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——統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例高考考點(diǎn)題型例析

杜紅全

(甘肅省康縣教育局教研室 746500)

統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例與現(xiàn)實(shí)生活聯(lián)系緊密，是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，也是高考命題的一個(gè)重點(diǎn).下面舉例說明統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)案例高考考點(diǎn)題型，供參考.

一、抽樣方法

例1 (2019全國Ⅰ，文6)某學(xué)校為了解1000名新生的身體素質(zhì)，將這些學(xué)生編號(hào)為1，2，…，1000，從這些新生中用系統(tǒng)抽樣方法等距抽100名學(xué)生進(jìn)行體質(zhì)測(cè)驗(yàn)，若46號(hào)學(xué)生被抽到，則下面4名學(xué)生中被抽到的是( ).

A．8號(hào)學(xué)生 B．200號(hào)學(xué)生

C．616號(hào)學(xué)生 D．815號(hào)學(xué)生

點(diǎn)評(píng)本題考查系統(tǒng)抽樣方法，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；求解本題的關(guān)鍵是利用分段間隔10和46號(hào)學(xué)生被抽到判斷出所抽號(hào)碼的個(gè)位數(shù)是6；不難發(fā)現(xiàn)選出的號(hào)碼所構(gòu)成的數(shù)列是以10為公差的等差數(shù)列，因此也可以利用等差數(shù)列的有關(guān)知識(shí)來解答；在抽樣方法中重點(diǎn)考查分層抽樣方法的應(yīng)用和系統(tǒng)抽樣.

二、頻率分布直方圖的應(yīng)用

例2 (2019全國Ⅲ，理17文17)為了解甲、乙兩種離子在小鼠體內(nèi)的殘留程度，進(jìn)行如下試驗(yàn)：將200只小鼠隨機(jī)分成A、B兩組，每組100只，其中A組小鼠給服甲離子溶液，B組小鼠給服乙離子溶液，每只小鼠給服的溶液體積相同、摩爾濃度相同．經(jīng)過一段時(shí)間后用某種科學(xué)方法測(cè)算出殘留在小鼠體內(nèi)離子的百分比.根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)分別得到如下直方圖：

圖1 圖2

記C為事件：“乙離子殘留在體內(nèi)的百分比不低于5.5”，根據(jù)直方圖得到P(C)的估計(jì)值為0.70．

(1)求乙離子殘留百分比直方圖中a，b的值；

(2)分別估計(jì)甲、乙離子殘留百分比的平均值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．

解析(1)由已知得a+0.20+0.15=0.70，解得a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.

(2)甲離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.

乙離子殘留百分比的平均值的估計(jì)值為

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.

點(diǎn)評(píng)本題以頻率分布直方圖為背景，考查頻率分布直方圖中未知字母的求法及相關(guān)計(jì)算，考查了數(shù)據(jù)處理能力，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)；解決與頻率分布直方圖有關(guān)的問題，關(guān)鍵在于尋找出圖中的數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系；利用頻率分布直方圖去估計(jì)總體是考查的重點(diǎn)，偶爾出現(xiàn)畫頻率分布直方圖.

三、莖葉圖的應(yīng)用

例3 (2014全國Ⅱ，文19)某市為了考核甲、乙兩部門的工作情況，隨機(jī)訪問了50位市民.根據(jù)這50位市民對(duì)這兩部門的評(píng)分(評(píng)分越高表明市民的評(píng)價(jià)越高)，繪制莖葉圖如下：

(1)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙部門評(píng)分的中位數(shù)；

(2)分別估計(jì)該市的市民對(duì)甲、乙部門的評(píng)分高于90的概率；

(3)根據(jù)莖葉圖分析該市的市民對(duì)甲、乙兩部門的評(píng)價(jià).

