DFT譜分析中分辨率與采樣點數的關系

何立功

摘要：根據DFT變換的理論，探討了DFT對連續信號進行譜分析時存在的問題，以及工程上的解決辦法。得出提高譜分辨率需要增加采樣點數的結論。最后通過仿真驗證，仿真結果與結論一致。

關鍵詞：DFT;譜分析;分辨率;仿真

1. 引言

通常所說的信號譜分析，其實就是計算信號的傅里葉變換。但是對于連續信號進行傅里葉計算，只能是單純的數學上計算，無法直接在工程上實現，即無法直接借助計算機計算。而離散傅里葉變換（DFT）是一種時域與頻域均離散化的變換，很適合計算機對離散信號進行計算。本文將針對使用DFT進行譜分析時，如何提高譜的分辨率進行探討，對DFT在工程上應用具有一定的指導意義。

2. DFT譜分析

為了使用DFT對連續信號xa（t）進行譜分析，必須先進行時域離散采樣，得到離散信號x（n），然后再對x（n）進行DFT，得到的X（k）是x（n）的傅里葉變換x（ejω）在頻率區間[0，2π]上的N點等間隔采樣。但是，根據傅里葉變換理論可知，時域有限長，頻譜有限寬的信號實際上不存在。所以，根據采樣定理采樣時，時域采樣必然都是無限長的，是不滿足DFT的變換條件的。

在工程上，對頻譜很寬的信號，在采樣之前增加一級預濾波器，濾除高頻成分，達到保留主要信息的同時還可以防止采樣后產生頻率混疊的效果。而對于時域較長的信號，可以進行合理的截斷。由此可見，使用DFT對連續信號進行譜分析必然是近似的，其近似程度與信號帶寬、采樣頻率以及截取長度有關。

假設xa（t）的截取長度為Tp，最高頻率為fc，采樣周期為T，Fs=1/T為采樣頻率，采樣點數為N。已知xa（t）的傅里葉變換為Xa（jΩ），x（n）的傅里葉變換為 （2-1）將ω=ΩT帶如上式，可得x（n）的傅里葉變換與xa（t）的傅里葉變換之間的關系：

又根據X（k）與x（ejω）的關系：

得x（n）的N點DFT與xa（t）的傅里葉變換之間的關系。對比（2-2）可以看到，x（n）經DFT以后的頻譜是在原連續信號的頻譜上采樣得到的，即實現了頻譜采樣。其中F便是頻譜采樣間隔，稱為頻譜分辨率。

由此可得

根據（2-4）可知，要想提高頻譜的分辨率，可以降低時域采樣頻率Fs，或者增加時域采樣點數N。但是降低時域采樣頻率Fs可能會導致不滿足奈奎斯特采樣定理。所以只能在保證Fs不變的前提下，增加采樣點數N。

3. 仿真驗證

通過MATLAB仿真，仿真信號是由99Hz和101Hz的兩個信號疊加而成，采樣頻率為1000Hz。對不同的采樣點數都是進行2048點DFT，為了使譜線比較光滑，采樣點數不足2048時，進行補零處理。最終仿真結果如圖3.1所示。

（a）中取樣點數為2048;（b）為對應的頻譜圖，可以很明顯的看到99Hz和101Hz這兩個頻率。（c）中取樣點數為100個;（d）為對應的頻譜圖，可以看到此時在100Hz處只有一個頻率，但是這并不被原信號所支持，因為原信號有兩個頻率。（e）中取樣點數為400個;（f）為對應的頻譜圖，此時稍微能看出有兩個頻率在100Hz兩邊，但是分的不夠開，或者說不能完全確認就是兩個。（g）中取樣點數為900個;（h）為對應的頻域圖，此時基本上可以分辨出有兩個頻譜。由此驗證了（2-4）的結論，相信隨著取樣點數的增加，頻譜的分辨率越來越高，即可以使兩個頻率分的更開，越來越接近（b）的頻譜。

4. 總結

本文先是提出DFT譜分析面臨的問題，然后說明了工程上的解決方法，并進行了基本的理論推導。最后通過仿真驗證了解決方法的正確性，仿真結果與理論推導一致。

參考文獻：

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[2]Williamson D . Discrete-Time Signal Processing[M]. IET， 1999.

[3]Vinay K Ingle. Digital Signal Processing using MATLAB[M]. XI’AN Jiao Tong University Press， 2018.

項目基金：2021年1月至2023年1月，項目單位：百色學院，項目名稱：本科專業核心課程-數字信號處理，項目編號：2016HXKC24