教材分析從理解走向探究：尋找均值不等式鏈中的主線

葛慧敏 徐章韜

(華中師范大學 數學與統計學學院 430079)

1 引言

下面是在教材深度分析中，通過探究來理解教材的一個案例.這個案例的作用不只是從另外一個角度理解均值不等式，而是為了闡明一種一線串通的思考路徑.

2 各種平均數的得來

2.1 算術平均數

2.2 調和平均數

(1)變常數

(2)分式變換

進行倒數變換.倒數變換是代數變形中的一種常見技法.

2.3 幾何平均數

(1)常數變易

(2)變常數為未知數

(3)分式變換

2.4 平方平均數

(1)常數變易

(2)分式變換

3 各種平均數的統一

3.1 引出凸、凹函數的概念

3.2 得到大小關系鏈

再由比例的性質有

故有Q>A>G>H.

3.3 從幾何上說明

古希臘人為了克服無理數的困擾，對線段比十分熱衷.平行線分線段成比例定理更是相似三角形的基礎.由此，可以得到上述不等式鏈的幾何說明.

如圖1，四邊形ABCD為梯形，其中AB=a,DC=b(不妨設a

圖1

(1)分別計算線段EF,GH,KL,IJ的長度.

② 因為梯形ABLK∽梯形KLCD,

④ 如圖2計算IJ的長度，延長CB與DA交于點M.

圖2

(2)研究線段EF,GH,KL,IJ在梯形ABCD中的位置.

圖3

如圖3，設線段KL與線段BD交于點O1,線段GH與線段BD交于點O2,線段IJ與線段BD交于點O3.

4 分析與討論

在上述過程中能夠看到，采取的主體思路是：以定比分點公式為主線串通均值不等式鏈.通過算術平均數的定義引入定比分點公式的表示，猜想定比分點公式可以推導出調和平均數、幾何平均數和平方平均數；把握三種平均數的特點，利用常數變易和分式變換兩條變換路線進行推導；說明均值不等式鏈中的各種平均數都可以通過定比分點公式而得到.……