求積公式坐標(biāo)化 優(yōu)化解題的思維

田耀祖

(甘肅省通渭縣第二中學(xué) 743300)

面積、體積是高中數(shù)學(xué)中的常見題型.此類問題的解答，通常利用給定的面積、體積公式，若給定圖形的點的坐標(biāo)，則如何求其面積或體積呢？除了化歸于公式求解，是否能將面積與體積由點的坐標(biāo)來公理化呢？經(jīng)過筆者的深入思考、探究、嘗試，終有一份收獲.

定理1在平面內(nèi)，已知△ABC，若A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),則△ABC的面積

設(shè)x′=x2-x1,y′=y2-y1,x″=x3-x1,y″=y3-y1,

∵x′=x2-x1,y′=y2-y1,x″=x3-x1,y″=y3-y1，

記|x1y2+x2y3+x3y1-x2y1-x3y2-x1y3|

定理2 在空間內(nèi)，已知△ABC，若A(x1,y1z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),則△ABC的面積

定理2的證明方法與定理1的很相似，只是將二維變元轉(zhuǎn)化為三維變元就可以了.在此定理2的證明過程簡略.

推論在空間中，已知四面體ABCD的頂點坐標(biāo)分別是A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3),D(x4,y4,z4),那么四面體ABCD體積

上述坐標(biāo)形式的求積公式，體現(xiàn)了頂點坐標(biāo)與面積、體積的直接關(guān)系，并且此公式在形式上充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的完美性、對稱性.在內(nèi)容上充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的簡捷性，規(guī)律性.更重要的是此公式在解決一些數(shù)學(xué)問題時表現(xiàn)出它優(yōu)異的本色，能優(yōu)化解題思維.下面舉例說明它的應(yīng)用.

一、解面(體)積的問題

圖1

解如圖1所示,不等式組表示的平面區(qū)域是三角形ABC.而A,B,C點的坐標(biāo)分別是A(0,2),B(2,0),C(2,4).

因此，答案是B.

二、解最值問題

因此,答案為D.

例3在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2上異于坐標(biāo)原點O的兩不同動點A,B滿足OA⊥OB.

△ABO的面積是否存在最小值?若存在，請求出最小值;若不存在，請說明理由.

所以，△ABO的面積

∵k>0,

∴S≥1.

因此，△ABO面積S是存在的且最小值是1.

三、解共線、共面問題

例4已知A(3,-6),B(-5,2),C(6,y)三點共線，則y=____.

解∵A,B,C三點共線,

即|3×2+(-5)×y+6×(-6)-(-5)×(-6)-6×2-3×y|=0.

圖2

例5如圖，已知ABCD-A1B1C1D1是棱長為3的正方體，點E在AA1上，點F在CC1上，且AE=FC1=1，

求證：E,B,F,D1四點共面.

證明建立如圖2所示的坐標(biāo)系，則E,B,F,D1的坐標(biāo)如下：

E(0,3,1),B(3,3,0),F(3,0,2),D1(0,0,3).

∴E,B,F,D1四點共面.

四、解點到平面距離的問題

圖3

例6在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱AA1，BB1的中點，G為棱A1B1上的一點，且A1G=λ(0≤λ≤1)．則點G到平面D1EF的距離為( ).

2016年，我國教育部頒布了《中國高等教育系列質(zhì)量報告》，其中顯示國內(nèi)高等教育“硬件”建設(shè)數(shù)量正在呈現(xiàn)井噴式增長發(fā)展趨勢，根據(jù)統(tǒng)計目前全國固定資產(chǎn)也已經(jīng)全面增加42.15%左右，在教學(xué)、科研儀器等方面更增幅超過60.22%。這些數(shù)據(jù)也在告訴人們高校教育領(lǐng)域已經(jīng)引入了全新的固定資產(chǎn)管理方式，它基本實現(xiàn)了對校內(nèi)固定資產(chǎn)管理的管理理念與系統(tǒng)功能數(shù)據(jù)的優(yōu)化，值得期待。

四面體的體積

底面D1EF的面積

因此，答案是D.

五、解異面直線夾角的問題

圖4

求異面直線AO與CD所成角的大小．

通過上述幾例我們不難發(fā)現(xiàn)求積公式坐標(biāo)化后，有它的優(yōu)越性，不但解決一些面積、體積問題，而且還能解決一些立體幾何的其它問題.所以運(yùn)用好這一公式，將會優(yōu)化解題的思維.