對與流體壓強相關的一些問題的梳理分析

蔣煒波 趙 堅

(1. 清華大學附屬中學,北京 100084; 2. 昆明市五華區基礎教育發展研究院,云南 昆明 650031)

1 引言

壓強是中學物理中的一個重要經典概念,在初中階段主要學習固體壓強和液體壓強,而在高中階段則從微觀上闡述了氣體壓強的產生原因,并詳細學習了理想氣體狀態方程．長期以來,壓強這個概念都是困擾師生的一大難點,究其原因,主要是對壓強產生的微觀機制認識不夠清楚．比如壓強與分子間作用力和分子熱運動有什么關系?液體壓強真的是因為液體受到重力產生的嗎?失重狀態下還有壓強嗎?為什么流體的壓強與流速有關系?氣體壓強完全是氣體分子連續碰撞容器壁產生的嗎?鑒于此,為了幫助師生真正理解壓強概念,因此有必要對與壓強相關的問題做一些梳理分析．考慮到固體壓強的已有分析已經很清晰,故本文著重探討與氣體壓強和液體壓強這兩種流體壓強相關的問題．

2 氣體壓強的產生機制

眾所周知,壓強的產生,既有分子熱運動的貢獻,也有分子間相互作用力的貢獻,在固體壓強中以分子間作用力貢獻為主,在氣體壓強中以分子熱運動為主,在液體壓強中二者的貢獻差異不是很大．此處先從比較容易理解的氣體壓強的產生機制進行探討．

2.1 氣體壓強

對于理想氣體,需要滿足3個假設條件:氣體分子間的作用力可以忽略不計,氣體分子的體積與氣體分子平均所占體積相比可以忽略不計(即氣體分子的直徑與氣體分子的間距相比可以忽略不計),氣體分子間的碰撞屬于彈性碰撞．[1]

理想氣體壓強公式可以表示為

(1)

其中n為氣體分子摩爾數，R為普適氣體恒量.

對于實際氣體,由于要考慮氣體分子體積和氣體分子之間的相互作用力,因此問題相對于理想氣體較為復雜．其中對于氣體分子體積的影響,需要將氣體分子的體積從(1)式中的體積V中剔除即可,假設1 mol氣體分子的體積為b,那么對于nmol氣體,剔除分子體積以后的體積V′=V-nb,于是可以將氣體壓強公式修正為

(2)

顯然這一壓強與氣體的溫度有關,是由分子無規則熱運動碰撞產生的壓強．

(3)

其中a和b均是與氣體種類有關的參數,可以通過實驗進行測量．(3)式就是常稱的范德瓦爾斯方程.該方程不僅僅對實際氣體適用,也能夠對液體壓強進行定性分析．

需要說明的是,對于氣體而言,分子間的相互作用力實在太小,氣體分子間引力導致的負壓只是一個極小的修正項．比如對于N2,其參數a=1.361 atm·(L/mol)2,b=0.0385 L/mol,可以計算出標準大氣壓下修正項負壓約為-0.00271 atm,遠小于1 atm．再比如水蒸氣,其參數a=5.507 atm·(L/mol)2,b=0.0304 L/mol,可以計算出標準大氣壓下修正項負壓約為-0.01098 atm,仍然遠小于1 atm．因此,我們可以認為氣體壓強幾乎就是由于分子無規則熱運動碰撞產生的．

2.2 大氣壓強

大氣壓強本質仍然是氣體壓強,因此仍然是氣體分子頻繁撞擊地面物體表面產生的,與大氣是否受到重力并無直接關系．只不過在地球大氣的環境下,地表的氣體受到重力的作用,會對底部的氣體產生大小與自身重力相等的壓力,因此底部的氣體分子彼此撞擊時需要產生能夠與上方氣體重力相平衡的支持力,即產生氣體壓強,這正是大氣壓強的由來．[2]

理論上看,如果氣體所處空間沒有任何束縛(比如引力束縛、容器壁束縛),氣體分子呈現完全自由的狀態,將會不斷散開,導致氣體壓強不斷減小,若體積V趨于無窮大,則氣體壓強也就趨于0了．可見正是因為地球的重力把大氣吸引束縛在一起, 才形成了大氣層, 產生了壓強,但受到重力作用并不是氣體壓強產生的直接原因,重力只是提供了一種束縛作用罷了．

