立足數學文化　生長學科素養

摘? 要：針對教材上多次出現的海倫-秦九韶公式，結合HPM教學思想，將數學歷史、數學教材、學生認知和課堂落實四個要素相結合，設計活動任務，把數學文化以合適的形式滲透到學生的學習過程中，促進學生在參與系列數學活動、解決系列數學問題的過程中，接受數學知識，理解數學內容本質，生長學科素養.

關鍵詞：數學文化;學科素養;課堂實錄;教學反思

一、問題提出

《普通高中數學課程標準（2017年版）》（以下簡稱《標準》）第82頁這樣描述：“教師應有意識地將數學文化滲透到日常教學中，引導學生了解數學的發展歷程，感悟數學的價值.” 海倫-秦九韶公式蘊含著豐富的學科價值、應用價值、人文價值和課堂實踐意義，是典型的數學文化，所以加強對此部分內容的教學意義重大. 針對教材內容的設置和《標準》的要求，有必要帶領學生走進海倫-秦九韶公式，帶領他們從公式的歷史傳承走向公式的證明運用. 有鑒于此，在完成人教A版《普通高中課程標準實驗教科書·數學5必修》（以下統稱“教材”）第一章“解三角形”的全部教學內容之后，以本章復習題第9題為抓手，筆者組織了海倫-秦九韶公式的教學. 教學過程中感想頗多，收獲更多. 現將課堂實錄及教后感悟分享如下.

二、課堂實錄

1. 講好數學故事

師：我們知道，如果一個三角形的三邊長固定，那么這個三角形就固定. 若給出任意一個三角形的三邊長，你能求出它的面積嗎？請看投影.

多媒體投放：古希臘的幾何學家海倫（Heron，約公元50年）在數學史上以善于解決幾何測量問題而聞名. 在他的著作《度量》一書中，給出了這樣一個公式：如果一個三角形的三邊長分別為[a，b，c]，記三角形的半周長為[p=a+b+c2]，那么這個三角形的面積可以表示為[S=pp-ap-bp-c]. 這個求三角形面積的公式稱為海倫公式.

公元1世紀前后，中國古代的數學專著《九章算術》中就有用“底乘高的一半”來計算三角形面積的敘述. 但是在實際測量中，找到不規則三角形的高并不是一件容易的事情，還是三角形的三條邊更好度量. 我國宋代的數學家秦九韶在公元1247年提出了求三角形面積的“三斜求積術”，三斜即為三角形的三條邊，分別稱為小斜、中斜和大斜，“術”即方法，如圖1所示.“三斜求積術”可以表達如下：[面積2=][14小2×大2-大2+小2-中222].

用我們正在學習的解三角形的相關符號表示公式，即為[S=14c2a2-c2+a2-b222]，其中[c>b>a].

雖然海倫和秦九韶兩位數學家分屬于不同文化和不同時代，但是他們的研究成果驚人地相似，都給出了“已知三角形的三條邊長，求三角形面積”的方法. 將海倫發現的半周長[p=a+b+c2]代入面積公式[S=][pp-ap-bp-c]，并進行代數化簡，即可得到秦九韶的“三斜求積公式”. 因為兩人發現的關系式形式相似、本質統一. 因此，現代把這兩個公式統一命名為海倫-秦九韶公式.

2. 提出數學問題

師：剛剛大家一起了解了海倫-秦九韶公式的內容，是否能夠思考，公式到底如何證明？教材第24頁和第25頁介紹了吳文俊教授根據我國古代傳統幾何證明特點進行的“三斜求積”證明，請大家自學，并嘗試用符號語言“翻譯”吳教授的證明過程.

生1對吳教授的證明過程理解如下.

結合我們熟悉的求三角形面積公式[S=12AB · d]，證明的關鍵是用[a]，[b]，[c]表示[d]，如圖2所示.

設[BD=x]，則[AD=c-x].

由劉徽提供的公式，得[x=c2-a2-b22c].

結合勾股定理，得[d2=a2-x2].

