球坐標(biāo)系中加速度形式的幾何求法

李子良

摘要球坐標(biāo)系中加速度的推導(dǎo)是理論力學(xué)教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn)，然而目前常用的推導(dǎo)方法都過(guò)于抽象，不容易被學(xué)生理解和掌握。利用極限思想和運(yùn)動(dòng)合成與分解的思想通過(guò)幾何方法同樣可以推導(dǎo)出球坐標(biāo)系的加速度形式，而且該推導(dǎo)過(guò)程比已有方法更加直觀，易于理解，有利于培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力，還可用于大學(xué)物理和高中物理教學(xué)當(dāng)中。

關(guān)鍵詞 極限思想 球坐標(biāo) 加速度 幾何方法

中圖分類號(hào)：O311文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：ADOI：10.16400/j.cnki.kjdk.2021.22.013

Geometric Solution of Acceleration Form in Spherical Coordinate System

LI Ziliang

（Department of Physics， China University of Mining & Technology， Beijing 100083）

AbstractThe derivation of the particle acceleration in spherical coordinates is a difficult point in the teaching of theoretical mechanics. However， the commonly used derivation methods at present are too abstract to be easily understood and mastered by students. Using the limit thought and the idea of motion synthesis and decomposition， the form of the particle acceleration in spherical coordinates can also be deduced by a geometric method. Moreover， the derivation process is more intuitive and easy to understand than the existing methods， is beneficial to cultivate the spatial imagination of students， and can be introduced into the physics teaching of colleges and high schools.

Keywordslimit thought； spherical coordinates； acceleration； geometric method

球坐標(biāo)系中加速度的推導(dǎo)是理論力學(xué)教學(xué)中的難點(diǎn)之一。目前常見(jiàn)的推導(dǎo)方法有坐標(biāo)變換法，[1，2，3]轉(zhuǎn)動(dòng)參考系法[4，5，6]和拉格朗日方程法，[7，8]由于后兩種方法較為抽象，不易理解，特別最后一種需要一定的分析力學(xué)基礎(chǔ)，所以部分理論力學(xué)教材省略了該推導(dǎo)過(guò)程。第一種方法操作起來(lái)較為直截了當(dāng)，但是過(guò)于數(shù)學(xué)，缺乏物理思想，不利于學(xué)生對(duì)加速度產(chǎn)生原因的理解。本文利用極限思想和運(yùn)動(dòng)合成與分解的思想通過(guò)幾何方法推導(dǎo)出球坐標(biāo)單位矢量隨時(shí)間的變化率，進(jìn)而推導(dǎo)出球坐標(biāo)系加速度的形式，該方法不僅直觀易懂，而且展示了加速度產(chǎn)生的幾何圖像，培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象力。該推導(dǎo)方法有望用于大學(xué)物理和高中物理教學(xué)當(dāng)中。為了便于理解具體的推導(dǎo)過(guò)程，我們先推導(dǎo)出極坐標(biāo)系中速度和加速度的形式，然后推廣到球坐標(biāo)系中。

1極坐標(biāo)系中速度和加速度形式

3結(jié)束語(yǔ)

本文運(yùn)用極限思想和運(yùn)動(dòng)合成與分解的思想從幾何的角度詳細(xì)推導(dǎo)出了極坐標(biāo)系和球坐標(biāo)系中速度和加速度的形式，推導(dǎo)過(guò)程比已有方法更直觀，易于學(xué)生理解和接受，同時(shí)提升了學(xué)生對(duì)加速度產(chǎn)生的理解。該推導(dǎo)過(guò)程有望引入到大學(xué)物理和高中物理教學(xué)當(dāng)中，豐富學(xué)生的物理知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)極限思想和運(yùn)動(dòng)合成與分解思想的理解和應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象力。

基金項(xiàng)目：本文獲中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京）教學(xué)項(xiàng)目（J200801）資助

參考文獻(xiàn)

[1]范中和.速度和加速度的新解法[J].陜西師大學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版）， 1991，19（03）：87-88.

[2]劉耀康.正交曲線坐標(biāo)系中加速度的矩陣求法[J].大學(xué)物理， 1996，15（8）：8-11.

[3]張春雷，楊瑞雪.正交曲線坐標(biāo)系中加速度的矢量求法[J].大學(xué)物理，2000，19（7）：10-10.

[4]劉榮萬(wàn).球坐標(biāo)系中速度與加速度分量表示式的另一種推導(dǎo)[J].大學(xué)物理，1989，1（9）：5-6.

[5]羅興垅，羅穎.球坐標(biāo)系中速度與加速度的轉(zhuǎn)動(dòng)參考系求法[J].贛南師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2002，（03）：28-30.

[6]商眾友.正交曲線坐標(biāo)系中加速度的合成運(yùn)動(dòng)求法[J].云南大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2005，27（5A）：232-235.

[7]蔡建樂(lè).正交曲線坐標(biāo)系中加速度的拉氏方程求法[J].大學(xué)物理， 1998，17（4）：14-16.

[8]周衍柏.理論力學(xué)教程[M].4版.北京：高等教育出版社，2018.