空間直角坐標系在文科數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

藍平

【摘 要】本文論述高中數(shù)學(xué)立體幾何在文科生學(xué)習(xí)中存在的問題、建立空間直角坐標系的方法及技巧、用空間直角坐標系解立體幾何的優(yōu)勢等，提出應(yīng)在文科生數(shù)學(xué)教學(xué)中普及空間直角坐標系法，讓文科生能靈活地運用空間直角坐標系解題，將復(fù)雜的集合問題代數(shù)化、簡單化。

【關(guān)鍵詞】空間直角坐標系 方法與技巧 立體幾何

【中圖分類號】G 【文獻標識碼】A

【文章編號】0450-9889（2021）30-0081-03

空間直角坐標系是在平面直角坐標系的基礎(chǔ)上，通過類比之后推廣而建立的，從而可以將坐標法推廣到空間去解決有關(guān)幾何體的問題。空間直角坐標系是在空間中任意取一點O，過點O找或作三條兩兩互相垂直的直線OX、OY、OZ，使它們都以O(shè)為原點具有相同的單位長度，其中OX叫橫軸，OY叫縱軸，OZ叫豎軸，這三條坐標軸統(tǒng)稱為空間直角坐標系的數(shù)軸。

一、文科生學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)立體幾何時存在的問題

對文科生而言，立體幾何幾乎是一座難以翻越的大山，因為文科生的空間想象能力相對較弱，而空間直角坐標系要求較強的理科思維。文科生在開始接觸建立空間直角坐標系時，會覺得它無比迷惑，是一個未知的領(lǐng)域。所以，當(dāng)教師對文科生提出通過建立空間直角坐標系解決立體幾何方面的問題時，大部分學(xué)生的態(tài)度是保持沉默、無法理解甚至表現(xiàn)出抗拒情緒。文科生遇到立體幾何的問題時仍習(xí)慣用幾何法來解決。幾何法解決立體幾何的有關(guān)證明問題，對定理中的條件要求是很嚴格的，可以說是缺一不可。文科生在學(xué)習(xí)立體幾何中主要存在以下幾個方面的問題。

（一）直線和平面平行的判定定理

學(xué)生在運用這個判定定理的時候，常常會忘記“直線在平面外”這個條件，所得到的結(jié)論出現(xiàn)兩種可能：直線與平面平行、直線在平面內(nèi)。

（二）直線和平面垂直的判定定理

學(xué)生在運用這個判定定理的時候，常常會忘記“兩條直線相交”這個條件，所得到的結(jié)論出現(xiàn)三種可能：線面垂直、線面相交但不垂直、線在面內(nèi)。

（三）平面和平面平行的判定定理

學(xué)生在運用這個判定定理的時候，常常會忘記“兩條相交直線”這個條件，所得到的結(jié)論出現(xiàn)兩種可能：兩個平面平行、兩個平面相交。

（四）平面和平面垂直的性質(zhì)定理

這個性質(zhì)定理包含四個條件：一是兩個平面互相垂直，二是兩個平面有交線，三是在其中一個平面上的直線，四是在平面上的直線垂直于交線。而學(xué)生在使用的時候往往會忽略掉“垂直于交線的這條直線一定要求在其中一個平面上”這個條件，所得到的結(jié)論有兩種可能：直線和平面斜交、直線和平面垂直。

（五）利用幾何法求三種空間角時的主要問題

1.求線面角

求解的步驟是：第一步，先找出或作出平面的垂線;第二步，連接斜足和垂足，指出連線是斜線在平面上的射影;第三步，交代線面角，并放在三角形中，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系求角。學(xué)生在求解這一類問題時，往往會忽略掉重要的第一步和第二步，而直接跳到第三步求出結(jié)果，這樣就會丟掉很多過程分而只得結(jié)果分。

2.求異面直線所成的角

求解的步驟是：第一步，平行移動兩條異面直線使它們相交;第二步，交代角（或其補角）為所求;第三步，構(gòu)造三角形，在三角形中用正、余弦定理求角。由于異面直線所成的角“如果求得角的余弦值為負值，那么求出來的角就不在異面直線所成角的范圍中”，而學(xué)生在求異面直線所成的角時，往往會忽略掉“或其補角”這個條件，結(jié)果就錯了。而且，在步驟中常常沒有交代好細節(jié)，過程也丟了分，整個題目得到的分就沒有多少了。

