一元函數微分和多元函數全微分的教學新探

王珺 徐富強 郝江鋒

摘要：微分概念是微積分的核心概念，它直接影響到后續積分概念的學習。一元函數微分和多元函數全微分一直是教學的難點，其原因在于教材對于微分介紹較少，且微分的定義從字面表達上與“無限細分，以直代曲”的重要思想脫節。著重從幾何角度出發，在課堂教學中帶領學生分析“微分”和“全微分”的定義中“無限細分，以直代曲”的深刻含義，并在此基礎上避開晦澀難懂的理論證明和推導，通過幾何直觀，用通俗易懂的語言解釋全微分與連續、偏導數、方向導數以及偏導數連續之間的關系。

關鍵詞：微分;全微分;幾何;以直代曲

中圖分類號： G642.1 ? 文獻標識碼： A

1 引言

微積分是高等數學的重要組成部分，20世紀杰出的數學家約翰·馮·諾伊曼在論述微積分時寫道：“微積分是現代數學取得的最高的成就，對它的重要性怎樣估計也是不會過分的[1]。”微積分儼如一座橋梁，使學生們通過它從基礎性的初等數學走向富于挑戰性的高等數學，并且面對令人眼花繚亂的轉換，從有限量轉向無限量，從離散性轉向連續性，從膚淺的表象轉向深刻的本質[1]。而在微積分中，微分又是核心概念。對于微分概念正確理解與否，會直接影響后續學生對積分概念的理解以及微元法的應用，而在一元函數微分和多元函數全微分的教學過程中，大部分學生反映概念太過抽象，對“微分”和“全微分”定義的理解只能停留在表面，不能深刻理解定義的深層含義，而且在國內大部分教材上[2-4]，介紹“微分”的篇幅遠遠少于“導數”，甚至有學生認為：前面有了導數的概念，微分這個概念是多余的。導致學生有這些想法的主要原因在于無論是“微分”還是“全微分”的定義，從字面意思看，與樸素的微分思想“無限細分，以直代曲”脫節，并且許多教材[2-4]在引入微分定義之前，都會將一塊正方形金屬薄片熱脹冷縮的問題作為引例，而在這個引例中也沒有體現出“無限細分，以直代曲”的思想，這讓學生在學習時更是一頭霧水。本文從幾何角度出發，避免抽象的理論推導，層層深入，帶領學生重點分析在“微分”和“全微分”的定義中蘊含著“無限細分，以直代曲”的重要思想，進而從幾何角度形象直觀地解釋多元函數全微分與連續、偏導數、方向導數和偏導數連續之間的關系。

2 一元函數微分教學新探

定義1[2] 設函數y=f（x）在某區間內有定義，x0及x0+Δx在這區間內，如果增量

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）

可表示為

Δy=AΔx+O（Δx），（1）

其中A是不依賴于Δx的常數，那么稱函數y=f（x）在點x0是可微的，而AΔx叫做函數y=f（x）在點x0相應于自變量增量Δx的微分，記作dy，即

dy=AΔx

下面將從幾何角度解釋定義1，從中挖掘“無限細分，以直代曲”的深刻含義。

定義1中包含了兩個概念：一元函數在一點可微的概念和在一點微分的概念。首先，從幾何角度解釋函數f（x）在一點可微。從定義1中可知，只要（1）式成立，函數f（x）在點x0處便可微，但（1）式太過抽象，現將（1）式做如下等價變形：

f（x0+Δx）=f（x0）+AΔx+O（Δx），（2）

令x=x+Δx，則（2）式等價于

f（x）=f（x0）+A（x-x0）+O（Δx），（3）

（3）式左邊表示點（x0，f（x0））附近的曲線，將（3）式右端前兩項和記為

y=f（x0）+A（x-x0），（4）

式為一個關于x的一次函數，且點（x0，f（x0））滿足（4）式，即（4）式表示一條通過點（x0，f（x0））的非豎直直線（即：不平行于y軸的直線），其中常數A為該直線的斜率。

因此，一元函數f（x）在一點可微的定義可以重新描述為：如果存在一條過點（x0，f（x0））的非豎直直線近似替代點（x0，f（x0））附近的曲線f（x），使得誤差達到O（Δx），則函數y=f（x）在點x0處可微。

