弗賴登塔爾的數學教育思想及其再發展

王海青　曹廣福

摘? 要：數學化、數學現實與有指導的再創造體現了數學教育家弗賴登塔爾的重要教育思想. 此外，強調教充滿聯系的整體知識結構也是弗賴登塔爾數學教育思想的重要組成部分. 在現今學校按學科教學又注重STEM教育的大環境下，注重對知識整體結構的獲得有助于學生更好地理解知識的本質并促進學習的遷移. 問題驅動教學與發生教學法可以看作是對弗賴登塔爾數學教育思想的具體實踐和進一步發展，它們強調揭示數學知識的教學價值與本質，注重教學生學會思考.

關鍵詞：弗賴登塔爾;數學化;問題驅動;HPM思想;發生教學法

一、弗賴登塔爾的數學教育思想再探

著名荷蘭數學教育家弗賴登塔爾（Freudenthal H，1905—1990）對數學教育有著特別的理解，其著作《作為教育任務的數學》《數學教育再探》《播種與除草》集中闡述了他的數學教育思想，核心觀點體現在三個方面——數學化、數學現實、有指導的再創造.

20世紀末，荷蘭的弗賴登塔爾數學研究所根據其教育理念開發了一套高中數學教材并用于課堂實驗. 教材編寫確立了5個具體目標：揭示數學與物理、化學和生物科學之間的聯系;掌握物理、化學和生物科學所需要的基本數學語言;理解數學無論過去和現在都是一項人類活動;運用圖形計算器和Cabri等數學軟件;實現數學化. 實驗教材編寫目標反映了數學作為人類的一項活動與現實世界的密切聯系，強調每個知識點的教學都要充分考慮數學與現實的聯系，并通過“數學化”來組織教學. 研讀弗賴登塔爾的數學教育專著與其實驗教材編寫的目標，發現數學化、數學現實與有指導的再創造是弗賴登塔爾數學教育思想的重要體現. 除此以外，強調對學習材料進行整體設計以突出相互間的聯系也是弗賴登塔爾數學教育思想的重要組成部分，這一點在以往的相關研究中較少提及.

1. 數學教育思想1——數學化

初等數學的知識體系與現實世界密切相關，大都能在實際生活中找到相應的背景或問題. 因此，對數學基礎的建立最適合的開始應該是常識. 這里的常識是指學習者的數學經驗或生活經驗. 也就是說教學應結合學生的實際提出問題，并建立起與數學的聯系，進而運用數學的思想方法分析和解決問題，揭示規律或本質、形成概念或原理，即用數學方法把實際材料組織起來，這個過程被稱為“數學化”.“實際材料”或問題情境除了日常生活實際背景，還有自然科學情境或純數學情境. 弗賴登塔爾強調任何數學都是數學化的結果，學數學就應該是體驗數學化的過程.

數學化分為橫向數學化與縱向數學化，或稱之為水平生活化與垂直生活化. 將現實世界的問題抽象為數學的模型或圖式（函數或方程、代數符號、路線圖、幾何圖形、表格等）的過程稱為橫向數學化;運用數學的思想與方法處理數學問題的過程稱為縱向數學化. 也就是說，橫向數學化就是將實際問題轉化為數學問題，建立起數學與外部世界的聯系;縱向數學化是從不同角度、利用不同方式表征數學問題，用多種方法分析和解決問題以抽象歸納出一般規律揭示本質的過程，是在數學內部建立起豐富聯系. 由此可見，橫向數學化與縱向數學化是教學組織過程中密不可分的有機整體.

2. 數學教育思想2——數學現實

數學教學數學化是將現實數學化——現實的許多片斷. 這里的現實是指學生自己的數學現實（Realistic Mathematics Education，簡稱RME），是每個人所接觸到的客觀世界中的數學規律及有關這些規律的數學知識結構，也就是學生已有的生活經驗和數學基礎. 數學化教學的過程是在教師的引導下學生根據自己的數學現實處理實際問題，進一步組織、抽象、擴展，從而形成新的數學現實的過程.

因此，數學的學習應該是從現實情境開始的探索活動. 自然地，數學教學則需要從學生的數學現實而非形式化的數學系統出發生成知識、習得思想. 依據數學知識產生的背景，提供給學生探索的現實情境或材料可以有來自日常生活、自然科學或者數學本身的情境，但都應該是學生能理解和接受的真實情境. 真實的數學活動有助于促進學生的有效學習，實現學生對知識的靈活運用與遷移.

