一類具有Hilbert核非正則型奇異積分方程的直接解法*

李凱雅,魏 鑫

(1.天津職業(yè)技術師范大學理學院，天津 300222；2.西安石油大學理學院，陜西 西安 710065)

引言

奇異積分方程作為近代應用數(shù)學的一個重要組成部分，已廣泛應用于材料力學、斷裂力學、工程學、自然科學、醫(yī)學等領域.對積分方程理論的研究，主要是研究其求解方法，包括直接解法，數(shù)值解法，逼近解等，最后給出可解條件及解的一般形式.本文把文獻[1,2,3]中直接解法的思想用于在周期彈性力學等可以廣泛應用的Hilbert核的奇異積分方程中.

Cauchy核奇異積分方程表示如下：

(1)

圖1 周期帶形 圖2 基本域

由于L為D1上的任意弧段，則根據(jù)文獻[1]，有如下兩個引理：

引理1[1](推廣的Plemelj公式)設g(t)∈H，以2π為周期，而

(2)

引理2 (周期形式的推廣的留數(shù)定理)設周期函數(shù)f(z)在無窮遠處有界，在D1內有孤立奇點

z1,z2,…,zM，而在L1{0}上有極點t1,t2,…,tN，階數(shù)分別為n1,n2,…,nN，以及在[0,2π)上有極點

x1,x2,…,xK，階數(shù)分別為k1,k2,…，kK，又

(3)

則

(4)

1 問題的提出

現(xiàn)討論特征方程在非正則情況下的直接解法，即(5)式的直接解法：

(5)

本文討論A(z)±B(z)無相同零點的非正則型的情況，允許在[0,2π]上出現(xiàn)非正則型的單零點.

2 問題的解決

根據(jù)Cauchy核的奇異積分方程直接解法[2]的路線來討論問題(5).設A(z)，B(z)，f(z)如前所示.問題的關鍵是A(z)±B(z)零點的分布，再設:

因此有：

本文僅限于所有αk≠βj的情況.此外，還假定f′(t)∈H，并要求方程(5)的連續(xù)解φ(t)∈H.令

(6)

(7)

再代入(6)式，則有：

(8)

I1+I2+I3+I4

(9)

(10)

應該注意，為了保證φ(t)在L上連續(xù)，根據(jù)方程(7)，必須

(11)

則方程(10)可以寫為：

(12)

于是，為使方程(5)可解，以下三個條件必須滿足：

(Ⅰ)當把z=βj(j=1,2,…,n) 代入(12)及其直到μj-1階導數(shù)時，式子兩邊不能出現(xiàn)矛盾；

(Ⅲ)在(12)左邊令z→βj(z∈D+,j=n+1,n+2,…,n+q)時，必須確保(11)成立.

(13)

(14)

式中k=m+1,m+2,…,m+p.(13)、(14)合在一起是{Cjr}的一線方程組.因此，條件(Ⅱ)相當于條件(Ⅱ)0. 由(13)、(14)組成的關于{Cjr}的方程組相容.

下面驗證條件(Ⅲ)是無條件成立的.

所以條件(Ⅲ)無條件成立.

這時，在(12)中令z→t取邊值(根據(jù)引理1，對F+(t)的Plemelj公式成立，且Φ+(t)∈H)，所以有：

(15)

式中:

(16)

2)當C2=1時，需要C1=0才可得到φ(t)的表達式：

(17)

式中C為任意常數(shù).

綜上所述，便得以下定理.