但是這種幾何解釋仍然不夠直觀，究竟怎樣的直線才能使得近似替代的誤差達到O（Δx）呢？從上文中我們不得而知！從而引入一元函數可微的充要條件。

定理1[2] 函數f（x）在點x0可微的充要條件是函數f（x）在點x0可導，且A=f '（x0）。

定理1告訴我們，如果滿足誤差能夠達到O（Δx）的直線確實存在，則該直線的斜率A=f '（x0），即該直線必為點（x0，f（x0））處的切線。

于是一元函數f（x）在一點處可微的幾何意義為：如果曲線y=f（x）在點（x0，f（x0））處有一條不平行于y軸的切線，則函數y=f（x）在點（x0，f（x0））處可微，或者可以更形象地解釋為：將曲線f（x）在點（x0，f（x0））附近放大，當放大到某一程度，曲線看上去像一條非豎直的直線，則函數f（x）在點x0可微。這比單純從（1）式去理解函數可微的含義要直觀形象很多。

反之，如曲線f（x）在點（x0，f（x0））處沒有非豎直的切線，則函數f（x）在點（x0，f（x0））處不可微，即只有三種情況不可微：（1）曲線不連續，則不可微（如圖1（a））;（2）曲線連續但出現尖點，則不可微，例如：y=|x|在點x=0處為尖點，曲線在尖點處沒有切線，所以不可微（如圖1（b））;（3）曲線連續但出現豎直切線，則不可微，例如：在點x=0處有豎直切線（紅色實線），所以不可微（如圖1（c））。

（a）曲線在x0處不連續 ? ? ? ? （b） 曲線在x=0處為尖點不可微 ? ?（c）曲線在x=0處有豎直切線

接著，再從幾何角度分析函數f（x）在一點微分的概念，由定理1可知，f（x）在點x0處的微分為：dy=f '（x0）Δx，習慣上Δx=dx，則dy=f '（x0）dx。

從圖2[2]中可以看出，dy=f '（x0）dx正是圖2中的線段PM，其中藍色直線為曲線f（x）在點x0處的切線。因此，對于微分dy我們可以這樣理解：當對自變量x進行細分，得到x的微分dx，則因變量y也相應地進行了細分，即圖2中的線段PN，此時將點（x0，f（x0））處的切線近似替代點（x0，f（x0））附近的曲線，即用線段PM代替線段PN，便得到因變量的微分dy=f '（x0）dx。

綜上所述，定義1蘊含著“無限細分，以直代曲”的深刻思想，這也是后續學習積分概念的基礎，積分正是微分的相反過程，即“無限求和”，而積分符號“∫”是一個拉長的字母“S”，也表示著“求和（summa）”的意思。在求不規則圖形的面積和體積，以及曲線的弧長等問題中，所利用的“微元法”正是“無限細分，無限求和”思想的重要體現，即：先無限細分，再在局部上“以不變代變”或“以直代曲”，求得所求量的近似值，然后在無限變化的過程中實現從“近似”到“精確”的轉變，從而得到所求量[5]。另外“微分”概念雖然與“導數”概念互為充要條件，相互等價，但并不是多余的概念，兩者反映的問題是完全不一樣的，“導數”表示函數在一點處自變量變化所引起的函數因變量變化的快慢程度，而“微分”表示函數在一點處自變量的微小變化所引起的函數因變量改變的近似值[4]。

3 多元函數全微分教學新探

定義2[6] 設函數z=f（x，y）在點（x0，y0）的某鄰域內有定義，如果函數在點（x0，y0）的全增量

Δz=f（x0+Δx，y0+Δy）-f（x0，y0）

可表示為

Δz=AΔx+BΔy+O（ρ） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （5）

其中A、B不依賴于Δx，Δy而僅與x0、y0有關，則稱函數z=f（x，y）在點（x0，y0）可微分，而AΔx+BΔy稱為函數z=f（x，y）在點（x0，y0）的全微分，記作dz，即

dz=AΔx+BΔy.

不難發現，定義2是定義1的推廣，因此定義2的幾何意義可以從定義1的幾何意義推廣而來。將（5）式等價變形為：

f（x0+Δx，y0+Δy）=f（x0，y0）+AΔx+BΔy+O（ρ） ? ? ? ? ? ? ?（6）

令x=x0+Δx，y=y0+Δy，則（6）式等價于

f（x，y）=f（x0，y0）+A（x-x0）+B（y-y0）+O（ρ） ? ? ? ? ? ? ? （7）

其中為xoy平面上點（x0，y0）與點（x0+Δx，y0+Δy）之間的距離，（7）式左端表示點（x0，y0，f（x0，y0））附近的曲面，將（7）式右端前三項的和記為

z=f（x0，y0）+A（x-x0）+B（y-y0），（8）

式為一個三元一次方程，且點（x0，y0，f（x0，y0））滿足（8）式，由空間解析幾何的知識可知：（8）式表示一張通過點（x0，y0，f（x0，y0））的平面，且該平面法向量為n=（A，B，-1），又因為法向量n不可能與z軸垂直，所以該平面不與z軸平行，是一張非豎直的平面。