3 液體壓強的產生機制

對于液體而言,由于分子間相互作用的引力和斥力遠超過氣體,因此液體壓強是分子熱運動和分子間相互作用力共同作用的結果．雖然范德瓦爾斯方程不是直接通過對液體分析得到的,但是由于氣態和液態之間是可以相互轉換的,因此可以通過分析氣態與液態的臨界情況,將液體看作是極為稠密的實際氣體,也能夠得到一些關于液體壓強的定性結果．

3.1 液體壓強的微觀機制

對于液體,前述(3)式右側第一項V-nb將很接近0,因此這一項對應的壓強將會很大,即由于液體分子無規則熱運動產生的壓強會很大．而且由于分子間的引力和斥力很強,因此(3)式右側第2項的數值也會很大．這兩項的大小關系與所處溫度T直接相關,當溫度足夠高的時候,第2項的影響將相對不夠明顯,畢竟分子熱運動受溫度的影響,而分子間作用力大小則與溫度無關．

我們知道,任何氣體如果想要通過壓縮體積完成液化,都需要到某一臨界溫度才能夠進行,即在這一臨界溫度,可以通過等溫壓縮的方式,將氣體液化為液體．于是便找到了一條通過氣體逐漸逼近液體的途徑,即在臨界溫度時,通過不斷壓縮體積到某一恰好能夠液化的臨界體積,那么此時氣態與液態就已經沒有分界線了,這時候的壓強既是氣體的壓強,也是液體的壓強．

以1 mol O2為例,其臨界溫度是154.78 K,臨界體積為0.078 L,臨界壓強為50.14 atm.再比如1 mol的水蒸氣,其臨界溫度為674.14 K,臨界體積為0.056 L,臨界壓強為217.6 atm．前文已經用到水蒸氣的參數a=5.507 atm·(L/mol)2,b=0.0304 L/mol,我們不妨將1 mol水蒸氣的這些數據代入范德瓦爾斯方程右側的兩項[氣體常量R=8.314 J/(mol·K)],便可以據此定性得到水蒸氣在臨界情況下的分子熱運動壓強pv和分子間作用力壓強pF的大致數量級:

2.2×108(Pa)，

(4)

-1.8×109(Pa).

(5)

顯然這時候按照范德瓦爾斯方程計算得到的壓強之和為負值,并不符合臨界壓強為正值217.6 atm的結果,與實驗測量值偏差很大.這也表明此時范德瓦爾斯方程的確已經不再適用了,但我們還是大致得到了分子熱運動壓強和分子間作用力壓強的數量級,即應該為103atm以上,約為此時外部臨界壓強的10倍左右．如果我們將這一觀點進行延伸,那么在標準狀況下,水內部的分子熱運動壓強和分子間作用力壓強也應該為外界氣壓的10倍左右,即約為10 atm數量級,但二者的總和只有1 atm數量級．

對于遠離臨界狀態的液體而言,其分子間距較為穩定,液體體積較為固定,這時候液體壓強的主要影響因素應該是液體的溫度．此處不妨探討一下液體等容變化過程．

假設有一個裝滿水的不可形變的可密閉導熱容器,不計重力作用．在密閉之前,顯然水的壓強與外界標準大氣壓強相等．密閉以后,將容器和水的溫度升高到超過水在標準大氣壓下的沸點,水并不沸騰,因為水的沸點升高了(與高壓鍋內壓強增大,水的沸點升高類似)．這時候容器內的水完全不能汽化(因為沒有多余的空間),分子間距也不可能發生變化,但是水的壓強的確增大了(從沸點升高可判斷壓強增大),這一壓強的增大正是由于溫度升高后水分子無規則熱運動加劇導致的．