3. 數學教育思想3——有指導的再創造

根據數學公理化的特征，數學教材基本上是以邏輯的形式化的演繹體系呈現，按照概念、定理、性質與法則、例題與習題的順序編寫教材內容，而知識產生與思想形成的原因，以及數學家在解決各種問題過程中所反映出來的研究精神與思維品質等則鮮有見之. 正如弗賴登塔爾所言，沒有一種數學思想，以它被發現時的那個樣子發表出來. 一個問題被解決以后，相應地發展成一種形式化的技巧，結果使得火熱的思考變成了冰冷的美麗.

弗賴登塔爾主張教師結合數學史來重新組織教材內容以更加適合學生的學習，并將數學作為一種活動進行分析和解釋. 建立在這一基礎上的教學方法稱為再創造. 依據歷史再創造教材內容并非要重復人類的全部學習過程，而是讓學生經歷經過改良且有更好引導意義的歷史過程，重走歷史上數學知識產生的幾個重要步驟. 也就是說教學過程應反映在教師的指導下學生面對新情境是怎樣運用已有的知識結構分析問題和解決問題，并發現和歸納出新知識的過程.

4. 數學教育思想4——整體設計

數學化、數學現實、有指導的再創造，三個核心思想彼此相互實現、互為融合. 數學化是最重要的數學教學方式，讓學生經歷數學化的過程首先需要教師依據數學史剖析教材內容對其進行重組再創造，并結合學生的數學現實創設適當的問題情境，引導學生在情境中進行探究活動并經歷完整的數學化過程. 為了促進學習的有效遷移，在橫向數學化與縱向數學化的過程中，教師要突出知識間的豐富聯系，重視對數學整體結構的教學. 換句話說，弗賴登塔爾的數學教育思想中也蘊含了深刻的整體教學觀念.

（1）教充滿聯系的數學.

強調按各個課時的內容邏輯來設計的教學往往會導致知識的片斷化與碎片化. 教材的編寫重視數學內部的聯系以構建單元知識結構，卻又犧牲了數學與外部的聯系. 與外部相關的情境即便是有，也更像是起點綴作用的布景，與數學真正的聯系很少. 弗賴登塔爾贊成人們學習的每件事情都應該是充滿聯系的，認為教學不要教孤立的片斷，而要教連貫的材料. 連貫的材料是指具有多方面聯系的、符合學生數學現實的材料. 學生獲得有豐富聯系的與現實有關的知識，才能形成良好的認知結構有助于長時記憶，才能有效培養學生的應用意識促進學習的遷移.

弗賴登塔爾所指的聯系涉及兩個方面：數學學科內部之間的聯系，數學與外部的聯系. 他把學習過程作為一個整體進行考慮，認為學習各要素的結合應當被組織得盡可能早、盡可能長和盡可能強. 例如，函數、圖象、方程應該看作是交織纏繞在一起的各個學習分支，而代數與幾何之間的互動交織也不必只限定在解析幾何上. 但是弗賴登塔爾強調數學概念與原理的教學要先考慮數學與學生的生活現實及數學基礎的聯系. 與數學聯系的外部現實內容可以是日常生活的、自然的、物理的、化學的或者數學本身的材料. 教師在具體教學中要做的是引領學生在現實中“做數學”“用數學”，逐步發展為充滿聯系的看似與現實沒有聯系的形式化數學體系. 教充滿聯系的數學也就是要讓學生充分經歷橫向數學化與縱向數學化的過程.

（2）按照數學的整體結構進行教學.

弗賴登塔爾認為，傳統的教學理論主要聚焦于局部分析具體的教學內容，還沒有按照數學的整體結構來進行教學. 即便是現在，一線的數學教學情況似乎也沒有太大的改觀. 數學依附于現實，因此數學的整體結構也應該存在于現實之中. 這里的整體結構不是指數學已有的現成的演繹體系，而是學生隨著學習過程中數學的發展而不斷發展變化的動態的整體知識結構，它應與現實世界充滿各種有機聯系. 強調按照數學的整體結構來進行教學的實質就是要結合學生的數學現實教充滿各種聯系的數學，才能使學生獲得一個隨著學習不斷更新優化的、與現實密切結合的整體知識結構，并將之應用于現實. 需再次明確的是，這里的現實是指學生已有的生活經驗與數學知識基礎.

