米勒問題的數學建模及應用

張俊暢

(廣東省大埔縣虎山中學 514299)

數學建模是對現實問題進行數學抽象，用數學語言表達問題、用數學知識與方法構建模型解決問題的過程.主要包括：在實際情境中從數學的視角發現問題、提出問題，分析問題、構建模型，求解結論，驗證結果并改進模型，最終解決實際問題.數學模型構建了數學與外部世界的橋梁，是數學應用的重要形式.數學建模是應用數學解決實際問題的基本手段，也是推動數學發展的動力.

我國《普通高中數學課程標準》中要求數學建模以不同的形式滲透于必修和選修課程中.數學建模進入高中數學課程已成必然，作為一線教師必須改變觀念，積極探索數學建模教學實施策略，為學生數學學習營造更為寬廣的空間.筆者通過數學史上的一道名題-米勒問題的數學建模與應用作些研究.

一、關于米勒問題

1471年，德國數學家米勒向諾德爾教授提出了如下十分有趣的問題：在地球表面的什么部位，一根垂直的懸桿呈現最長？即在地球上什么部位，視角最大？最大視角問題，是數學史上100個著名的極值問題中第一個極值問題，因而引人注目.因為德國數學家米勒曾提出這類問題，因此最大視角問題又稱之為“米勒問題”.

二、米勒問題的數學問題形式

米勒問題可以轉化為這樣的幾何模型：如圖1，線段AB垂直于直線EF，垂足為點O，在直線EF上任選一點C，使得∠ACB的值最大，求此時點C的位置.

三、米勒問題的數學模型及其求解

1.米勒問題的代數解法

2.米勒問題的幾何解法(Ad.Lorsch解法)

在水平直線上選擇點C，使得△ABC外接圓與水平直線剛好相切于點C，則切點就是視角最大的點.

3.米勒問題的推廣

如圖3，已知點A,B是銳角∠MON的邊OA上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當點C在何處時，∠ACB最大？利用Ad.Lorsch的幾何解法，我們不難發現:當△ABC的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大(這里證明省略).

4.結論提煉

通過上面的數學建模的論證，我們可以得出如下重要結論(我們這里稱為米勒定理)：

米勒定理已知點A,B是銳角∠MON的邊ON上的兩個定點，點C是邊OM上的動點，則當且僅當△ABC的外圓與邊OM相切于點C時，∠ACB最大.

四、米勒問題的應用

例1要測量電視塔AE的高度H(單位：m)，如圖4，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α,∠ADE=β,若該小組分析若干測得的數據后，認為適當調整標桿到電視塔的距離d，使α,β之差較大，可以提高測量精度.若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，α-β最大？

點評本題是以實際應用和平面幾何為背景考查最大角問題，此解法以米勒定理和相似三角形等知識為突破口，結合方程思想求解，綜合性強,能力立意高,有一定難度.

點評本解法不僅用到米勒定理的結論，而且還要熟悉定理證明的幾何背景及圖形間的內在聯系，用相似三角形對應邊成比例求線段比，運算量小解法簡單快捷.

最大視角問題在數學競賽、歷屆高考和模擬考試中頻頻亮相，常常以解析幾何、平面幾何和實際應用為背景進行考查.若能從題設中挖出隱含其中的米勒問題模型，并能直接運用米勒定理解題，這將會突破思維瓶頸、大大減少運算量、降低思維難度、縮短解題長度，從而使問題順利解決.