殊途同歸 繁簡有別
——五種方法解析全國卷Ⅱ(理科)第15題

盧會玉

(甘肅省嘉峪關市第一中學 735100)

今年的高考全國卷整體來說還是一如既往的延續了平穩中創新的風格. 有老師和學生說題目難的主要原因是創新題目較多，思考反射弧較長導致的. 筆者注意到全國卷Ⅱ(理科)第15題考查的是復數知識，這相對其他幾套高考卷對復數的考查，不得不說是一大改變和創新，是在打破一類問題程序化的解答模式，也體現了數學遷移的思想. 下面就是筆者對該題的幾種解答.

解法一設向量a對應復數z1，向量b對應復數z2，則

所以a2+2a·b+b2=4，即a·b=-2,

評析本解法是利用復數與向量的對應關系，將代數問題轉化為向量問題解決，過程非常簡潔，但是對思維要求較高. 學生一旦能順利地將問題進行轉化，那么問題就迎刃而解.

評析本解法是利用復數與復平面內的點的一一對應關系，將代數問題轉化為幾何問題求解，對思維要求較高，要求學生能利用復數的模長相等以及平行四邊形法則，發現所求|z1-z2|即是菱形的另外一條對角線，從而轉化為等腰三角形邊長的計算問題.

解法三由|z1|=|z2|=2可設z1=2(cosα+isinα)，z2=2(cosβ+isinβ)，

又z1-z2=2(cosα-cosβ)+2(sinα-sinβ)i,

評析本解法是利用復數的三角形式解決問題，考查了兩角差的余弦公式，突出對數學知識整體性的考查，對思維的要求較高.

又z1-z2=(a-m)+(b-n)i,

評析本解法是利用傳統的設復數的代數形式解決問題，對思維的要求較低，過程中注意運算技巧即可，運算量較大.

評析本解法也是利用傳統設復數的代數形式解決問題，只是引入的變量減少了，其余要求和解法四相同.

2017版的課程標準對復數版塊做了一些調整，增加了復數的三角表示，上述解法中可以看到如果用三角表示法求解，無疑是一種不錯的方法. 課程標準中指出，幾何與代數是高中數學課程的主線，在必修課程與選擇性必修課程中，要突出幾何直觀與代數運算之間的融合，即通過形與數的結合，感悟數學知識之間的關聯，加強對數學整體性的理解. 這是幫助學生體會數學思想的重要途徑，也是提高學生核心素養的最有效的方法.

在復數的教學中，應注重對復數的表示及幾何意義的理解，避免繁瑣的計算與技巧訓練. 復數作為一類重要的運算對象，通過對復數的學習，可以幫助學生通過方程求解，理解引入復數的必要性.