怎樣才是按照數學的整體結構來進行教學呢？弗賴登塔爾指出，數學化地組織一個教學內容或一個領域是最為正確的方式. 因為將數學解釋為一種活動的話，就必須通過數學化來教數學、學數學. 先利用恰當的現實問題情境（數學內容的或者是非數學內容的）建立起現實世界與數學世界的初步聯系，通過建模將要學習的內容與數學內部或外部聯系起來. 這個過程也就是橫向數學化的過程. 僅滿足于現實情境與數學的聯系顯然是不夠的. 下一步是引導學生利用類比、歸納、演繹等方式經歷抽象化、形式化的過程，將新的知識在數學內部建立起各種關系，使之有機融入舊的知識體系，進而形成新的整體認知結構. 這就是縱向數學化的過程，是更高一級的在數學的形式體系上的聯系. 沒有經歷從現實世界到數學世界的建模過程，就沒有經歷真正的橫向數學化，獲得的知識難以應用于實際. 而沒有經過深度的縱向數學化使概念與原理在數學內部建立緊密的聯系，習得的知識將是一盤散沙. 用數學化組織一個領域，有助于學生整體地看待數學知識與把握知識間的聯系，既見“樹木”又見“森林”. 通過數學化組織一個領域，學生習得的整體知識結構才是牢靠的、靈活的和可利用的，既可以在數學內部自由轉換，又可以應用于現實解決問題.

如果說數學化是數學教學最重要甚至是唯一的方式，實施數學化的途徑是結合歷史和學生的數學現實對教學內容的再創造，那么“教學內容是否充滿了各種聯系”與“是否被有機地組織到所處的領域”則是判斷橫向數學化與縱向數學化程度的重要指標，是判斷學生所習得的數學整體知識結構是否完善的重要標準. 換言之，教師依據數學史與學生的數學現實對教學內容進行再創造，以數學化的方式組織教學，其目標是要教給學生充滿聯系的數學，并能將之有效整合到所處的領域. 在當今按學科、模塊、知識點教學的學校教育大環境下，強調以單元為主體對教學內容進行整體設計能解決課時之間的零散性與知識之間的孤立性、單元之間的割裂性與學科之間的無關聯性等問題，從而更好地揭示知識的本質、突出思想與應用，有助于學生把握知識的整體結構，促進學習的遷移并養成STEM素養. 因此，弗賴登塔爾的整體教學觀念對于如今的基礎教育數學課程與教學改革依然有重要的啟示和參考作用.

二、弗賴登塔爾數學教育思想的再發展

1. HPM思想與發生教學法

數學史與數學教學關系國際研究小組（International Study Group on the Relations between History and Pedagogy of Mathematics，簡稱HPM）成立于1972年的第二屆國際數學教育大會. 在國內，關于HPM思想與教學的研究成果主要集結在著作《HPM：數學史與數學教育》中，作者對HPM的歷史淵源、哲學基礎及相應的教學法進行了深入研究與探索，并開發出大量數學教學案例. HPM思想強調數學教學應該重走發現之路. 法國數學家龐加萊（H.Poincaré，1854—1912）就認為，數學課程的內容應完全按照數學史上同樣內容的發展順序展現給學生. Radford等根據歷史發生原理和學習心理學理論提出了基于歷史的課堂活動設計方法的理論框架，如圖1所示. 指出數學教學設計要整體思考數學的歷史發展、教學的方法與學生的心理三個方面.

HPM研究的主要目標是通過數學史了解知識產生的過程與數學家所遇到的困難，從而獲得啟示，更好地組織教材內容以適合學生的學習，這與弗賴登塔爾的再創造思想恰好有著共通之處. HPM主張用發生教學法（the genetic approach to teaching and learning）組織數學教學，通過數學史尋找學生學習的最佳方式. 發生教學法繼承了邏輯演繹和歷史方法論的優點，既重視演繹的結果，也強調產生結果的問題本源. 它通過梳理歷史整體理解數學知識與思想的生成過程，以及蘊含其中的重要價值，進而根據問題重構教材內容組織教學. 發生教學法一般遵循以下幾個步驟：了解所講授主題的歷史;確定歷史發展過程中的關鍵環節;重構這些環節，使其適合課堂教學;設計出一系列由易至難的問題，后面的問題應建立在前面問題的基礎之上. 因此，發生教學法重視依據歷史設計問題序列，重視問題驅動與問題解決，由問題導出結論. 運用發生教學法進行數學教學與組織，要求教師具備一定的數學史知識，并且具有恰當選擇數學史材料、將史料轉化為學生能理解的學習材料、將數學史料與教學內容有機融合促進教學的能力.

2. 問題驅動教學法

數學具有二重性：以符號化、抽象化、形式化表現出來的“冰冷”數學結果和數學家在發現問題、分析問題與解決問題時所表現出來的“火熱”思考過程. 數學教材則基本上按照概念、定理、性質與法則、例題與習題的順序呈現教學內容. 這使學生在一系列嚴謹的、形式化的知識堆砌中難以體會到數學知識間所蘊含的豐富聯系及其重要價值和作用，不知數學知識從何而來為何而去，因而有了數學無用的論調. 但數學并不是按照現在教材中的方式發展的. 問題是促進學科發展的原始動力，數學也不例外. M.克萊因（Morris Kline，1908—1992）就曾指出，每一個數學分支均是為攻克一類問題而發展起來的. 因此，以問題驅動教學，能再現數學“火熱”的思考過程，教師引導學生在問題空間中探索生成概念與原理、習得思想與方法，在抽象一般規律揭示本質的過程中教學生學會思考. 張奠宙先生在90年代就倡導以問題驅動的新概念數學，李大潛院士也提倡在應用數學研究領域要重視問題驅動，由問題推動科學研究，《問題驅動的中學數學課堂教學·理論與實踐卷》一書更是對問題驅動數學教學進行了系統闡述.

