利用幾何圖形建立直觀通過代數運算刻畫規律
——“平面向量及其應用”內容分析與教學思考

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

關于數與形的聯系，華羅庚先生有詩曰：

數與形

本是相倚依

焉能分作兩邊飛

數缺形時少直觀 形缺數時難入微

數形結合百般好 隔離分家萬事休

切莫忘

幾何代數統一體 永遠聯系莫分離

這說明，當我們把數、形統一起來考慮時，對這兩者的認識都會變得更深刻；否則，將兩者孤立起來，那么數與形都不會走得太遠.“現代數學強調用代數的方法研究幾何，其本質是通過幾何圖形建立直觀，通過代數運算刻畫規律.”([1],p.40)

以往高中數學課程都是將代數與函數放在一起.與此不同，《普通高中數學課程標準(2017年版)》首次設置了“幾何與代數”內容主線，必修內容包括平面向量、復數和立體幾何初步，選擇性必修內容包括空間向量與立體幾何、平面解析幾何.如此設置的理由，“一是為代數、特別是線性代數的學習建立幾何直觀，這個幾何直觀對于學生的未來學習是非常重要的；二是讓學生知道如何用代數運算解決幾何問題，這是現代數學的重要研究手法.”([1],p.51)

顯然，要使數與形結合起來，需要橋梁，需要有數形結合的研究工具.笛卡爾發明了直角坐標系，成功地在數與形之間搭建了橋梁，而向量概念的建立，則使我們有了“集數與形于一身的數學研究工具”.正如課程標準指出：向量理論具有深刻的數學內涵、豐富的物理背景.向量既是代數研究對象，也是幾何研究對象，是溝通幾何與代數的橋梁.向量是描……