3.求二面角的余弦值

求解的步驟是：第一步，在兩個平面相交的棱上選一點，過該點分別在兩個半平面內(nèi)作垂直于棱的兩條射線;第二步，交代兩條相交的射線所成的角為所求;第三步，把該角當(dāng)成三角形的一個內(nèi)角，在三角形中用正、余弦定理求角。學(xué)生在用幾何法求二面角時，遇到的問題通常是很難找到同時垂直于棱的兩條射線，一般是在棱上選好了點，過該點在其中一個半平面上作垂直于棱的射線，同樣過該點在另一個半平面上作一條線，然后證明這條線也垂直于棱。有時為了證明線垂直于線，需要先證明線垂直于面，才能得出線垂直于面上的任何一條直線。部分學(xué)生往往就在證明線線垂直這一步時因條件太難找、證據(jù)不足而不得不放棄對題目的解答，那么這一題目的分數(shù)（6分或者7分）就基本都得不到了。

（六）求三棱錐體積時的主要問題

解題時，關(guān)鍵是要說明錐體的高，所以要有線面垂直這個條件，必要的時候還得證明直線和平面垂直。或者有時候原錐體的高不好找，就需要交換錐體的頂點和底面，目的是在錐體體積不變下方便找錐體的高。用等體積法拆了又拆、算了又算，過程非常繁雜，結(jié)果卻不盡如人意。學(xué)生在運用的時候，往往會忽略掉“線面垂直”這個條件，過程又被扣分。還有一個是用幾何法求點到面的距離，求解的步驟是過平面外的點作面的垂線，然后求垂線的長度。普遍的做法是作一條直線垂直于另一條直線，再結(jié)合題中的已知條件找到作出來的這條直線垂直于面上的另外一條相交直線的證據(jù)，才證得線面垂直。或者用平面和平面垂直的性質(zhì)定理來證明直線和平面垂直，但這個性質(zhì)定理包含著四個條件，少任何一個條件都有可能得不出準確的結(jié)論，導(dǎo)致步驟分容易被扣掉一部分。丟分的主要原因是，這些學(xué)生沒能堅持算到最后，中間過程的運算又出了問題。以上種種跡象表明，文科生用幾何法解決立體幾何問題時，可能會因為對定理、概念中的細節(jié)問題記不牢固而導(dǎo)致被扣過程分的情況。所以，有必要指導(dǎo)文科生學(xué)習(xí)空間直角坐標系的方法和技巧了。

二、建立空間直角坐標系的方法與技巧

（一）利用共點的兩兩垂直的三條棱構(gòu)建直角坐標系

總之，教師要先引導(dǎo)學(xué)生從中規(guī)中矩的圖形開始，抓住建立空間直角坐標系的要領(lǐng)和技巧，即相交于一點的三條射線要求兩兩垂直。如果是長方體、正四棱柱、正方體，則從任一頂點出發(fā)的長、寬、高可以作為橫軸、縱軸、豎軸;如果是側(cè)棱垂直底面的棱柱，則豎軸平行或重合于其中一條側(cè)棱;如果底面是正方形，則要找正方形的鄰邊垂直，或者找其對角線互相垂直而且平分;如果底面是菱形，則抓住菱形的對角線互相垂直而且平分;如果是等腰三角形（等邊三角形），則抓住該三角形的三線合一（即等腰三角形底邊上的中線、高、角平分線重合）;如果是正棱錐，其特點是頂點在底面的射影落在底面的中心（即頂點和中心的連線為錐底的高），則抓住豎軸平行或者重合于錐底的高;如果題目中有面面垂直的條件，應(yīng)緊緊抓住面面垂直的性質(zhì)定理（即如果兩個平面互相垂直，垂直于平面的這條直線要同時滿足兩個條件：一是這條直線垂直于兩個面的交線，二是這條直線一定在其中一個平面上），得出線面垂直的結(jié)論。如果空間直角坐標系的其中一條軸平行或重合于該線，還需要在面上再找到兩條互相垂直的直線，把它們平行移動到同一個頂點，這樣，空間直角坐標系就建立起來了。

