巧用反證法 讓數學解題“柳暗花明”

陳 辰

(安徽省六安第一中學 237009)

一、利用反證法，解決數列問題

高中數學的知識內容比較多，并且知識復雜繁多，在解題過程中存在不少的困難，使得學生難以完成解題.數列作為高中數學的重要知識內容，題目復雜多變，涉及到的知識內容比較多.部分數列問題在解題中，從正面思考有著很大的難度，面對這樣的情況，教師可以引入反證法，幫助學生解決解題中的困擾，明確題目解題思路，快速、準確地解答問題，提高學生解題能力.

例1已知等比數列{an}的公比是q，其前n項和為Sn，判斷數列{Sn}是否為等比數列.

點評面對復雜的數列問題，如果從正面求解比較困難，引導學生靈活利用反證法，節約學生解題時間，提高學生解題準確性，保證學生課堂學習效果.因此，在具體的解題教學中，應當打破以往解題方式的約束，加強學生發散思維培養，對所學知識進行綜合理應，在最短的時間內容找到最佳的解題方式，提高解題教學效果.

二、利用反證法，解決命題證明題

1.唯一性命題解答

數學作為一門基礎性學科，涉及到的數學概念、性質、公式等內容比較多，在實際的解題中，命題證明問題是常見的問題類型.不少唯一性命題的證明問題從正面是很難得到證明的.因此，面對命題證明問題，需要對題目類型進行分析，靈活引入反證法，從反面進行證明，完成唯一性命題的解題.

例如，在圓的知識學習中，所學學生都知道一個圓只有一個圓心，那么怎樣去證明呢.面對這樣的問題，教師可以引導學生從反面進行思考和證明.假設一個圓有兩個圓心，分別是圓心O和圓心A，在圓內作出任意一條弦CD，找出CD的中點E，將AE和OE連接起來，在這樣的情況下，經過直線CD的中點E存在兩條直線和CD垂直.這樣的結論和“經過一點有且只有一條直線和已知直線垂直”的性質相互矛盾，因此，假設不成立，則證明一個圓只有一個圓心.

2.必然性命題解題

在必然性命題證明中，可以將題目中的結論加以否定，將原來的肯定命題轉變成否定命題，通過相應的論證，推斷否定命題不成立，得出原命題正確的幾輪，完成題目的論證.因此，面對必然性命題解題時，需要對題目內容進行分析，準確分析其原命題，做出相應的假設.在論證時，應當保證其嚴謹性，避免出現論證遺漏等問題.

例2已知a、b、c均為正整數，并且a2+b2=c2，a為質數，求證：b、c兩個數字必然是一個偶數、一個奇數.

解析在證明時，假設b、c兩個數字都是偶數或者都是奇數，根據a2+b2=c2進行轉化，c2-b2=a2，所有(c-b)(c+b)=a2，根據奇偶數的性質可以得出c-b和c+b都是偶數，所以得出a2為偶數.根據已知中a為質數，所有，當a=2時，則(c-b)(c+b)=4，通過求解得出b、c的值，根據題目中a、b、c都是正整數做出判斷，證明b和c兩個數字為一奇一偶.

3.解答無限命題

高中數學解題中，部分題目的條件比較少，從正面很難做到求解，因此，需要引導學生掌握反證法，從反面進行思考和解題，培養學生解題能力.

點評面對命題證明問題，引導學生對命題類型做出分析，根據其結構特點，做出相應的假設，根據題目內容進行分析，靈活利用反證法完成題目求解.

三、利用反證法，解答不等式問題

不等式作為高中數學的重要內容，不等式問題也是學生解題中的難點問題，對于一般的不等式問題，學生通過分析法、綜合法和比較法就能完成解題，但是，對于一些較為極端的不等式問題，通過此三種方式很難解題，甚至不能完成解題.此時可考慮引導學生利用反證法解題，培養學生多種解題方式，強化學生解題能力.

例3已知a、b>0，求證：a3+b3≥a2b+ab2.

解題時，利用反證法進行解題，先假設不等式不成立.則有

a3+b30,所以a2-ab+b

點評高中數學不等式解題中，題目類型豐富多樣，形式各不相同，雖然綜合法、比較法等解題方式是常見的解題方式，解題更加準確、快速，但是，反證法有著其自己的優勢，豐富學生解題方式，加強學生思維能力鍛煉.

高中數學解題中，反證法是一種有效的解題方式，幫助學生解答疑難問題，明確解題關鍵點，找到最佳的解題思路.通過反證法的利用，加強學生邏輯思維能力培養，提高學生創新能力.因此，作為高中數學教師，應當根據題目類型，做出相應的分析，靈活利用反證法，有效解決數學難題，提高學生數學解題能力.