例談高中數學中的恒成立問題的解題方法

錢夢迪

(江蘇省蘇州市常熟市中學 215500)

一、分離參數求函數最值

例1已知函數f(x)=ex-mx，x∈R，若x>0，關于x的不等式f(x)≥x2+1恒成立，求實數m的取值范圍；

小結本題通過不等式恒成立分離參數，進而利用導數求得已知函數的最值，根據要求求得所求范圍.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.

小結含雙變量的恒成立問題，按照變量的轉化順序解題.本題解法是分離出c后，先關于b求最值，再關于x求最值.本例也可以先關于x求最值，再關于b求最值，但解題過程復雜，運算量大，讀者不妨一試.

二、分類討論，研究含參函數的最值

例3 若不等式(x+1)ln(x+1)

解析可設f(x)=(x+1)ln(x+1)-ax2-2ax,問題轉化為f(x)<0在(0,+∞)上恒成立.求得f′(x)=ln(x+1)-2ax-2a+1,x>-1.

(1) 當a≤0時，f′(x)=ln(x+1)+1-2a(x+1)>0,則f(x)在(0,+∞)上單調遞增，所以f(x)>f(0)=0在(0,+∞)上恒成立，與已知不符，故a≤0不符合題意．

小結本題用了函數思想法：將不等式轉化為某含待求參數的函數最值問題，利用導數求該函數的極值(最值)，然后構建不等式求解.一般的f(x)≤g(x)恒成立等價于f(x)-g(x)≤0恒成立，記G(x)=f(x)-g(x)，則G(x)max≤0.本題中由于G(x)有參數，需要分類討論，利用導數求最值．

小結本題用了函數思想方法，對于多元素的恒成立問題，轉化順序，依次求解.

三、數形結合，等價轉化為研究函數圖象的最值

解析當-1

由此作出函數f(x)的圖象，如圖所示.

小結本題利用數形結合的思想，畫出函數圖象，研究取值范圍.