結論背后所承載的算理都理解了嗎？于是，筆者有了以下慎思。

慎思之一： 如何確定學習起點和學習難點。

《3 的倍數的特征》教學是順著學生研究2、5 的倍數的特征的經驗，引導學生在《百數表》上進行研究。通過觀察學生自主探究活動的情況發現，由于先前學習2、5 的倍數的特征主要看個位，因此學生很自然地希望通過觀察個位的規律來判斷一個數是否為3 的倍數，但發現在《百數表》上橫著看3 的倍數的個位上的數可以是任意數。原先的方法行不通了，那么應該怎么引導學生發現3 的倍數的特征呢？找到了學生的學習起點，也就找到了解決問題的鑰匙。如何突破難點，將學生的觀察引導到各個數位的數字上來，教師可以借助計數器，讓學生來撥數，教師通過聽計數器珠子落下的聲音次數來判斷是否是3 的倍數，將問題的關鍵引導到觀察各個數位的數字上去，再通過同伴間的討論，得到猜想：3 的倍數是否與各個數位上數的和有關。

慎思之二： 如何引導學生深度學習，理解結論背后的算理。

學生驗證了“3 的倍數的特征”這一結論后，運用特征來進行數學知識應用，用卡片組數、快速判斷等環節就是運用所學知識把結論進行驗證和應用。而學生是否知其然更知其所以然呢？教師要讓學生在理解的基礎上進行深度學習，開展深層次的思考，教師進一步啟發學生思考：“3 的倍數為什么會有這樣的特征呢？”問題是學生好奇心的表現，也是激發學生學習的原動力。課堂以探究問題為抓手，以問題來驅動引導學生深度學習。以數字24 為例，從各個數位的數字之和的角度思考，為什么是3 的倍數？可以組織學生通過小組合作探究，通過拆數：24=2×10+4，24=2×9+2+4，2×9必定是3 的倍數，那么2+4 恰好是各數位的數字之和，如果是3的倍數，整個數也就是3 的倍數了。于是，學生也就從本質上理解了3 的倍數的特征了。

慎思之三： 如何完善知識結構，溝通新舊知識聯系。

掌握了“3 的倍數的特征”后，學生發現此特征與先前學習的“2、5 的倍數的特征”初看不具有統一性，思考角度不同，一個通過個位數字來判斷，而另一個通過觀察各數位數字之和來判斷。但再進行深層次探究，引導學生嘗試用同樣的思路來研究2、5 的倍數的特征，學生也能悟出類似的道理：百位、十位上的幾百、幾十一定是2、5 的倍數，如果個位上的數也是2、5 的倍數，這個數就是2、5 的倍數，所以2、5 的倍數的特征只看個位就可以了。這樣把2、5 的倍數的特征與3 的倍數的特征從本質上統一起來。盡管特征的表述看似完全不同，但其判斷的準則是一致的，從而在更深層次上引領學生進行知識建構，將新知納入原有的認知結構中，形成新舊知識間的溝通與聯系。

【教學過程】

一、激趣導入

競猜活動：學生隨便說一個數，教師判斷是不是3 的倍數。

二、自主學習

師：請你寫出100 以內3 的倍數，寫完后觀察這些數，你有什么發現？同桌相互說一說。

三、合作探究

師：我們知道，判斷一個數能否被2、5 整除，只看它個位上的數就可以了。那么，判斷一個數能否被3 整除，是不是像2 和5 一樣也只看個位就行了呢？我們不妨試試看。

師：請每位同學找兩個被3整除的數，觀察這些數的個位，你發現了什么？（指名匯報）

生：沒有規律。

電子商務的概念最早來源于美國，主要是將線下商務機會與互聯網相互結合，讓互聯網成為線下交易平臺，這是一種全新的商業模式。也是對傳統經營模式的一種考驗與挑戰，同時也需要依靠傳統模式為基礎進行支撐。在消費者的心理，連鎖企業統一的品牌、良好的形象以及規范的服務早就已經深入人心。但是很多連鎖企業卻安于現狀，沒有緊跟時代發展的步伐進行不斷的完善與創新，通過整合自身資源在互聯網的輔助下增強自身實力。因此，連鎖企業的經營管理創新需要互聯網的幫助，才能實現經營模式的全面創新。

