活躍在中學數學中的思想方法例談

李成輝

(安徽省宿州市靈璧中學 234200)

函數與方程思想就是用函數與方程的觀點，處理變量與未知數之間的關系；數形結合思想即是將數和形構建相互聯系的體系，進行恰當轉化，求解問題.要想熟練、快速地解答此類問題，需要熟悉數學解題的三種語言，即文字語言、符號語言和圖形語言.

求解數學問題中，離不開轉化與化歸，有時也需要對問題分類討論才能得到需要的結論.要想對問題熟練、準確地求解，需要細讀題目，弄清題意，弄清題目中設計的相關數學概念、公式及其相互間的聯系，才能明白如何轉化、如何討論.

一、函數與方程思想

例1在等差數列{an}中，已知a1=13,3a2=11a6，則數列{an}的前n項和Sn的最大值為____.

解析方法一(函數法)：由3a2=11a6，得3×(13+d)=11×(13+5d)，解得d=-2，

所以an=13+(n-1)×(-2)=-2n+15.

所以當n=7時，數列{an}的前n項和Sn最大，最大值為S7=49.

方法二(通項法)：由解法一可得an=-2n+15.

解得6.5≤n≤7.5.

點評數列的通項與前n項和是自變量為整數的函數，可用函數的觀點去處理數列問題.常涉及最值問題或參數范圍問題，解決問題的關鍵是利用函數的單調性來研究最值問題.

二、數形結合思想

例2 已知函數f(x)是奇函數，在(0，+∞)上是減函數，且在區間[a，b](a

圖1

A.有最大值4 B.有最小值-4

C.有最大值-3 D.有最小值-3

解析方法一：根據題意作出y=f(x)的簡圖，由圖知，選B.

方法二：當x∈[-b，-a]時，-x∈[a，b]，

由題意得f(b)≤f(-x)≤f(a)，即-3≤-f(x)≤4，

∴-4≤f(x)≤3，即在區間[-b，-a]上，f(x)min=-4，f(x)max=3.

故選B.

點評函數最值問題是高考試題中常見的一類考題，此類考題的求解方法常結合函數圖象進行解決，利用數形結合思想解決數學問題，有助于使問題更加直觀化.

三、分類討論思想

例3 已知函數f(x)=3-2log2x，g(x)=log2x.

(1)當x∈[1，4]時，求函數h(x)=(f(x)+1)·g(x)的值域；

解析(1)h(x)=(4-2log2x)·log2x=-2(log2x-1)2+2.

因為x∈[1，4]，所以log2x∈[0，2]，

故函數h(x)的值域為[0，2].

(3-4log2x)(3-log2x)>k·log2x，

令t=log2x，因為x∈[1，4]，

所以t=log2x∈[0，2]，

所以(3-4t)(3-t)>k·t對一切t∈[0，2]恒成立，

①當t=0時，k∈R；

綜上，實數k的取值范圍為(-∞，-3).

點評分類討論思想的運用，在高中數學中的體現是十分明顯的，我們要清楚產生分類討論的具體緣由，這樣才能在分類討論時做到不重復也不遺漏.

四、轉化與化歸思想

圖2

點評本題需要先結合圖形引入輔助角，以便根據題意建立日總效益的函數關系式，然后通過求導分析并運用其單調性，即可順利求解目標問題.

分類討論問題主要涉及：由數學概念引起的分類討論；由性質、定理、公式的限制引起的分類討論；由數學運算要求引起的分類討論；由圖形的不確定性引起的分類討論；由參數的變化引起的分類討論.

轉化與化歸問題主要有：直接轉化法；換元法；數形結合法；等價轉化法.

高考題中考查函數與方程思想、數形結合思想的題目較多，選擇題、填空題和解答題中都有.

函數與方程的思想在解題中的應用十分廣泛，如：函數與不等式的相互轉化；數列的通項與前n項和；解析幾何問題；立體幾何中與線段、角、面積、體積的計算問題.

數形結合思想解決的問題常有：構建函數模型并結合其圖象求解相關問題；構建立體幾何模型研究代數問題；構建解析幾何中的斜率、截距、距離等模型研究最值問題；構建方程模型，求根的個數；研究圖形的形狀、位置關系、性質；等等.