eLoran系統ASF網格應用算法研究

李 云 華 宇 燕保榮 郭 偉

（1.中國科學院國家授時中心，陜西西安710600；2.中國科學院大學，北京100049）

1 引 言

2018年，美國總統特朗普簽署了《國家安全與彈性授時法案》。該法案要求交通部在兩年內建設針對GPS 的地基備用授時系統。這在一定程度上宣布了美國的重啟羅蘭計劃，同時提高羅蘭系統的精度使其與GPS 系統相當。繼BPL 和長河二號系統的eLoran 升級改造之后，我國也開展了高精度地基授時方面的研究，計劃擴建eLoran 發播臺滿足eLoran 信號的全國土覆蓋，同時要提高eLoran 系統的精度。

國內外專家對ASF 網格進行了一系列研究。2005年，Gregory William Johnson 等人通過大量測試數據分析二次時延的空間、時間和方向變化［3］。2012年，Hargreaves C 等人提出收集足夠測量數據做出高精度ASF 數據庫，能保證在海上定位結果優于10m（95%）［4］。還有專家學者從節省ASF 網格數據庫的成本出發，分析用靜態數據和動態數據建立ASF 網格兩種不同的方法［5～8］。

有了ASF 數據庫，用戶確立所在網格根據內插算法解算出ASF 值，修正信號傳播時延，從而提高授時精度。在ASF 數據庫既定的情況下，內插算法本身也會引入新的誤差，本文仿真分析不同空間插值算法帶來的誤差，并對算法進行比較，得出雙線性插值算法誤差最小，反距離插值算法誤差最大。

2 eLoran 信號傳播時延

eLoran 信號從發射天線到接收天線所經歷的時間稱為傳播時延Tp，如式（1）所示。假設信號在無限大空氣介質中傳播時，由發射天線到接收天線所經歷的時間稱為一次時延（Primary Factor，PF），又稱為基本時延；當信號在海平面傳播時，傳播時延與一次時延之差，稱為二次時延（Secondary Factor，SF）反映了海平面對傳播時延的影響；當信號在地平面傳播時，傳播時延與一次時延之差稱為附加二次時延（Added Secondary Factor，ASF）反映了地平面對傳播時延的影響［9］。

一次時延PF 計算公式如式（2）所示［10］

式中:C——真空中的光速，通常C=0.299 792 458km/μs；d——信號傳播的大地線距離；ns——地面的大氣折射指數，國際標準大氣值ns=1.000 315。

二次時延SF/附加二次時延ASF 的計算公式如式（3）所示

式中:ω——角速度，單位rad/s；W——衰減函數，與信號傳播距離、傳播路徑介質的電導率、介電常數有關；argW——地波衰減函數W 的相位，單位rad；f——載波信號的頻率，100kHz；d——信號傳播的大圓距離，單位km；σ——信號傳播路徑上介質的電導率；ε——信號傳播路徑上的介電常數。

3 空間插值算法

常用的空間插值算法，包括雙線性插值算法、反距離權值算法IDW（Inverse Distance Weighted，IDW）、Junkins 算法和自然鄰域插值算法等。這里重點對雙線性插值算法、反距離權值算法IDW、Junkins 算法進行仿真分析。

3.1 雙線性插值算法

雙線性插值算法是在x，y兩個方向分別進行一次線性插值，如圖1 所示。先x方向，后y方向插值，與先y方向，后在x方向插值，插值效果相同，其結果與插值順序無關［11］。

圖1 雙線性插值算法示意圖Fig.1 Bilinear interolation algorithm

四個頂點的坐標分別為（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），其ASF 分別為C1，C2，C3 和C4，待插值點（x，y）的ASF 如式（4）所示

其中，

3.2 反距離插值

反距離權重IDW 插值使用一組采樣點屬性的線性權重組合來確定待插值點的屬性，權重是一種反距離函數。這里反距離函數的冪值，取值為2。冪參數越高，可進一步強調最近點對插值點的影響，因此，鄰近數據將受到更大影響，擬合的表面更加詳細（更不光滑），內插值更接近相鄰采樣點的值。反之，冪參數越小，更遠距離的采樣點對插值點的影響越大，擬合的表面更光滑。

IDW 插值方法假定每個輸入點都有著局部影響，這種影響隨著距離的增加而減弱。算法描述:現有n個離散點Z（x1，y1），Z（x2，y2）…Z（xn，yn），需要對插值點（x，y）進行插值預測，求出Z（x，y），過程如下。