問題驅動教學法的關鍵是教師能否依據歷史為教學內容創設合適的問題及情境. 從歷史發展來看，數學是在解決各種現實問題和內部邏輯矛盾的過程中不斷形成、發展和完善的，但外部動因是數學最根本的發展動力. 因此，驅動數學教學的問題可以是生活問題、現實問題或數學問題，只要它是具有啟發性的、本原性的、觸及數學本質的、能夠在教學中起統帥作用的問題. 但是問題不等于問題情境，只有當學生有解決它的欲望時，問題才能構成問題情境. 因此，教師還要結合學生的數學現實——已有的生活經驗和數學基礎，創設能激發學生興趣和求知欲望的情境材料，并將數學問題有機融入相應的情境當中. 所創設的問題情境是否真實有效就看它是否具有一定的生活意義、數學價值或科學價值.

問題驅動教學強調圍繞能反映數學本質的核心問題展開教學探究活動，并將問題寓于學生能理解的情境之中，引導并啟發學生在發現與提出問題、分析與解決問題的過程中生成數學知識與思想方法. 這里的問題是指促成數學知識形成的本原性問題，而不是為啟發學生思考或突破教學重、難點而設置的一系列環環相扣的問題鏈. 兩者本質不同但也有密切聯系. 為引導學生對核心問題進行有效探究，教師在組織教學的過程中需要根據學生的反應設置有針對性的、有啟發性的和有前后邏輯關系的一個個小問題，即問題鏈，將大的核心問題轉化為有遞進關系的小問題來解決.

3. 弗賴登塔爾數學教育思想與發生教學法、問題驅動教學法的關系

數學化、數學現實、再創造和整體設計是弗賴登塔爾的主要數學教育理論觀點，強調對數學本原的探求. 弗賴登塔爾冀望教師依據歷史結合學生實際重組教材，讓學生在做數學、用數學的過程中獲得數學，實現對數學的有限再創造. 因此，發生教學法和問題驅動教學法是弗賴登塔爾數學教育思想在教學中的兩種具體實踐方式，也是對其思想的進一步發展. 兩者都強調學生在教師的引導下對數學知識進行有限的再創造，生成新知并揭示其思想.

問題驅動教學法與發生教學法有著緊密聯系，但是也各有側重. 首先，兩者重視對數學內容本質的剖析與其背后思想及方法的挖掘;其次，兩者強調數學史對教學的重要指導作用，重視從歷史中獲得啟示預測學生可能發生的學習困難與障礙，進而再創造教材內容確定教學思路;再次，兩者注重通過數學化來揭示數學本質，反映數學的規律性與思想性. 最后，兩者都關注學生的數學現實對教學的影響作用，重視對教學問題及其情境的設計，并引領學生經歷再發現、再創造數學的過程.

但是發生教學法主要是通過梳理歷史以整體理解知識的生成過程，進而以邏輯的、更符合學生認知規律或特點的方式開展教學，意在如何教. 而問題驅動教學法則是通過追溯歷史揭示知識背后的思想與價值，挖掘其產生的背景、緣由及其與其他知識間的聯系，強調為什么教. 進而基于對數學史和教材內容的理解設置合適的問題情境，把教材上數學的學術形態轉化為學生容易接受的教育形態，從關注為什么教轉向如何教. 此外，雖然兩種教學法都強調對問題的設計，但問題的涵義不盡相同. 發生教學法強調問題驅動與問題序列，這里的問題是一系列由易至難的問題，是層層遞進的問題鏈. 問題驅動教學法所強調的問題是指促使知識產生的、能體現其本質和起統領作用的原始問題，教學則圍繞著這個核心問題展開探究活動生成新知. 圖2可以直觀反映出發生教學法與問題驅動教學法的關系.

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收稿日期：2021-06-27

基金項目：廣東省普通高校特色創新類項目——指向深度學習的問題驅動教學研究（2021WTSCX089）;

廣東省教育科學“十三五”規劃研究項目——新師范背景下“U-G-S”校地數學教師教育共同體的構建及其運行機制探索（2020GXJK410）.

作者簡介：王海青（1978— ），女，博士，副教授，主要從事數學史與數學教育研究.