分析(1)中位數(shù)就是將數(shù)據(jù)按從大到小或從小到大的順序重新排列最中間的數(shù)或最中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)；(2)要求高于90的概率，就是要數(shù)出高于90的個(gè)數(shù)；(3)由所給的莖葉圖來評(píng)價(jià)一組數(shù)據(jù)，主要看兩個(gè)指標(biāo)，一個(gè)是中位數(shù)，另一個(gè)是標(biāo)準(zhǔn)差，其中從莖葉圖來觀察，數(shù)據(jù)越集中，其標(biāo)準(zhǔn)差越小，反之就越大.

(3)由所給的莖葉圖知，市民對(duì)甲部門的評(píng)分的中位數(shù)高于對(duì)乙部門的評(píng)分的中位數(shù)，而且由莖葉圖可以大致看出對(duì)甲部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差要小于對(duì)乙部門的評(píng)分的標(biāo)準(zhǔn)差，說明該市的市民對(duì)甲部門的評(píng)價(jià)較高、評(píng)價(jià)較為一致，對(duì)乙部門的評(píng)價(jià)較低、評(píng)價(jià)差異較大.

點(diǎn)評(píng)此題是文科的高考數(shù)學(xué)的統(tǒng)計(jì)題，求解此類題的關(guān)鍵是要熟練掌握統(tǒng)計(jì)學(xué)中的基本概念.

四、樣本的數(shù)字特征

例4(2019全國Ⅱ，文5)演講比賽共有9位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從9個(gè)原始評(píng)分中去掉1個(gè)最高分、1個(gè)最低分，得到7個(gè)有效評(píng)分.7個(gè)有效評(píng)分與9個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是( ).

A．中位數(shù) B．平均數(shù) C．方差 D．極差

解析9個(gè)數(shù)據(jù)從低到高排列后，第5個(gè)數(shù)據(jù)為中位數(shù)，去掉第1個(gè)和最后1個(gè)數(shù)據(jù)后，中間的數(shù)據(jù)即中位數(shù)不變.故選A．

點(diǎn)評(píng)本題考查的是數(shù)字特征，考查了數(shù)據(jù)處理能力；求解本題的關(guān)鍵是對(duì)中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差的本質(zhì)的理解.

五、相關(guān)關(guān)系的判斷與線性回歸方程

例5 (2016全國Ⅲ，理18)下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖.

(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系，請(qǐng)用相關(guān)系數(shù)加以說明；

(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01)，預(yù)測(cè)2016年我國生活垃圾無害化處理量.

分析(1)利用所給的數(shù)據(jù)和公式，求出相關(guān)系數(shù)r即可判斷出相關(guān)程度；(2)利用所給的數(shù)據(jù)及公式代入即可求出線性回歸方程，再把2016年對(duì)應(yīng)的t=9代入即可得出結(jié)論.

解(1)由折線圖中數(shù)據(jù)和附注中的參考數(shù)據(jù)得

六、獨(dú)立性檢驗(yàn)

例6 (2019全國Ⅰ，文17)某商場(chǎng)為提高服務(wù)質(zhì)量，隨機(jī)調(diào)查了50名男顧客和50名女顧客，每位顧客對(duì)該商場(chǎng)的服務(wù)給出滿意或不滿意的評(píng)價(jià)，得到下面列聯(lián)表：

滿意不滿意男顧客4010女顧客3020

(1)分別估計(jì)男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)滿意的概率.

(2)能否有95%的把握認(rèn)為男、女顧客對(duì)該商場(chǎng)服務(wù)的評(píng)價(jià)有差異？

P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828

分析(1)利用題表可以直接算出相應(yīng)的概率；(2)將題表數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算出K2的值，再與表中的k比較，即可作出相應(yīng)的判斷.

點(diǎn)評(píng)本題考查概率的計(jì)算、獨(dú)立性檢驗(yàn)；求解獨(dú)立性檢驗(yàn)有關(guān)問題的關(guān)鍵是根據(jù)樣本數(shù)據(jù)正確列出2×2列聯(lián)表以及根據(jù)公式準(zhǔn)確計(jì)算出K2的觀測(cè)值k，若K2的值越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.