所以[d=a2-c2-a2-b22c2].

將[d]代入面積公式[S=12AB · d]，即可得到面積公式[S=14c2a2-c2+a2-b222].

師：生1結合教材中的圖形，在[△ABC]是銳角三角形的情況下證明. 如果[△ABC]是鈍角三角形，解法相似，結果相同. 在生1的證明過程中，用到教材中提到的“劉徽提供的公式”. 劉徽是我國魏晉時期偉大的數學家，也是中國古典數學理論的奠基人之一，他的主要成就之一是論證了勾股定理與解勾股形的計算原理. 生1所說的“劉徽提供的公式”就是他在證明勾股定理時發現，公式的本質是[x=c2-a2-b22c]，請大家證明.

生2給出的證明過程如下.

在[Rt△ACD]中和[Rt△BCD]中，設[BD=x].

由勾股定理，得[d2=b2-c-x2]，[d2=a2-x2].

聯立，消去[d]，并進行化簡，得[x=c2-a2-b22c].

師：生2的補充很好！生1的證明方式的出發點是[S=12AB · d]，實際上，我們剛剛學習了三角形面積公式[S=12absinC]，從這個角度一定也可以解決公式的證明問題. 借助[S=12absinC]，大家嘗試證明.

生3板演證明過程如下.

師：在證明公式時，生1和生3使用的公式分別是[S=12AB · d]和[S=12absinC]，這恰恰是我們熟悉的三角形面積公式，將海倫-秦九韶公式的證明納入我們已經熟悉的三角形面積公式系統是證明成功的關鍵. 學習上遇到“新問題”，要盡力把它納入到“舊系統”，在現有數學基礎上發現新的概念與原理，并且努力將新發現的概念與原理納入到已有的知識體系，是提升我們學科素養的重要方式.

3. 落實數學試題

師：近幾年的高考試卷和調研試卷中融入了大量數學文化試題，既彰顯了數學的文化特征，又豐富了數學試卷的文化內涵. 海倫-秦九韶公式中既包含數學名家，又蘊藏數學名著，還融入了數學名題和數學應用. 因此，以它為背景的試題很多. 接下來，我們一起研究其中的兩道題.

例1? 我國南宋數學家秦九韶在《數書九章》中提出了已知三角形的三邊求其面積的公式——“三斜求積術”：以小斜冪，并大斜冪，減中斜冪，余半之，自乘于上. 以小斜冪乘大斜冪，減上，余四約之，為實. 一為從隅，開平方得積. 也就是[△ABC]的面積為[S=][14c2a2-c2+a2-b222]，其中[a，b，c]分別為角[A，][B，C]的對邊，且[c>b>a]. 現有[△ABC]，若[b=2]，且[tanC=3sinB1-3cosB]，則[△ABC]的面積[S]的最大值是多少.

生4：將該題的關系式[tanC=3sinB1-3cosB]“切化弦”并整理，得[sinC=3sinA]. 由正弦定理，得[c=3a]. 已知[b=2]，將[△ABC]的各邊代入面積公式[S=14c2a2-c2+a2-b222]，消去[c]，就可以得到與[a]相關的二次函數，即可求得[△ABC]的面積[S]的最大值.

生5投影完整解題過程與解題結果. 具體過程略，結果為[3].

例2? 若一個三角形的三邊長分別為[a，b，c]，設[p=a+b+c2]，則該三角形的面積[S=pp-ap-bp-c]，此公式也稱為海倫-秦九韶公式. 現有[△ABC]，其周長為[16]，其中一邊長為[6]，則[△ABC]的面積的最大值為（? ? ）.

（A）10? ? （B）12? ? （C）14? ? （D）8

生6：根據題意，可知[p=a+b+c2=8]. 所以[S=][pp-ap-bp-c]=[88-a8-b8-c]. 不妨設[c=6]，則[a+b=10]. 此時[S=168-a8-b]. 問題轉化為“已知[a+b=10]，求[u=8-a8-b]的最大值”.可以使用“二次函數法”或者“基本不等式法”求最值，求得[Smax=12]. 所以該題答案選B.

