基于Henstock積分在區(qū)間子列上的可和性研究*

李 偉

(集美大學(xué)理學(xué)院, 福建 廈門 361021)

20世紀(jì)初，在測(cè)度理論[1]基礎(chǔ)上建立的Lebesgue積分[2](簡(jiǎn)稱L-積分)，是經(jīng)典積分理論的突破，它為現(xiàn)代實(shí)函數(shù)論的研究奠定了基礎(chǔ)[3]．但是，由于L-積分是絕對(duì)型的，即“f∈L?|f|>∈L”,使得L-可積范圍受到了限制，例如，廣義黎曼可積不一定是L-可積，由此可見，L-積分還存在一定的局限性．1912年，Denjoy從函數(shù)的可微性和ACG*性質(zhì)出發(fā)，定義了Denjoy積分[4](簡(jiǎn)稱D-積分)，1914年，Perron定義了Perron積分[4](簡(jiǎn)稱P-積分)．1921年，人們證明了D-積分與P-積分其實(shí)是等價(jià)的，并證明了它們是Riemann積分[5](簡(jiǎn)稱R-積分)的全部推廣，且各自均包容了L-積分．這種積分的本質(zhì)是非絕對(duì)型的，因此，也稱之為非絕對(duì)型積分[6]．但由于D-積分和P-積分的定義非常繁雜，這樣就給積分理論的推廣及應(yīng)用帶來(lái)了諸多困難．1957年、1958年，J．kurzweil和R．Henstock分別獨(dú)立地給出了一種完全Riemann型的積分，稱之為kurzweil-Henstock積分[7,8]，簡(jiǎn)稱Henstock積分(簡(jiǎn)記為H-積分)．20世紀(jì)80年代初，人們證明了“H=D=P”．由于Henstock積分無(wú)需用到繁雜的測(cè)度理論，加之又是Riemann型的，因此，它的出現(xiàn)讓積分理論充滿了生機(jī)，使得對(duì)有關(guān)理論的研究和應(yīng)用煥然一新[9，10]．

本文就非絕對(duì)型Henstock積分理論進(jìn)行研究．首先闡述δ(x)精細(xì)分法及Henstock積分概念，然后引進(jìn)區(qū)間[a,b]上的非絕對(duì)型Henstock積分的有限可和性等性質(zhì)定理，進(jìn)而在Henstock引理等有關(guān)理論基礎(chǔ)上，給出Henstock積分在區(qū)間子列上的可和性的定理(定理6)，并給予詳細(xì)證明．

1 定義及其預(yù)備知識(shí)

定義1[7]區(qū)間[a,b]上給出正值函數(shù)δ(x)>0，所謂在區(qū)間[a,b]上的分法T是δ(x)精細(xì)的，是指T的有序分點(diǎn)：a=x0

ξi∈[xi-1,xi]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi)), (i=1,2,…,n)．

可以看出所謂[a,b]上的δ(x)精細(xì)分法T，是區(qū)間[xi-1,xi]與ξi所組成的集偶：

{([xi-1,xi],ξi)，i=1,2,…,n}，

它滿足：

2)[xi-1,xi]兩兩無(wú)公共內(nèi)點(diǎn)；

3)ξi∈[xi-1,xi]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi))．

因此，以后提到區(qū)間[a,b]上的δ(x)精細(xì)分法T，有時(shí)可直接寫為：

{([xi-1,xi],ξi)，i=1,2,…,n}，

為避免產(chǎn)生誤解，簡(jiǎn)寫為：

{([u,v],ξ)} 或 {[u,v],ξ}．

定義2[7]設(shè)函數(shù)f(x)定義于區(qū)間[a,b]，若存在常數(shù)I，滿足下列關(guān)系：對(duì)任給的ε>0，存在δ(x)>0，對(duì)任何δ(x)精細(xì)分法T，其分點(diǎn)為：a=x0

(*)

則稱f(x)在[a,b]上是Henstock意義下可積，簡(jiǎn)稱H-可積的，且I稱為f(x)在[a,b]上的H-積分，記為：

以上Henstock積分稱為廣義Riemann積分；也稱為完全Riemann積分．

這個(gè)積分定義不同于Riemann積分定義，主要在于它的積分和并不要求對(duì)所有充分細(xì)密分法及一切ξi∈[xi-1,xi]都能使(*)式滿足，而僅僅是要求對(duì)于任何δ(x)精細(xì)分法中相應(yīng)的分點(diǎn)xi與結(jié)點(diǎn)ξi使(*)式滿足就夠了．這樣減弱了對(duì)分法及ξ選擇的要求，就有可能使本來(lái)不是Riemann可積的函數(shù)，成為Henstock可積的函數(shù)．