3.2 被壓縮液體的壓強

前面關于溫度影響液體壓強的探討是建立在直接固定分子間距的情形之下,那么如果固定溫度,而改變液體分子間距又會怎樣呢?下面繼續探討液體的等溫變化過程．

仍假設有一個裝滿水的可形變的可密閉導熱容器,不計重力作用．在密閉之前,水的壓強與外界標準大氣壓強仍相等．密閉以后,保持環境溫度不變,緩慢壓縮容器的體積,顯然這時候液體的溫度始終與環境溫度相同,分子熱運動劇烈程度并沒有變化,所以,壓縮液體時壓強的增大完全是由于分子間距變化造成的．此時,一方面因為液體體積減小導致分子數密度增大,從而使分子熱運動碰撞頻率增加,從而增大壓強;另一方面則是分子間距減小,分子間相互作用的引力和斥力增加,導致分子間作用力引起的壓強增大,從而增大壓強．

但由于液體自身的可壓縮性并不強,因此分子間距減小程度有限,進而所引起的分子熱運動碰撞頻率增加程度也實為有限,因此壓縮液體時壓強增加的主要原因乃是分子間距縮小引起的分子間作用力的變化．如果分子間間距縮小1/10,則壓強將增加到104atm數量級．[3]

3.3 重力場下液體的壓強

重力場下的液體壓強,與液體種類和所在位置到液面的距離有關,并且在同種液體同一深度向各個方向的液體壓強都相等．

圖1 液體內部壓強

首先,關于同一液體同一深度向各個方向壓強相等,可以通過理論計算予以證明．假設在液體中有一個豎立的橫截面為直角三角形的三棱柱,俯視圖如圖1所示,取兩個直角邊建立x和y坐標軸,與x軸垂直的側面受到的壓強為px,與y軸垂直的側面受到的壓強為py,而斜邊側面受到的壓強為p,直角邊與斜邊的夾角為θ,設三棱柱的三邊長度分別為a、b、c,三棱柱的厚度為d,則沿著x、y方向,由受力平衡可知:

圖2 液體壓強與深度的關系

pxad-pcd·sinθ=0,

(6)

pybd-pcd·cosθ=0.

(7)

顯然,csinθ=a,ccosθ=b,于是得到px=p,py=p,用類似的方法便可證明在某一深度液體向各個方向壓強均相等．

然后,對于液體壓強與深度有關,可以取不同深度的同一豎直線上的C、D兩點進行分析.以C、D為底作面積S很小的圓柱體,如圖2所示,此時圓柱體豎直方向的受力關系為

pDS-pCS-mg=0.

(8)

于是便可得到

pD=pC+ρgh.

(9)

不難發現,液體壓強與深度的這一關系,完全是因為液體受到重力作用導致的,如果不受重力(類似于g=0 N/kg),那么液體壓強將不受深度的影響．

3.4 失重時液體的壓強

我們經常說液體壓強的產生是因為液體受到重力并具有流動性,那么如果在失重的情況下,液體內部還會有壓強嗎?現實教學中我們經常忽略液體上方的大氣壓強對液面的壓力作用,這導致師生很容易認為失重環境下液體內部就沒有壓強了．

圖3 托里拆利實驗

這種對大氣壓強的忽略處理是不正確的．比如在地球上水面下1 m的位置,我們總是認為液體壓強是104Pa,但是在標準大氣壓之下,該位置的壓強其實是1.1×105Pa,需要將大氣壓強計算在內．這其實很容易理解,在托里拆利實驗中,設大氣壓強為p0,水銀柱高出水銀槽液面h0=760 mm,如圖3所示,A處左側水銀的壓強為ρg(h0+h),A處右側如果不考慮大氣壓強,其壓強值僅僅為ρgh,A處左右壓強不相等,這與液體內部同一深度向各個方向壓強相等是矛盾的．因此,此時A處右側的壓強應該是ρgh+p0,由A處左、右壓強相等,便得到了大氣壓強p0=ρgh0．

初中階段限于學生認知水平有些時候忽略大氣壓強的做法,只是為了幫助初中學生更好地建立起液體壓強的概念,原本應該在恰當的時候進行糾正,但可惜的是這一糾正在中學階段并沒有進行,因為高中物理已經不再涉及到液體壓強內容,不得不說這是目前初高中物理教學銜接中的一大缺憾．

