關于不變測度的維數分布的一點注記

蔡恒超

(福建師范大學 數學與信息學院，福建福州350117)

1 預備知識

為了研究一般概率測度μ及其支撐集的結構和復雜性，人們引進了所謂的局部維數:如果

其中，Br(x)表示以x為球心，r為半徑的球，則稱α為μ在x處的局部維數，稱

為水平集.與此有關的一個由物理學家提出的著名公式是所謂的重分形公式:

其中，dim代表豪斯多夫(Hausdorff)維數，τ(μ,q)是Lq譜，定義為

另一個考察概率測度μ及其支撐集的結構和復雜性的方法是研究μ的支撐集的維數分布.Cutler[8]考慮了μ支撐于維數不超過α的集合上的質量是怎樣隨著α的變化而變化的，定義了如下的維數分布：

定義1設dim(E)表示集合E的豪斯多夫維數，對于任意的α∈[0,N]，定義集函數μα為

其中，B和D都是Borel集合.Cutler[8]證明了如下的結果：

這些測度μα實質上構成了概率測度μ的一個分解.利用這種分解，定義式

決定了集合[0,N]上的一個概率測度.Cutler[8]把這個測度稱為測度μ的維數分布，并從 一種新的角度研究了概率測度的結構與復雜性.

一個自然的問題就是：對于由迭代函數系定義的不變測度，這種分解是否有用.本研究的目的就是回答這一問題，為此先給出迭代函數系及其不變集的定義如下：

(1)

稱為不變測度.

2 定理及其證明

定理設μ是(1)式定義的不變測度，μα見定義1.若Sj都是雙李普希茨壓縮映射(即存在大于零的實數c1

定理說明，對于由迭代函數系生成的不變測度，Cutler[8]所定義的維數分布是一個單點分布(退化分布).

證明：設α∈[0,N],使得μα不是零測度.令

其中，Sj1°Sj2°…°Sjn表示n個雙李普希茨壓縮映射的復合,則由豪斯多夫維數的性質知道，Bα的維數不超過α.所以，由μα的定義知道

μα(B)=μ(B∩Bα) (2)

由于Sj都是雙李普希茨映射，所以存在常數c>0，使得

所以，由豪斯多夫測度的性質得知

所以

對一切Borel集合B和{1,2,…,m}中的j成立.

利用概率測度μ的定義式(1)可知，對于任意的Borel集合B，由(2)式有

μα(B)=μ(B∩Bα)

由(3)式有

(4)

由于μα不是零測度.令ν=[μα(?N)]-1μα，則ν是一個概率測度.由(4)式可得，ν滿足

由μ的唯一性得知，

μ=ν=[μα(?N)]-1μα. (5)

如果μα≠μ，則μα(?N)≠1，又因為μα(?N)≤1，所以μα(?N)<1.此時，μ-μα也是非零測度.令

ν′=[μ(?N)-μα(?N)]-1(μ-μα)，

則由(1)式和(4)式得

由μ的唯一性得知，

μ=ν′=[μ(?N)-μα(?N)]-1(μ-μα). (6)

所以，由(5)式和(6)式及(2)式得

[μα(?N)]-1μα(Dα)=[μ(?N)-μα(?N)]-1[μ(Dα)-μα(Dα)]

=[μ(?N)-μα(?N)]-1(μ(Dα)-μ(Dα))=0，

這與μα是非零測度矛盾，所以μα=μ.這說明，當μα≠0時，必有μα=μ.令

α0=inf{α≥0:μα=μ}，

則易知定理的結論(i)成立；而且α>α0時，結論(ii)成立.最后，由(3)式知道，當α=α0時，結論(ii)也成立.證畢.