因此，二元函數f（x，y）在一點可微的定義可以重新描述為：如果存在一張過點P（x0，y0，f（x0，y0））的非豎直平面近似替代點P（x0，y0，f（x0，y0））附近的曲面f（x，y），使得誤差達到O（ρ），則函數f（x，y）在點（x0，y0）處可微。

上述二元函數f（x，y）可微的幾何解釋仍然不直觀，繼續給出函數f（x，y）在一點可微的必要條件。

定理2[6]（可微的必要條件） 如果函數z=f（x，y）在點（x0，y0）可微分，則該函數在（x0，y0）的偏導數必定存在，且函數。

定理2告訴我們，如果使得誤差達到O（ρ）的平面確實存在，則該平面的法向量為n=（fx（x0，y0），fy（x0，y0），-1），即該平面必為點（x0，y0，f（x0，y0））處的切平面：

z=f（x0，y0）+fx（x0，y0）（x-x0）+fy（x0，y0）（y-y0），

于是二元函數f（x，y）在一點處可微的幾何意義為：如果曲面z=f（x，y）在點（x0，y0，f（x0，y0））處有一張不平行于z軸的切平面，則函數z=f（x，y）在點（x0，y0，f（x0，y0））處可微，或者可以更形象地解釋為：將曲面f（x，y）在點（x0，y0，f（x0，y0））附近放大，當放大到某一程度，曲面看上去像一條非豎直的平面，則函數f（x，y）在點（x0，y0）可微。反之，如曲面f（x，y）在點（x0，y0，f（x0，y0））處沒有非豎直的切平面，則函數f（x，y）在點（x0，y0，f（x0，y0））處不可微。

接著，再分析函數f（x，y）在點（x0，y0）處全微分的幾何意義。由定理2，當函數z=f（x，y）在點（x0，y0）可微時，函數的全微分為，習慣上，Δx=dx，Δy=dy，則。

如圖3所示[7]，圖中淺藍色的平面為曲面f（x，y）在點P（x0，y0，f（x0，y0））處的切平面，則函數f（x，y）在點（x0，y0）處全微分可以這樣理解：對于曲面z=f（x，y），當自變量x，y進行細分，得到微分dx和dy，相應地應變量z也進行了細分，即圖3中的線段MQ，此時將點P處的切平面近似替代點P附近的曲面，即用線段MN代替線段MQ，從而得到因變量的微分。這同樣體現出“無限細分，以直代曲”的思想。

4 全微分與連續、偏導數、方向導數以及偏導數連續關系的幾何解釋

多元函數微分學中，連續、偏導數、方向導數和全微分的概念，以及這四者之間的關系是教學的難點，在國內大部分教材上[2-4]，講解這四個概念之間關系時，都是從這四個概念的定義出發，通過嚴格的理論證明或者利用具體反例研究它們之間的關系，理論性較強。根據上文，二元函數可微的幾何意義是曲面具有非豎直切平面，因此我們同樣可以從幾何角度直觀解釋全微分與連續、偏導數、方向導數以及偏導數連續之間的關系。

4.1 全微分與連續關系的幾何解釋

二元函數連續的幾何意義[8]：連續函數的圖形是一個無孔隙、無裂縫而綿密的曲面。從幾何直觀上，一張曲面如果在一點有非豎直切平面，則曲面在該點肯定無孔隙、無裂縫;反之，如果曲面出現尖點，在尖點處雖然無孔隙、無裂縫，但曲面在尖點處沒有切平面，例如，可以在課堂上給學生展示這樣一個小實驗：將一張A4打印紙揉成一個紙團，再展開，A4紙出現了許多折痕，在折痕處紙是沒有孔隙，沒有裂縫的，但是在折痕處它沒有切平面。因此，對于多元函數，可微必連續，但連續不一定可微。

4.2 全微分與偏導數、方向導數關系的幾何解釋

二元函數z=f（x，y）的偏導數和方向導數是曲面z=f（x，y）沿不同方向變化率的精確刻畫，其中偏導數是曲面z=f（x，y）沿坐標軸正方向的變化率，方向導數是曲面z=f（x，y）沿任一方向的變化率。