理解了這一點,我們就不會武斷地認為失重狀態下液體內部壓強為0了．

需要明白的是,如果液體表面沒有外界壓強,那么液體將會迅速汽化,用蒸汽填充液體表面的空間,直到氣壓大到足夠維持液體以液態的方式存在為止(所以托里拆利實驗中水銀柱上方嚴格意義上說并不是真空狀態,其內部水銀蒸氣壓約為2×10-3mmHg)．即使液體表面原本就沒有空余的空間,就像在前文中討論的液體等容變化那樣,那么容器也會直接對液體表面施加壓強．因此,液體表面一定會有外界壓強作用．

以空間站中的水為例進行分析．由于水處于失重狀態,那么液體深度對壓強的影響自然就消失了,因此液體內部各個位置的壓強都是相等的．如果空間站中的氣體壓強仍然為一個標準大氣壓1 atm,那么很容易想到此時液體內部的壓強自然也為1 atm．

圖4 表面張力

這種觀點并沒有考慮到液體表面張力帶來的壓強影響,但其實表面張力的影響是微乎其微的．如圖4所示,如果在液體表面存在表面張力,那么對于假想的一條線元ΔL,其受到左右兩側的液體表面張力的大小ΔF應該與線元長度ΔL成正比,即ΔF=γΔL,比例系數γ稱為表面張力系數．

圖5 液滴內外壓強

如圖5所示是一個不考慮重力作用的標準水球,其半徑為R,從中間水平將水球分為上下兩半球.對下半球而言,其下表面受到外界壓強p外,上半球對下半球在接觸面處施加向下的壓強p內.因為整個液體球面存在表面張力,因此在兩個半球面的分界線處,下半球還會受到向上的表面張力2πRγ的作用,于是由受力平衡可得到關系

2πRγ+p外πR2=p內πR2,

(10)

即

p內-p外=2γ/R.

(11)

可見,表面張力會導致液體內部壓強大于液體外部,且這一壓強差反比于半徑R．[4]常溫下水的表面張力系數為γ=7.28×10-2N/m,對于半徑為1 cm的水球,其內部壓強比外部壓強高出僅約15 Pa,與液體所處環境的氣壓相比的確可以忽略不計．但是如果球狀液滴半徑減小為0.1 mm,這一內外壓強差將增大為1500 Pa,就不能再忽略不計了．

4 關于流體產生的作用力

4.1 對浮力的理解

我們知道,浮力是由于浸在流體中的物體受到的上下表面的壓力差而產生的豎直向上托的合力,其大小等于物體排開流體的重力,此即為阿基米德原理．對于一部分或全部浸沒在流體中的物體來說,物體表面必將與流體接觸,而流體不同深度產生的壓強不同,這樣物體受到流體的壓力必然不同,因此浮力的產生與研究物體的不同部分在流體中不同位置受到的壓強不同有著直接關系．

(1) 阿基米德原理的論證.

圖6 流體浮力與自身重力

如圖6所示,不規則物體浸在流體中的體積為V,它自然要擠占原來該位置的體積也為V的流體(圖6中的虛線部分)．對原來在該位置的體積為V的流體進行受力分析,其受到豎直向下的重力G流,以及周圍流體施加給它的總的流體壓力F(即受到的浮力F浮),如果流體原來并未流動,那么顯然F浮=G液,而且方向相反,即浮力豎直向上．

現在的物體因為擠占了原本體積為V的流體的位置,周圍流體對它自然會產生壓力(即浮力)F浮′,顯然由于周圍流體并未發生任何其它變化,因此F浮′=F浮=G液,于是得到浸在流體中的物體受到的浮力與排開流體所受重力大小相等,二者方向始終相反．

(2) 阿基米德原理適用條件.

通常所說的浮力,主要是指在流體靜力學范疇內的概念,并不包含流體阻力和流速差引起的壓強差(壓力差)．比如飛機在靜止的時候,也會受到向上的浮力作用,稱為靜升力(即浮力)．當飛機飛行時,圍繞機翼形成的環流,使機翼上下表面存在流速差,從而獲得壓力差,導致產生垂直氣流方向的升力幫助飛機上升,為了區別于靜升力(即浮力),有時也將之稱為動升力．

因此,阿基米德原理適用的條件主要是流體處于靜止狀態或者勻速直線運動狀態,至于物體自身的運動狀態則不做任何要求,只不過要視情況考慮是否對物體添加流體阻力作用．比如飛機在飛行過程中,若空氣靜止,則飛機所受浮力大小仍然能夠用阿基米德原理計算,只是此時飛機還受到動升力和流體阻力的共同作用．

4.2 對流體阻力的理解

(1) 流體阻力.

