截口橢圓離心率問題的探究

康 琳

(四川師范大學附屬中學 610061)

題目設圓錐的軸截面是一個正三角形,用一個與圓錐底面成30°夾角的平面去截圓錐,所得截口曲線是橢圓,則該橢圓的離心率為____.

思路1確定橢圓上特殊點的坐標

思路2橢圓短軸所在的圓截面上利用勾股定理計算短半軸長

思路3構造三角形，利用相似計算短半軸長

思路4構造直角三角形，利用勾股定理計算短半軸長.

思路5利用Dandelin球與截面、側面相切，切點為焦點

點評以上五種思路都充分利用了特殊的幾何關系，特別是條件里的正三角形使計算比較容易，如果將題目中軸截面改為等腰三角形(非正三角形)，夾角非特殊角度時，幾何關系的不明確將增加運算難度，甚至運算難以進行，于是產生了對這道題的進一步探究.

點評用此公式求截口曲線——橢圓的離心率不僅快捷，而且更具有普適性.

小結本文的題目以“截面橢圓”為載體，既考查了學生直觀想象的核心素養，也考查了數學抽象的核心素養，在這個過程中，還需要學生具備較強的邏輯推理能力和數學運算的能力；就這個題目而言，以上多種思路需要用到數形結合的思想，化歸及轉化的思想.同時也揭示了平面解析幾何的本質思想—幾何問題代數化.這強調了知識的交叉，滲透和綜合，因此，這個題目的綜合性較強，是立體幾何與平面解析幾何綜合考查的典范，極具探究意義.