關于研究地下水運動的方法探討

郭倩，王超，都蘭

（1.內蒙古環科園環境科技有限責任公司，呼和浩特010011；2.內蒙古生態環境科學研究院有限公司，呼和浩特010011；3.內蒙古自治區環境科學研究院，呼和浩特010011）

1 研究地下水運動的主要方法

1.1 數學模型法

運用該方法首先需要將現實中復雜的水文地質條件概化為水文地質概念模型，該概念模型應對所要表述的實際地下水流運動狀態具有較高的仿真度，并且能夠通過已知的一些數學工具來進行定量表述，這一定量表述的結果即為水文地質模型對應的數學模型。成功運用該方法的關鍵在于水文地質模型的建立，如果建立的水文地質模型與實際情況相符性較差，用其數學模型求解出的結果就不能用來準確表征研究區域的地下水運動規律，甚至與實際大相徑庭，而對于數學模型的解算，純粹屬于計算方法的問題。

對于描述同一個水文地質模型，可根據實際生產需要的不同要求，建立不同類型的數學模型。本次簡單論述幾類常見的數學模型，包括線性模型與非線性模型、靜態模型與動態模型、集中參數模型與分布參數模型、確定性模型與隨機模型、黑箱模型與白箱模型。

1.1.1 線性模型與非線性模型

非線性模型指反映自變量與依變量間非線性關系的數學表達式，它相對于線性模型而言，其依變量與自變量間不能在坐標空間表示為線性對應關系。在描述地下水運動規律中，線性模型與非線性模型的劃分依據是模型中變量的階次，線性模型是指該數學模型由線性微分方程與線性定解條件組成，不符合該組成條件的則為非線性模型。在地下水的飽和流計算過程中，大多數情況下可以用線性模型來定量描述承壓水，而對于潛水模型而言，除了一些特殊情形，如在某種近似表達的意義下，近似用線性模型來定量描述，其他條件下均屬于非線性模型。

1.1.2 靜態模型與動態模型

靜態模型與動態模型是根據模型中的變量與時間是否有關來劃分的，靜態模型是指模型中的變量與時間無關，動態模型則是指模型中的變量與時間有關。在地下水的飽和流計算過程中，穩定流是流動系統中各物理量的大小僅隨位置變化，不隨時間變化，因此用來表示穩定流的模型屬于靜態模型，非穩定流是流動系統中各物理量的大小不僅隨位置變化，而且隨時間變化，因此用來表示非穩定流的模型屬于動態模型。

1.1.3 集中參數模型與分布參數模型

集中參數模型與分布參數模型是根據模型中是否含有空間變量來進行劃分的。集中參數模型是指模型中各變量與空間位置無關，變量在整個系統中是均一的，在穩態模型中，這種表述為代數方程，在動態模型中，這種表述則為常微分方程。分布參數模型是指模型中至少有一個變量與空間位置有關，在穩態模型中，這種表述為空間自變量的常微分方程，在動態模型中，這種表述則為空間、時間自變量的偏微分方程。比如《地下水動力學》中利用最小二乘法配置的井涌水量與降深之間的經驗公式，屬于集中參數模型，而裘布依模型、泰斯模型、紐曼模型等，均屬于分布參數模型。

1.1.4 確定性模型與隨機模型

確定性模型與隨機模型是根據模型中變量的取值性質來進行劃分的。確定性模型是一個由完全肯定的函數關系所決定的數學模型，模型中的變量只能取確定的值，可用解析法、數值法和電模擬法求解。隨機模型亦稱“非確定的、概率的模型”，模型中的變量只知其取值的概率。比如當水均衡要素不作為隨機變量處理時，水均衡方程式所描述的模型屬于確定性模型，否則為隨機模型。

1.1.5 黑箱模型與白箱模型

黑箱模型與白箱模型是根據模型本身所描述的對象來進行劃分的。黑箱模型是指在模型中僅僅關注實體與外界的信息交換，而不考慮實體內部的性質與結構。白箱模型是指需同時關注實體與外界的信息交換以及實體內部的性質與結構。比如研究一個泉域，若只研究泉域的降雨補給量與泉的排泄量之間的關系，而不考慮泉域含水層本身的賦存條件，該數學模型屬于黑箱模型；若同時考慮泉域與外界的交換條件與規律以及泉域含水層本身的賦存規律，則屬于白箱模型。

1.2 物理模型法

物理模型法與數學模型法相同的是，兩種方法均是將現實中復雜的水文地質條件概化為簡單的水文地質模型，不同的是，數學模型法是通過求解數學模型來研究地下水的運動規律，而物理模型法則是通過比擬水文地質模型，建立起相似的物理模型來研究地下水流的運動規律。

2 地下水流模型的求解方法

2.1 解析法

解析法是指利用數學上的積分法或積分變換等方法直接求解數學模型，得出的解即為解析解，它是數學模型的精確解。

該種方法的優勢在于可以把表征地下水運動規律的各種物理量與激發條件、時空變化包含在一個表達式中，用數學分析的方法去求解各個物理量之間的相互聯系與相互制約的內在規律，求出的解可以直接、精確的用于分析地下水的運動規律及變化特征。同時，該種方法的局限性又表現在如下幾個方面：

（1）由于數學模型的適用條件較為苛刻，使得其很難準確描述自然界復雜的水文地質邊界條件，有時可以用數學表達式來描述概化后的邊界條件，但結果可能已嚴重偏離實際的水文地質問題。

（2）在處理含水層的非均質性、各向異性、線狀補給及局部面狀補給的問題時較為困難。解析法只能處理均質含水層且含水層的主滲流方向不變條件下的地下水流問題，但自然界中由于地質環境的變化，不存在嚴格意義上的均質含水層，而且往往在研究區域含水層的主滲流方向隨空間變化，因此無法求得解析解。例如在潛水含水層中，如果涉及有渠道或河流的線狀補給或地表水體的局部面狀補給問題時，現有典型模型的解析解也無法用來描述此類復雜條件下地下水的運動規律。

2.2 數值模擬法

由于復雜條件下解析解的仿真度較低，并且隨著電子計算機的極速發展，數值模擬方法在實際處理復雜地下水流運動中表現出了其優越性。用數值模擬方法求出的解稱為數值解，離散化方法是求解各種分布參數模型數值解的基本方法。主要包括有限差分法及有限元法。

2.2.1 有限差分法

有限差分法是指求偏微分（或常微分）方程和方程組定解問題的數值解。在地下水流系統中，就是按一定的方式把所研究的滲流區域離散成很多但有限的小均衡域，在滿足一定的精度條件下，每個小均衡域內的各種參數均視為常數，小均衡域內的水頭以其中心點的水頭作為代表，相鄰小均衡域間的水頭變化近似看成是線性變化。有限差分法求出的解為地下水流系統離散點上的近似值，而不是精確解。

2.2.2有限元法

有限元法是指通過剖分插值把區域連續求解的微分方程離散成求解線性代數方程組，用近似解來代替精確解。由于所依據的原理不同，有限元法可劃分為變分有限元法、伽遼金有限元法及均衡有限元法等，盡管依據原理不同，但在求解相同條件下的地下水滲流問題時，最終得到的線性方程組均是一致的。

3 結論

實際情況下，地下水流運動是復雜多變的，描述其運動規律的方法也多種多樣，但是在解決實際問題時，需要綜合考慮多方面的因素，選擇較為符合實際的方法，才能得到我們所期望的結果