理想的流體,不存在粘滯作用,這時候物體在流體中勻速運動的時候不會受到流體阻力的作用,但是現實中的流體都是存在粘滯作用的,自然就需要考慮流體阻力了．

物體受到的流體阻力,與物體形狀、粘滯系數、相對運動速度等很多因素都有關系．阻力的計算可使用公式[4]

F=0.5Cρv2S,

(12)

其中ρ為流體密度,v為相對流速,S為物體截面積,參數C稱為曳引力系數,C的取值與流體中經常使用的雷諾數Re有著直接的關系．對于半徑為r的球體,其雷諾數的表達式為

Re=2ρvr/η.

(13)

實驗測量出的曳引力系數與雷諾數Re的關系,當Re較小(不超過10)的時候,C與Re近似成反比,此時的流體阻力計算公式,由斯托克斯在1851年給出,以球體為例,其在流體中運動時受到的流體阻力為式[4]

F=6πηrv，

(14)

稱為斯托克斯公式,其中η為流體的粘滯系數,r為小球的半徑,v為小球相對流體的運動速度.這就是某一物體所受的流體阻力與相對運動速度成正比的由來．

而當雷諾數較大的時候,C的取值趨于固定,約為0.4,此時球體受到的流體阻力的計算公式為

F=0.2πρr2v2，

(15)

其中ρ為流體密度,r為球體半徑,v為相對運動速度.這就是某一物體所受的流體阻力與相對運動速度平方成正比的由來．

(2) 流體中的阻力與浮力.

以水為例,密度ρ為103kg/m3,粘滯系數η約為1×10-3Pa·s,對于一個相對運動速度1 m/s、半徑0.1 m的初中物理常見球體而言,其雷諾數為105數量級,因此物體在水中受到的流體阻力通常用(15)式計算．估算可得流體阻力約為6 N,水產生的浮力約為40 N,此時這兩個力差異并不是很大,都需要分析考慮．從這個角度看,初中物理中涉及到物體在水中運動的力學問題,命題時都應該向學生明確不考慮流體阻力,否則命題就存在科學性錯誤．

以空氣為例,密度ρ約為1.29 kg/m3,粘滯系數η約為1.8×10-5Pa·s,對于一個相對運動速度1 m/s數量級、半徑尺寸1 m的物體而言,其雷諾數達到了105數量級,因此物體在空氣受到的流體阻力通常也用(15)式計算．比如下落的雨滴,假設半徑為0.005 m,其最終趨于勻速運動,此時的流體阻力等于雨滴的重力.不難發現,這時候雨滴的流體阻力約為5×10-3N,而雨滴受到的空氣浮力僅約為6×10-6N,浮力因為太小故而就沒有必要考慮了．

5 結束語

流體壓強的產生比較復雜,在中學階段的物理教學中一定要考慮到學生的認知能力水平,既要不失概念的科學性,又要顧全到學生初學物理時概念建構的需要．因此教學中要有所取舍,比如對初中學生而言,氣體壓強的微觀機制可以酌情使用,而表面張力、范德瓦爾斯方程等等則完全不需要提及,而對于高中學生,視情況可以適當補充表面張力等內容．

與此同時,教師還是應該給學生創設情境并帶領學生做出力所能及的探討,比如失重情形下是否還存在浮力、大氣壓強和氣體壓強的區別與聯系等等,讓學生能夠對流體壓強有更本質的了解,也為學生將來的物理學習留下適當的拓展接口．

最后,對于一些錯誤的認識在教學中則一定要摒棄．比如地面上液體內部的壓強,其實應該將液體表面的大氣壓強計算在內,這一點一定要在托里拆利實驗的分析中進行補充糾正．再比如設計到浮力的命題,一定要明確是否考慮流體阻力,否則會出現科學性錯誤．