如果曲面z=f（x，y）在一點處具有非豎直切平面，則在曲面z=f（x，y）上過該點的任意曲線都會在該點都有切線，而這些切線的斜率正是曲面沿該切線方向的變化率，因此從這可以看出，如果函數z=f（x，y）在一點處可微，則函數z=f（x，y）在這點處的偏導數和方向導數都存在。反之，如圖4所示，曲面在尖點M處沿各個方向的方向導數都存在，但在曲線上過點M作曲線，曲線在點M 處不具有切線，所以曲面在點M處沒有切平面，因此函數在一點處僅僅偏導數或者方向導數存在，則不能推出函數在該點處可微。

4.3 全微分與偏導數連續關系的幾何解釋

定理3[6] （可微的充分條件）如果函數z=f（x，y）的偏導數在點（x，y）連續，則函數在該點可微分。

從幾何直觀上，曲面光滑，則曲面一定有切平面。曲面光滑指曲面上各點處都具有切平面，且當點在曲面上連續移動時，切平面也連續轉動[2]，而法向量和切平面垂直，切平面連續轉動的同時，法向量也在連續轉動。當曲面方程為二元函數z=f（x，y）時，其法向量為：n=（fx，fy，-1），因此正如定理3所說，當偏導數fx，fy連續時，法向量在連續轉動，則曲面光滑，曲面必有切平面，且此法向量n=（fx，fy，-1）不與z軸垂直，即切平面不與z軸平行，所以對應函數z=f（x，y）可微。反之，曲面有切平面，但曲面不一定光滑，即函數z=f（x，y）可微，不能推出偏導數fx，fy連續，如下面例1。

例1[8] 函數

的圖形為：

通過[8]可知，函數f（x，y）在點（0，0）處可微，而偏導數fx，fy在點（0，0）不連續，即曲面在點（0，0）處有切平面z=0，但由于曲面在點（0，0）附近無限震蕩，越接近點（0，0）震蕩的頻率越高，所以曲面在原點（0，0）處不光滑。

5 結束語

在“微分”和“全微分”的教學過程中，大部分學生會熟練掌握“微分”和“全微分”的計算方法，但對“微分”和“全微分”蘊含的本質思想卻不是很了解。本文在微分和全微分的教學過程中，避免了抽象、晦澀難懂的理論證明和推導，從幾何角度形象地解釋了“微分”和“全微分”的定義，充分體現出微分的重要思想“無限細分、以直代曲”。同時，我們也形象生動地給出了全微分與連續、偏導數、方向導數以及偏導數連續的關系。采用新的教學方法完成“微分”和“全微分”的教學，學生普遍反映較好，并且這也為后續講解“積分”的概念做好充分的準備。

參考文獻：

[1]William Dunham（著），李伯民，汪軍，張懷勇（譯）. 微積分的歷程—從牛頓到勒貝格[M]. 北京：人民郵電出版社，2017：1.

[2]同濟大學數學系. 高等數學上冊（第6版）[M]. 北京：高等教育出版社，2012：113-116.

[3]華東師范大學數學系. 數學分析上冊（第3版）[M]. 北京：高等教育出版社，2002：111-112.

[4]巢湖學院應用數學學院. 應用高等數學上冊[M]. 合肥：中國科學技術大學出版社，2016：72-74.

[5]朱家生. 數學史[M]. 北京：高等教育出版社，2005：110.

[6]同濟大學數學系. 高等數學下冊（第6版）[M]. 北京：高等教育出版社，2009：70-73.

[7]華東師范大學數學系. 數學分析下冊（第3版）[M]. 北京：高等教育出版社，2002：107-115.

[8]滕文凱. 二元函數微分學分析性質的相互關系及其幾何意義[J]. 承德民族師專學報，1994（2）：1-8.

基金項目：安徽省高等學校省級重點教學研究項目“基于超星學習通的混合式教學模式研究與實踐——以大學數學公共基礎課為例”（2019jyxm0393）;巢湖學院校級一流課程建設項目“高等數學”（chylkc034）;巢湖學院精品在線開放課程“線性代數”（ch18zxkc17）;巢湖學院重點教學研究項目“基于SPOC和翻轉課堂的線性代數混合式教學改革與實踐”（ch19jxyj11）

作者簡介：王珺（1984—），女，安徽安慶人，碩士，講師，研究方向為計算數學