觀數列命題方向 做引航科學備考

余榮華

(福建省清流縣第一中學 365300)

數列的的考查是高考的必考點，也是熱點內容，考查類型涵蓋選擇、填空及解答題.在復習備考時應熟練掌握并運用等差數列與等比數列的基本公式和重要性質.只有這樣才能做到知彼知己，百戰百勝.本文主要就數列問題展開討論，通過例題展示，對各類考題破題方法進行總結，望能夠給讀者帶來幫助.

一、數列的基本運算

例1(2019重慶期中)設Sn為等差數列{an}的前n項和，若a3+a7=10，S7=14，則數列{an}的公差為( ).

A.1 B.2 C.3 D.4

點評等差數列的基本運算方法

(1)等差數列的某一項可以根據首項a1和公差d來確定，因此等差數列的基本量問題可以圍繞著首項和公差來展開.

(2)對于等差數列問題，一般題目中會給出兩個以上條件，則可以利用方程思想，建立方程進行破解.

二、數列的性質

A.2 B.4 C.8 D.16

點評對于數列的性質問題，要做到熟記數列中相關的通項公式和前n項和公式，熟練掌握等差或等比數列的性質，另外還需要注意題目中的隱含條件，如“遞增數列”、“各項均為正”.

三、數列的證明

例3 (2019廣西省南寧市第二次適應性考試)已知數列{an}的前n項和為Sn，且滿足an+1=Sn+n+1(n=1,2,3,…)，a1=1.

(1)求證：{an+1}為等比數列；

(2)數列{an}中是否存在不同的三項，適當排列順序后構成一個等差數列？并說明理由.

解析(1)證明：

因為an+1=Sn+n+1(n=1,2,3,…)，①

所以an=Sn-1+n(n≥2).②

(2)不存在.

理由如下：由(2)得an=2n-1.

假設能得到一個等差數列，不妨設滿足條件的3項為ar，as，at，則2·(2s-1)=2r-1+2t-1，即2s+1=2r+2t.所以2r-s-1+2t-s-1=1，因為{an}是遞增數列，則r-s-1≥0，t-s-1≥0中必有一個成立.則2r-s-1+2t-s-1>1與2r-s-1+2t-s-1=1矛盾，所以數列{an}中不存在不同的三項，適當排列順序后構成一個等差數列.

點評等比數列的判定與證明

③通項公式法：驗證：an=abn(a≠0,b≠0).

④前n項和公式法：驗證：Sn=a·bn-a(a≠0,b≠0,b≠1)．

四、數列的求和問題

例4 (2019廣東一模)已知公差不為零的等差數列{an}滿足a1=5且a3,a6,a11成等比數列．

(1)求數列{an}的通項公式；

(2)設bn=an·3n-1，求數列{bn}的前n項和Sn．

化簡得：Sn=(n+1)3n-1．

點評用錯位相減法求和的3個注意事項

(1)要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形；(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn-qSn”的表達式；(3)在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比等于1和不等于1兩種情況求解．

五、數列的綜合問題

點評數列作為一類特殊的函數，其定義域是正整數而不是某個區間上的連續實數，所以它的圖象是一群孤立的點.若題中已知函數條件解決數列問題，此類問題一般利用函數的性質、圖象研究數列問題；若已知數列條件解決函數問題，解決此類問題一般要充分利用數列的有關公式與求和技巧等.

六、數列中的數學文化

例6 朱世杰是中國歷史上偉大的數學家之一，他所著的《四元玉鑒》卷中“如像招數”五問有如下問題：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日轉多七人.”其大意為“官府陸續派遣1864人前往修筑堤壩，第一天派出64人，從第二天開始每天派出的人數比前一天多7人.”在該問題中的1864人全部派遣到位需要的天數為( ).

A.9 B.16 C.18 D.20

點評對于等差數列中的數學文化問題，首先要能夠將題目中所給的數學文化問題轉化為等差數列問題，再根據等差數列知識進行求解.另外，該類試題除直接給出古代數學文化問題進行命題的形式外，有時還會以古代數學思想為載體進行命題(如：以格點問題為背景)或根據世界名題進行命題(如：哥德巴赫猜想，角谷猜想，四色定理).