巧妙變形 靜待花開

許銀伙

(福建省泉州外國語中學 362000)

解決直線與圓錐曲線位置關系幾乎都要用到韋達定理，因為它可以有效減少運算量，體現設而不求方法，其運用技巧是解析幾何壓軸問題常見的關卡設置.本文通過四個例題，介紹聯立直線與圓錐曲線方程后，所求式子是含有x1+x2，x1x2，mx1+nx2(m≠n)或同類型含y1,y2的分式時，如何運用韋達定理，通過變形，求出定值.

方法一

2.解決的思路是這樣得到的：在問題沒有解決前，條件必須試著使用，當y1y2用韋達定理代入，分式中還含有y1,y2,m三個量，把y1+y2也用韋達定理代入，就可以減少一個未知數，方便看出結果.

3.如果設直線PQ方程為：y=k(x+2)，方法類似，運算量略大些，同時必須說明當斜率不存在時的情況.

例題2 (泉州市2019屆單科質檢理科20)已知△ABC中，B(-1,0)，C(1,0)，AB=4，點P在AB上，且∠BAC=∠PCA.

(1)求點P的軌跡E的方程；

評注本題只采用把y2寫成(y1+y2)-y1代入解決，其余方法可自行嘗試.

(1)求E的方程；

(2)若AC⊥l1，垂足為C，直線BC交x軸于點D，證明：|MD|=|DG|.

評注設直線l2：x=1+my(m≠0)，避免討論斜率存在與否.

(1)求橢圓的方程；

(2)過點E(0,1)作不與y軸重合的直線l交橢圓于點M，N，直線MB1與直線NB2交于點T，試討論點T是否在某條定直線上？若存在，求出該直線的方程；若不存在，請說明理由.

2.通過分析：橢圓關于y軸對稱且點E(0,1)在y軸上，可以判斷點T所在的定直線應該關于y軸對稱，可以快速選用方法二.

3.方法二在y0表達式中還可以直接把韋達定理代入得出結果.

韋達定理的應用是解析幾何繞不過去的坎.在高考嘗試破除函數導數壓軸，嘗試的概率統計壓軸又難度過大，得分率太低的情況下，解析幾何作為壓軸題的可能性正在增加，因此韋達定理的應用技巧，應該得到重視和加強.