定理1[8]若函數(shù)f1(x)、f2(x)在[a,b]上Henstock可積，k為實(shí)數(shù)，則f1(x)+f2(x)和kf1(x)在[a,b]上也是Henstock可積的，且：

定理2設(shè)u

證明：令f=fX[u,w]+fX[w,v]，其中X[u,w]和X[w,v]分別為[u,w]上和[w,v]上的特征函數(shù)，則定理的結(jié)論由定理1即可得證．

定理3[8](H-積分的有限可和性)設(shè){[ai,bi]}為[a,b]中互不相重的有限區(qū)間列，且[a,b]=

定理4[8](Henstock引理) 設(shè)g(x)是區(qū)間[a,b]上的Henstock可積函數(shù)，且存在原函數(shù)G(x)，即

則對(duì)任給ε>0，存在δ(x)>0，使得對(duì)[a,b]上的任何δ(x)精細(xì)子分法，即

a≤a1

且：ξi∈[ai,bi]?(ξi-δ(ξi),ξi+δ(ξi))．(注意，所謂精細(xì)子分法是不要求[a,b]=∪[ai,bi]的精細(xì)分法．)有：

定理5[11]設(shè)F(x)在[a,b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)在每個(gè)[c,d]?[a,b]上的Henstock原函數(shù)，則F(x)也是f(x)在[a,b]上的Henstock原函數(shù)．

2 定理及其證明

定理6 設(shè)E是一個(gè)有界閉集，a，b分別是其下、上確界，{Ik}是[a,b]內(nèi)連接于E的區(qū)間列．如果f(x)在E和每個(gè)Ik上H-可積，且

則f(x)在I=[a,b]上H-可積，且

其中O(H,f,Ik)為f(x)的原函數(shù)Fk在Ik上的振幅，簡(jiǎn)記為Ok．

證明：當(dāng)Ik為有限時(shí)，由Henstock引理立即得證．下面假設(shè)Ik(k=1,2,…)為無(wú)限序列．

任給ε>0，由定理5，因f(x)在Ik=[ak,bk]上H-可積，故在Ik上存在δk(ξ)>0，存在Ik上定義的實(shí)函數(shù)Fk，對(duì)所有的Ik上的δk精細(xì)分法D，有

|∑kf(ξ)(v-u)-Fk(IK)|> < 2-Kε．

(1)

因Fk在Ik上的振幅Ok=O(H,f,Ik)組成的級(jí)數(shù)收斂，故存在N，使得

(2)

|∑*f(ξ)(v-u)-A
|> <ε．

(3)

注意，這里ξ∈E．還要求當(dāng)ξ≠a、b、ak、bk(k=1,2,…,N)時(shí)，滿足

在[a,b]上定義δ(ξ)為

任作δ-精細(xì)分法D，注意到

(ⅰ)對(duì)于k≤N，ak,bk必屬于分點(diǎn)集{ξ}，對(duì)于端點(diǎn)ak，當(dāng)其不是分法區(qū)間端點(diǎn)時(shí)，即：

ak∈(u,v)?[ak-δ(ak),ak+δ(ak)]，將[u,v]分為[u,ak]與[ak,v]；

對(duì)于bk也作類似的分解，分解后仍是δ-精細(xì)分法，且∑f(ξ)(v-u)的值不變．由此必有子族

{[u,v]；[u,v]?(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ)，ξ∈[ak,bk]}覆蓋[ak,bk]，k=1,2,…,N；

(ⅱ)分解后的δ-精細(xì)分法還必有子族

{[u,v]；[u,v]?(ξ-δ(ξ),ξ+δ(ξ)，ξ∈E}覆蓋E；

(ⅲ)對(duì)于k>N，可能沒有分法D中的ξ∈(ak,bk)，但如果有若干ξ∈(ak,bk)，則它們必相鄰．

由于|∑kf(ξ)(v-u)-Fk(ak,bk)|>表示ξ∈[ak,bk] (k≤N)的部分和，由(1)知小于2-kε，因此

(4)

|∑*f(ξ)(v-u)-A|>表示ξ∈E中的部分和，由(3)知小于ε；

∑k*[f(ξ)(v-u)-Fk(u,v)]表示[ak,bk]上δk精細(xì)分法中的部分和(如果沒有則為0)，由Henstock引理，|∑k*[f(ξ)(v-u)-Fk(u,v)|><2·2-kε，因此

(5)

于是：

ε+ε+2ε+2ε=6ε．

證畢．

該定理說(shuō)明：前述的有限可和性定理成為該定理的推論．