二項式定理兩類常見錯誤警示

高振寧

(山東省新泰市第一中學 271200)

二項式定理是歷年高考的必考內容，考查的方式相對比較穩定，主要考查以下兩點：(1)考查二項展開式的通項公式，包括求展開式的指定項、常數項、有理項等.(2)考查二項式系數的性質，特別關注賦值法處理系數和以及二項式系數和問題.筆者在研讀文[2]后，發現解答二項式定理問題中的兩種常見錯誤.

錯誤類型1二項展開式中系數和易錯問題

A.28B.28-1 C.27D.27-1

錯因分析因(2x-1)n=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，則當n為偶數時，偶數項系數和為S偶=an-1+an-3+…+a1，奇數項系數和為S奇=an+an-2+…+a0.令x=-1得(-3)n=S奇-S偶=-37，顯然無解.

當n為奇數時，偶數項系數和為S偶=an-1+an-3+…+a0，奇數項系數和為S奇=an+an-2+…+a1.令x=-1得(-3)n=S偶-S奇=37，因n為奇數，故也無解.此題是一個錯題,如果把(2x-1)n改成(1-2x)n，利用升冪形式的二項展開式，就可以求出正確答案.二項展開式應該嚴格按照通式展開，必須明確是升冪展開式還是降冪展開式.

錯題類型2二項展開式中系數最值易錯問題

文[2]中指出,求系數最大的項采用不等式法，設第r+1項系數為Pr+1最大，則有以下不等式成立.

無解.故系數最小的項不存在.

傳統解決二項式系數最大項與最小項問題的方法是不等式法，設Tr+1項系數最小，隱含著系數最小項的r范圍是1≤r≤n-1，但實際上0≤r≤n.不等式法求解最值項的三個不足之處：(1)需要解兩個不等式，計算量較大；(2)不等式組有解時，說明系數最值在中間項取到，若不等式組無解，并不是系數最值項不存在，而是說明最值項不在中間項，而是在首尾兩項中取得；(3)不等法的運用有局限性，不等式組只能反映局部關系，不能反映整體情形.系數數列的單調性法成功地克服了不等式法的局限，可以完美解決系數最值問題.但是利用系數單調性法在確定其單調性時利用的是作差法，一定是tr+2-tr+1，需要特別注意0≤r≤n-1這個范圍.從整體上來看，系數數列單調性法有非常大的優點，希望在以后的教學中，擯棄不等式法，推廣系數數列單調性法.