師：從這些數中，我們可以看出，3 的倍數的個位上可以是任何數，我們無法確定個位上是幾，是嗎？所以，光憑看個位的“經驗”是行不通的，那3 的倍數到底有沒有特征呢？現在我們再來試一試。這樣，我們交換一下角色，你來問我來答，好嗎？請中間一大組的同學在計數器上隨便撥一個多位數，要求一顆一顆地撥，看我能否準確而迅速地判斷該數能不能被3 整除，其余的同學當評委來算一算，判斷我說得對不對。（師生互動）

師：我剛才之所以能準確而迅速地判斷出一個數是3 的倍數，是因為3 的倍數具有一定的特征，這個特征到底是什么呢？有關結論的獲得，我為你們提供了兩條途徑，請選擇：1.由我直接告訴你；2.由你和你的小組成員在操作中探索獲取。

師：好！老師就為你們的探索引條路，請看屏幕：（課件出示）

請各小組拿出數字卡片，用卡片按一定順序組數，使組成的數不重復、不遺漏。試算一下，組成的這些數都能不能被3 整除？

每組兩位同學用卡片擺數，一位做記錄，一位負責用計算器計算，看看你們會有什么發現？

（教師根據學生的匯報適時板書）

師：同學們先看前兩組數，回想一下，我們在用卡片組數時什么發生了變化？也就是無論數位怎么變化，都不影響它是否為3的倍數，是不是？由此可見，是否為3 的倍數與這個數的“數位”有沒有關系？那與什么有關呢？對！與組成這個數的幾個數字有關，到底與數字的什么有關呢？

師：請大家認真看黑板上的這三組數，邊觀察邊思考，大膽猜想，有一定的想法后與小組成員交流一下，看哪一組能得到最有價值的猜想。

師：先獨立思考后小組討論，再進行匯報交流。

師：剛才這只是我們的猜想，它是否完善還需要我們進一步地去驗證，現在請各學習小組按要求驗證：聽好分工，一位同學任意說一個多位數，一位同學計算，一位同學判斷，一位同學做好記錄，看看同學們的猜想能否得到驗證。

師：得到驗證了嗎？說明我們的猜想是正確的！能被3 整除的數為什么有這樣的特征呢？請同學們舉例來說明。

四、鞏固練習

1.完成教材第10 頁的“做一做”。

2.要使下面的數是3 的倍數，□中有幾種填法？

□7 4□2

3.按要求填數。

（1）56□，使其成為2、3 的倍數。

（2）117□，使其同時是2、3、5 的倍數。

（學生獨立完成，鼓勵學生不但會做，還要善于發現方法）

4.請同學們每人寫出5 個能被3 整除的數，寫完后交給同桌，相互判斷，并糾錯。

五、全課總結（略）

【課后反思】

一節課結束了，但研究還遠遠沒有結束，課后我給學生布置了課堂作業：

1.為什么2 和5 的倍數只看個位上的數就可以了？

2.尋找9 的倍數的特征。把你的想法寫一寫，畫一畫。

學生有了課堂上的研究經驗，有了對知識的透徹理解，才能舉一反三，研究出更多的背后的算理，把知識學得通透、明白。下課了，學生感嘆：“本來以為學習數的知識會很枯燥，沒想到這么有意思，我喜歡這樣的數學課?！蔽翌D時覺得這就應該是數學課本來該有的樣子吧！

數學是一門高度抽象的學科，如果一節課僅僅停留在知識層面：知道3 的倍數的特征并會進行判斷，學生的分析、判斷、推理能力就得不到有效提升。應該讓學生在教師用心設置的教學情境中悟出數學之趣，產生一探究竟的迫切愿望，主動地投入深度學習之中。如果忽視學生的學習起點和難點，學生心中的疑惑得不到有效的解答，課堂中學生就會在難點中迷失方向，失去思考的動力，變得沒有信心，不愛思考。在數學教學中還有許多的規律、公式，如果教師也都因為其“規定性”覺得沒有什么可講，就直接把結論告訴學生了，顯然從促進學生持續發展的角度來看，這樣的教學遠遠不夠。如果教師能帶領學生在教學過程中清晰地感受到結論背后的原因，看清了背后的本質，這樣的過程應該帶給學生的不只是知識上的收獲，更重要的是讓他們真切地感受到數學是有溫度的，而不是一串串冷冰冰的數字和公式。探尋3 的倍數的特征背后的奧秘，弄清為什么不同數位上的數字可以相加的道理，由本溯源，解答學生心中的疑惑，讓學生感受到數學的奇妙，感受到思考帶來的樂趣，感受數學的深度和溫度。