三、利用空間直角坐標系解立體幾何的優(yōu)勢

每次進行立體幾何測試后，教師都會按解題方法將學(xué)生分成兩類：一類是用空間直角坐標系來解決問題的，另一類是用幾何法來解決問題的。并分別統(tǒng)計了這兩類學(xué)生的得分情況，發(fā)現(xiàn)用建立空間直角坐標系法解題的學(xué)生得分明顯高于用幾何法解題的學(xué)生。教師表揚建立空間直角坐標系的學(xué)生。分數(shù)是最有說服力的，在得分而且得高分的事實面前，當(dāng)初對此方法保持“靜觀其變，敬而遠之”的學(xué)生轉(zhuǎn)變了態(tài)度，有點躍躍欲試了，而當(dāng)初表示“堅定地使用幾何通法”的學(xué)生也有點動搖了。當(dāng)這些學(xué)生打算對空間直角坐標系這個神秘的領(lǐng)域一探究竟時，教師要趁熱打鐵，開始傳授建立空間直角坐標系來解決幾何問題的方法。

利用空間直角坐標系解決立體幾何問題時，只有根據(jù)幾何圖形的特點，建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標系，才能準確地找出問題中所涉及的點的坐標。如果有些線段長度題目中未告知，則需要根據(jù)這些點所處的位置合理地假設(shè)參量，目標是使點的坐標沒有分式。然后根據(jù)問題進行分析，在眾多的公式中尋找最合適的，并記住它的標準形式，代入相應(yīng)的數(shù)據(jù)，這樣就自然而然地得出了結(jié)果。

從開始讓學(xué)生學(xué)習(xí)建立直角坐標系，到學(xué)生遇到立體幾何問題時首先想到建系，然后想辦法建系，最后思考建系的要領(lǐng)，這是一個“要我學(xué)”到“我要學(xué)”的循序漸進的過程。學(xué)生學(xué)會輕松建系，計算步驟逐漸變得流暢后，他們會驚喜地發(fā)現(xiàn)，相較于幾何法，用空間直角坐標系的方法省去了許多步驟而且過程變得十分簡潔明了。

此外，學(xué)生還發(fā)現(xiàn)，在立體幾何考試時，教師一般都會設(shè)置一道12分的大題，大題的第二問多為用換頂點法求錐體的體積，偶爾會出現(xiàn)求點到面的距離。如果圖形較為復(fù)雜，涉及多條輔助線或者題目有意在圖形上設(shè)置視覺陷阱時，他們往往會因受空間想象力的限制而對題目望而卻步。他們學(xué)習(xí)空間直角坐標系一段時間后，發(fā)現(xiàn)空間直角坐標系正如迷途中的燈塔，帶領(lǐng)他們走出了迷茫。他們總結(jié)出用空間直角坐標系解題的三點好處。其一，秒殺線線角、面面角小題。該類型的幾何法多為作輔助線后結(jié)合大量證明運算，此時一旦建立空間直角坐標系，便有“坐標系一建，煩惱都不見”的感覺。簡單的坐標運算之后，正確結(jié)果便得以呈現(xiàn)。其二，省去了煩瑣的過程和空間想象。幾何法為確保步驟完整，通常需做大量說明以致答題篇幅過長而浪費時間，而作輔助線又需要一定的空間想象力，容易導(dǎo)致考生心態(tài)發(fā)生變化;若用空間直角坐標系法則只需幾個公式即可求解，減少了解題過程。其三，提高了學(xué)生的得分率。由于空間直角坐標系法的關(guān)鍵步驟較少，一旦結(jié)果正確、公式正確，便會得到12分的滿分。

由此看來，學(xué)習(xí)空間直角坐標系不僅能鍛煉文科生的空間想象能力和分析能力，更是他們在關(guān)鍵時刻制勝的法寶，往后解立體幾何題時，又多了一個提高得分的方法。因此，知系、懂系、用好系，在文科數(shù)學(xué)中應(yīng)成為重要的部分。

【作者簡介】藍 平（1979— ），女，瑤族，廣西馬山人，大學(xué)本科學(xué)歷，一級教師，現(xiàn)就職于廣西民族高中，主要研究方向為高中數(shù)學(xué)教育教學(xué)。

（責(zé)編 唐玉萍）