對豎直倒下勻質桿內部彈力的研究

涂德新

(江西師范大學附屬中學，江西 南昌 330046)

圖1

質量均勻分布的重桿是一個重要的物理模型,勻質桿在受力時的形變比較復雜,可能會有拉伸(壓縮)形變,對應于法向力;也可能有剪切形變,對應于切向力;還可能有彎曲形變,對應于力偶矩．很多參加物理競賽的同學包括部分教師在分析勻質桿的轉動問題時往往會忽視桿內部力偶矩的存在,進而得出矛盾的結果．下面建立一個模型來處理此問題．參數設定:勻質桿長度為l,質量為m,以下端O為轉軸,最初豎直,某時刻轉到與豎直方向的夾角為θ,如圖1所示,不考慮空氣阻力的作用,重力加速度為g,研究桿內部作用力的分布．

可以求得

(1)

對桿相對轉軸O運用轉動定律

可以求得

(2)

圖2

如圖2所示,研究從離轉軸r處到l處桿的運動,應該是質心的平動和繞質心的轉動,其質量

(3)

這段桿的質心繞下端的轉軸O在做加速圓周運動,可以寫切線方向和法線方向的牛頓第二定律來求切向力和法向力．

設r處相互作用的切向力為Frτ,可得

(4)

由(2)-(4)式可以求得

(5)

這個力就是r處剪切形變對應的切向力．

設r處的相互作用的法向力為Fr n,可得

(6)

由(1)、(3)、(6)式可以求得

(7)

這個力就是r處壓縮形變對應的法向力．

(8)

將(2)、(3)、(5)式求得的相關參量代入(8)式后發現等式兩邊不相等.這是很多學生和教師感到困惑和矛盾的地方．下面解決此問題．

仔細研究后發現,這是物理模型出了問題,不能把桿看成細桿,桿應該有不能忽略的截面．換句話說Fr n這個法向力是一個分布力,如圖3所示,桿沿截面的壓縮并不均勻,也就是說有彎曲形變.分析后發現可能截面的上側為

圖3

壓縮形變,下側為拉伸形變,于是沿桿的這些分布力可以這樣處理:最上側和最下側的兩個力方向相反但大小不等,可以處理為沿桿向上的微元應力和一個順時針的微元力偶矩,上下側對稱處的力都可以這樣處理,最后所有的微元應力可以合成為沿桿向上的應力Fr n,所有的微元力偶矩可以合成為順時針的力偶矩Mr,Fr n上文已經求出,下面求解力偶矩Mr．

考慮到桿內部有力偶矩后,(8)式有誤,應該修正．對桿的上端以其質心O′為軸列轉動定律:

(9)

由(2)、(3)、(5)、(9)式可以求得

改寫為

(10)