用動量定理求解這道流體力學題錯在哪里?

董井林 張洪清

(湖南省石門縣第一中學,湖南 石門 415300)

1 問題的提出

下面這道流體力學題,用動量定理和伯努利方程兩種方法求解,所得結果截然不同．

圖1 計算v與h的關系

如圖1所示,一根水平管道a兩端與大氣相通,在管道上豎直插有一根上端開口的“L”形彎管b.當a管內的液體以速度v勻速流動時,b管內液面的高度為h,假設液體與管道之間不存在摩擦力,則v與h的關系是

解法1:用動量定理求.

設b管底端開口處的橫截面積為S,液體密度為ρ,在極短時間Δt內,與b管底端相沖擊的a管中的液體質量Δm為

Δm=ρvΔtS.

(1)

對這質量為Δm的液柱微元,設b管中底端靜止液體對它的作用力為F,由動量定理知

0-Δmv=-FΔt.

(2)

由(1)、(2)式得

F=ρSv2.

又由牛頓第三定律知,b管中靜止液體受到a管中水流的沖擊力F′為

F′=F=ρSv2.

(3)

再對b管中高為h的靜止液柱,由平衡條件知

ρShg=F′.

(4)

由(3)、(4)式得

故應選(B)項.

解法2:用伯努利方程求.

設大氣壓強為p0,b管底端開口處的液體壓強為p,液體密度為ρ,由伯努利方程可知

(5)

對b管中高為h的靜止液柱,由平衡條件知,

p0+ρhg=p.

(6)

由(5)、(6)式得

故應選(A)項.

這兩種解法的答案截然不同.實際上第1種解法中用動量定理求解的過程有錯誤,但一直以來是個謎,困擾中學物體教學界已經很久了,正確答案應選(A)項.下面循序漸進地分析其錯解原因.

2 液柱垂直沖擊平板狀物體的過程中,其橫截面積要增大

從管口噴出的液柱在垂直沖擊平板狀物體后,若沿液柱前進方向的速度變為0,則在沖擊過程中其橫截面積要增大,流線圖如圖2所示,[1]而不是橫截面積保持不變的如圖3所示的形狀.

圖2 液柱橫截面積增大

可能有很多人對此表示懷疑,還是讓我們先看看下面的例證吧.

圖4 水柱沖擊煤層示意圖

3 實例予以佐證

如圖4所示,水采煤時,用水槍在高壓下噴出強力的水柱沖擊煤層,設水柱的橫截面積為S,水速為v,假設水柱射在煤層的表面上,沖擊煤層后速度變為0,求水柱對煤層的平均沖擊力.(水的密度為ρ)

解法1:用動量定理求.

設在極短時間Δt內,沖擊煤層的水柱微元的質量為Δm,則

Δm=ρvΔtS.

(7)

設煤層對這段水柱微元的平均作用力為F,對這段水柱微元,由動量定理知

0-Δmv=-FΔt.

(8)

由(7)、(8)式得

F=ρSv2.

又由牛頓第三定律知,水柱對煤層的平均沖擊力F′為

F′=F=ρSv2.

解法2:用伯努利方程求.

設大氣壓強為p0,和煤層接觸處水柱的壓強為p,由伯努利方程知[2]

(9)

故水柱對煤層的平均沖擊力(不含大氣壓強對煤層的壓力)為

F′=(p-p0)s.

(10)

由(9)、(10)式得

由此可見,液柱在垂直沖擊平板狀物體的過程中,其橫截面積確實是增大了的.

4 錯解原因分析

因沖擊過程中液柱的橫截面積要增大,故平板面積過小時,是不能把水柱給擋住(使沿垂直于平板方向的水流速度變為0,下同)的,液柱要斜著越過平板繼續流動,其流線圖如圖5所示,這種情況下水柱對平板的沖擊力,直接由動量定理計算很困難,但我們可以用等效法來處理:一部分液柱被平板擋住而給平板以沖擊力;另一部分液柱未與平板沖擊而直接以原速度v到達平板后面繼續前進,其對平板沒有沖擊力.設其中被平板擋住的液柱微元的質量為Δm′,由動量定理可知

0-Δm′v=-FΔt.

(11)

圖5

F即為液柱對平板的沖擊力.

在解法1中,因所選的沖擊b管底端液柱的橫截面積和b管底端的橫截面積是相等的,而沖擊過程中液柱的橫截面積又要增大,故液柱不能被b管底端(相當于平板)擋住.根據上面所介紹的等效法,對質量為Δm=ρvΔtS的液柱微元,通過沖擊而使等效于沿前進方向速度變為0的液體質量Δm′應小于Δm,其余的要繞過去以原速度v前進等效于未沖擊.根據第一種解法并結合等效法容易得到Δmv>FΔt,而Δm=ρvΔtS,所以F<ρSv2.