三、教學反思

1. 要重視基于HPM理論的數學文化教學

HPM理論的研究者華東師范大學汪曉勤教授說過，數學文化融入數學教學有六大價值，可以呈現知識之諧，展示方法之美，營造探究之樂，揭示文化之魅，提供能力之柱，彰顯德育之效. 由此可見，HPM理論指導下的數學文化教學不僅能夠促進學生從數學的內部發現問題、提出問題、分析問題，進而解決問題，而且可以使課堂有文化層次性、有歷史厚重感，讓教學內容生動活潑，使學習活動生機盎然.

就本節課的教學而言，其價值主要體現在以下三個方面. 首先，促進學生對數學本質的理解. 本節課中，學生在證明與應用海倫-秦九韶公式的過程中，知道了海倫-秦九韶公式的本質，感受了證明公式的方法，理解了三角形內部邊角關系的轉化，掌握了研究新問題的方法——將“新問題”納入“舊系統”. 其次，發展學生學科素養. 本節課中，學生在“數學故事”的引領下進行有效探究，過程中逐漸理解數學、喜歡數學、熱愛數學，從而開闊數學視野，豐富數學體驗，提升數學品味，而這些方面都切實地發展著他們的學科素養. 最后，改善課堂教學生態. 將數學文化內容融入教學設計中，數學課堂的內涵將更加豐富，課堂過程就更容易設計符合知識發生、形成和發展過程的問題，從而引發學生交流，促進學生自主探究，激發學生思考，而這無形中都改善著我們的課堂生態.

2. 要研究數學文化教學的時機選取和內容甄別

因為《標準》和高考對數學文化的教學都提出了新的要求，所以許多教師現階段的教學有一點“跟風”，每堂課都琢磨著從數學名人、數學名著、數學名題引入，時刻都惦記著講個“數學故事”，生生把數學文化教學變味為“趣味數學”教學，這種做法顯然過猶不及. 課堂最主要的任務是學習數學知識，進行數學訓練，總結數學方法，形成數學思維，發展數學素養. 雖然數學文化的教學對以上任務有促進作用，但是還是要分清“本”和“末”. 要研究數學文化教學的時機選取和內容甄別，“數學文化材料”引入課堂之前，先要思考其是否滿足以下條件：趣味性，“材料”能激發學生的學習興趣和動機;科學性，“材料”要符合史實，有可靠的文獻出處，而不是胡編亂造，數學上也不能有錯誤;有效性，“材料”要有助于學生理解、掌握和運用相關知識，有助于教學目標的全面達成;可學性，“材料”要符合學生的認知基礎，易于學生接受;人文性，“材料”要與數學人物相關聯，反映數學背后的人文精神，或反映數學與其他知識領域之間的聯系，有助于揭示數學的文化價值，發展學生的學科素養.《標準》提倡將數學史與數學文化有效融入數學教學之中，不同版本的教材中都融入了大量的數學文化內容，教師要做的是設置對應的問題使數學文化從教材中的“文化形態”轉化為“數學形態”，然后帶領學生走出“文化”，走進“數學”，通過真實學習，給學生的思維打開一扇窗，提供一個新的思考方式. 而這恰恰是生長學科素養的土壤.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.

[2]汪曉勤. HPM：數學史與數學教育[M]. 北京：科學出版社，2017.

[3]孫媛媛. 數學文化融入高中數學課堂教學的方法和途徑[J]. 中學數學，2020（4）：73-77.

[4]方長林. 數學文化“搭臺” 核心素養“唱戲”[J]. 中學數學教學參考（上旬），2019（12）：60-61.

收稿日期：2021-06-26

基金項目：江蘇省中小學教學研究第十三期立項課題——基于“超回歸”數學理解模型的高中數學概念教學策略研究（2019JK13-L072）.

作者簡介：晁豐成（1979— ），男，中學高級教師，主要從事數學教學與數學命題研究.