從“螞蟻離巢”問題談令人“糊涂”的圖像面積

王 建 曹 鵬 王家勛

(1. 重慶市江津中學,重慶 402260; 2. 重慶市實驗中學,重慶 401320)

1 問題的提出

文獻[1-6]研究了如下問題:螞蟻離開蟻巢沿直線爬行,其速度大小與到蟻巢中心的距離成反比.當螞蟻爬到距巢中心的距離L1=1 m的A點時,速度是v1=2 cm/s.螞蟻繼續爬行到距巢中心的距離L2=2 m的B點,試問:螞蟻從A點爬到B點需要多長的時間?

這是一道經典的速度隨時間非線性變化的運動學習題,最具代表性的解法是運用化曲為直的思想,巧妙地選取橫縱坐標構建線性函數表達式,再通過計算線性圖像與坐標軸所包圍的面積來求解變速運動的時間.

圖1

圖3

上述分析和求解過程,疑點頗多,筆者認為需要明確以下兩個問題: (1) 圖像與坐標軸所圍成的面積如何生成?(2) 因坐標軸的含義不同,生成的面積是否具有物理意義?

2 面積的數理涵義

2.1 定積分與面積

圖4

2.2 圖像面積有物理意義的準則

圖像面積是否具有物理意義,判據就是看該面積是否對應某一明確的物理量.具體表述如下:當且僅當微元面積yi·Δxi(或xi·Δyi)對應某一可加的物理量ΔPi,則圖線與橫軸(或縱軸)包圍面積就表示物理量P.

例如,v-t圖中,微元面積vi·Δti對應可加性的元位移,所以圖線與橫軸包圍面積表示總位移.而q-t圖中的qi·Δti或ti·Δqi以及I-U伏安特性曲線中的Ii·ΔUi、Ui·ΔIi均無具有可加性的物理量與之對應,故兩種圖線與橫軸、縱軸包圍面積都沒有物理意義.

3 常見錯誤的解析

圖5

4 相關面積的聯系

4.1 “歪打正著”的緣因

圖7

文獻[2]錯誤地把面積SA當成時間為何也得到正確的結果?任意圖像是否都有此結論?文獻[4-6]均略有提及,本文進一步作圖說明.如圖7所示,在正比例函數圖像的前提下,因矩形被對角線分為兩個全等的直角三角形,即SA+SC=SB+SD.又SC=SD,則有SA=SB.但是不過原點的線性圖像以及非線性圖像,如圖8、9所示,均不能得到上述結果.文獻[2]之所以“歪打正著”僅是正比例函數圖像這一特殊情況下的巧合.

圖8

4.2 數形結合揭示相關面積的聯系

圖10

圖11

綜上所述,圖線與坐標軸包圍面積是否有物理意義,歸結為相應的微元面積是否對應明確的可加性物理量.有時可以通過面積之間的數值聯系去間接求解某物理量,但到底是哪塊面積表示該物理量,理應做到不犯糊涂,心中有數,而不應該只從數值結果上去認識和對待.