基于柔順度最小化的板桁結構拓撲優化設計

岳海玲

摘 要：板桁結構在橋梁結構中應用廣泛。基于柔順度最小化的拓撲優化方法，研究了不同橋面板材料的板桁組合結構的拓撲優化問題。算例結果表明：組合結構中的板結構采用不同材料，優化獲得的組合結構最優拓撲不同;所采用方法優化求解迭代過程平穩，能獲得不同材料組成的板桁組合結構優化拓撲構型。研究結果有益于工程實際應用。

關鍵詞：板桁結構;拓撲優化;柔順度

中圖分類號：U448 文獻標識碼：A 文章編號：1003-5168（2021）23-0064-03

Abstract： Plate truss structure is widely used in bridge structure. Based on the topology optimization method of minimizing compliance， the topology optimization of plate truss composite structures with different deck materials is studied in this paper. The results show that the optimal topology of the composite structure is different when the plate structure of the composite structure adopts different materials. The iterative process of the optimization solution is stable， and the optimal topological configuration of plate truss composite structures composed of different materials can be obtained， which is beneficial to practical engineering application.

Keywords： plate-truss composite structure;topological optimization;compliance

結構拓撲優化問題是計算力學領域和工程結構設計領域的一個熱點問題[1]。近年來，各種結構拓撲優化設計方法迅速發展與擴展[2]，并被應用于航空、航天和土木工程等各個領域。實體各向同性材料懲罰法[3]（Solid Isotropic Material Penalty，SIMP）具有高效和變量少等特點。因此，該方法被廣泛應用于解決各種工程設計問題。

板桁組合結構是由橋面板和桁架共同受力的梁式結構。因為該結構受力性能好，其他綜合性能優秀，在現役橋梁中被廣泛應用[4-5]。

針對橋梁工程中的板桁組合結構，研究了考慮剛度最大化的板桁結構拓撲優化設計問題。首先，給出了剛度最大化的結構拓撲優化數學模型，并引入變體積比約束的方式，對優化模型進行等效轉化并求解。其次，研究了不同材料組成和不同尺度比的板桁組合結構的拓撲優化問題，獲得了一系列清晰的結構拓撲，并進行了對比分析。研究結果表明：本方法可以獲得清晰的板桁組合結構優化拓撲構型，易于應用于工程實際;不同的材料組成所獲得的優化結果各異，不同的初始結構尺度比獲得的優化結果有差異，體現了材料特性和尺度差異帶來的影響。

1 柔順度最小化板桁結構拓撲優化問題表述

1.1 單元拓撲變量與插值函數

2 板桁組合結構優化設計

2.1 10 m×2 m簡支板桁結構拓撲優化設計

圖1顯示簡支板桁結構初始設計區域，按平面應力問題計算，取厚度為0.1 m。設結構由混凝土板和鋼結構桁架組成。上緣板高為0.2 m，設為不設計區域，跨度為10 m，梁高為2 m。沿橋跨作用豎向均布荷載[q]=10 kN/m。取設計區域為鋼材，取不設計區域的板為鋼材或混凝土兩種材料分別進行設計。混凝土板彈性模量[E1]=28 GPa，泊松比[υ]=0.3，密度[ρ]=2 300 kg/m3;桁架區域鋼材材料彈性模量[E2]=200 GPa，泊松比[υ]=0.3，密度[ρ]=7 800 kg/m3，設體積比約束為50%。圖2顯示取板為混凝土材料的結構拓撲優化歷程;圖3顯示取板為鋼材料的結構拓撲優化歷程。在荷載相同的情況下，取板為混凝土材料的結構初始構型的柔順度為8.34 N·m，優化拓撲的柔順度為14.80 N·m。取板為鋼材料的結構初始構型的柔順度為6.75 N·m，優化拓撲的柔順度為10.91 N·m。

對比由兩種不同的初始設計區域獲得的優化拓撲，可以發現最優化結果拓撲構型差異明顯，體現了不同的板結構材料對優化結果求解的影響。究其根源，在于混凝土板材料的彈性模量與鋼材的彈性模量存在差異，導致結構中材料的剛度布局存在差異。

2.2 10 m×1.5 m簡支板桁結構拓撲優化設計

按圖1顯示簡支板桁結構初始設計區域，按平面應力問題計算，取厚度為0.1 m。設結構由混凝土板和鋼結構桁架組成，梁跨度為10 m，梁高為1.5 m。沿橋跨作用豎向均布荷載[q]=10 kN/m。材料和其他設計基本資料同2.1設置。設體積比約束為50%。圖4顯示取板為混凝土材料的結構拓撲優化歷程。圖5顯示取板為鋼材料的結構拓撲優化歷程。

2.3 10 m×1 m簡支板桁結構拓撲優化設計

按圖1 顯示簡支板桁結構初始設計區域，按平面應力問題計算，取厚度為0.1 m。設結構由混凝土板和鋼結構桁架組成，梁跨度為10 m，梁高為1.0 m。沿橋跨作用豎向均布荷載[q]=10 kN/m。材料和其他設計基本資料同2.1設置。設體積比約束為50%。圖6顯示取板為混凝土材料的結構拓撲優化歷程。圖7顯示取板為鋼材料的結構拓撲優化歷程。

對比10 m×2 m、10 m×1.5 m和10 m×1 m簡支板桁結構拓撲優化設計結果可以看出，采用不同的尺度比獲得的優化拓撲構型不同。隨著長度方向尺度的增加，優化構型的跨中區域的腹桿剛度分配減少，上緣和下緣弦桿所需要的剛度增加。另外，當采用不同的上緣板結構時，優化拓撲所顯示出來的桁架體系不一樣，說明板桁組合結構的優化桁架體系受板材料的剛度和桁架材料的剛度之比的影響明顯。

3 結論

研究考慮柔順度最小化板桁組合結構拓撲優化設計問題，基于經典的SIMP方法和變體積約束限的方式，優化獲得了不同板結構的板桁組合結構拓撲構型，得出如下結論：①本方法可以進行鋼板桁結構和混凝土板桁結構的拓撲優化設計，可以獲得組合結構優化拓撲;②組合結構中的板結構采用不同材料，優化獲得的組合結構最優拓撲不同;③板桁組合結構的初始長寬尺度比對優化結構拓撲有明顯影響。

參考文獻：

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