1）利用距離函數求出各離散點與插值點的距離，這里采用歐氏距離如式（5）所示

式中:（x，y）——插值點坐標；（xi，yi）——已知點坐標。

2）在冪參數確定的情況下，利用權重函數計算各個離散點的權重如式（6）所示

式中:n——離散點個數。

3）計算插值點的插值如式（7）所示

式中:Wi——第i采樣點的權重；Z（xi，yi）——第i點的屬性值。

3.3 Junkins 權值算法

Junkins 加權法是GPS 系統中用戶穿刺點電離層垂直延遲的計算方法。Junkins 加權法與反距離插值算法相比，計算量較小，與簡單的雙線性加權法相比，其空間相關性較強［12］，如圖2 所示。其中，1～4 分別指網格結點，其對應的ASF 值分別為ASF1～ASF4；A 點為要擬合的點，其ASF 用ASF（φA，λA）表示為

圖2 Junkins 加權算法示意圖Fig.2 The Junkins weighting method

式中:W（x，y）——內插的加權函數。

4 算法仿真分析

4.1 雙線性插值算法仿真

4.1.1 不同的網格大小

雙線性插值算法在不同大小網格內的插值誤差分析如圖3 所示，從上到下依次是網格大小為0.5°，0.2°和0.1°，信號傳播路路徑是平均陸地電導率σ=0.003，ε=22 誤差范圍分別為（0～6）ns，（0～1）ns 和（0～0.2）ns，顯然網格越小，ASF 網格的精度越高。誤差最小的區域分布在網格的四個頂點附近，誤差最大的區域集中在網格的中心部位。因此相對來說離網格頂點越近，誤差越小，距離網格頂點越遠誤差越大；距離網格中心越近誤差越大，距離網格中心越遠，誤差越小。

4.1.2 不同的傳輸路徑

圖3 雙線性插值算法（不同的網格大小）Fig.3 The bilinear interpolation algorithm （different mesh sizes）

雙線性插值算法應用在海水路徑、平均陸地和甚干燥地路徑三種路徑上的0.1°網格中的插值結果的誤差如圖4 所示。海水介質的誤差范圍在（0～0.1）ns 左右，平均陸地和甚干燥地在（0～0.2）ns 左右。隨著路徑的電導率變小，路徑的傳輸介質對信號的阻力增強，同時ASF 網格的誤差也變大。因此海水路徑對信號的阻力最小，ASF 值最小，相應的ASF 網格計算的誤差最小；隨著信號傳輸路徑上介質對信號的阻力逐漸變大，ASF 值變大，相應的ASF 網格計算結果的誤差逐漸變大。從網格中心處向外部誤差逐漸變小，呈現處出一定的層次感。

圖4 雙線性插值算法（不同傳輸路徑）Fig.4 The bilinear interpolation algorithm （different path）

4.2 反距離插值算法仿真

4.2.1 不同的網格大小

對反距離權值算法的仿真如圖5 所示，從上到下依次是網格大小為0.5°，0.2°和0.1°，誤差范圍分別為（0～40）ns，（0～15）ns 和（0～8）ns。顯然網格越小，ASF 網格能實現的精度越高。IDW 算法網格誤差分布較分散，網格中靠近頂點的分散區域誤差最小，同時網格的中心部分誤差最小，誤差最大的區域包括網格的側邊的幾個分散區域。

圖5 反距離加權插值算法（不同網格大小）Fig.5 IDW interpolation algorithm （different mesh sizes）

4.2.2 不同的傳輸路徑

針對海水路徑、平均陸地和甚干燥地三種路徑上，網格大小0.1°時的誤差情況如圖6 所示。不同的信號傳輸路徑ASF 網格內插結果的誤差:海水介質的誤差范圍在（0～2.5）ns，平均陸地的誤差范圍在（0～6）ns 和甚干燥地的誤差范圍在（0～8）ns。從甚干燥地到海水隨著路徑的電導率變小，路徑的傳輸介質對信號的阻力減小，同時ASF 網格的誤差也變小。因此甚干燥地路徑對信號的阻力最大，相應的ASF網格計算的誤差最大，隨著信號傳輸路徑上介質對信號的阻力逐漸變小，ASF 網格計算的誤差逐漸變小。

4.3 Junkins 插值算法仿真

4.3.1 不同的網格大小

junkins 算法的結果誤差分析如圖7 所示，從上到下依次是網格大小為0.5°，0.2°和0.1°，誤差范圍分別為（ -20～20）ns，（ -10～10）ns 和（ -5～5）ns，網格越小，ASF 網格能實現的精度越高。誤差分布的規律性介于雙線性插值差算法和反距離插值算法之間，網格內左下角部分網格誤差小，右上角區域網格誤差大，誤差的分布較集中。

圖6 反距離加權插值算法（不同傳輸路徑）Fig.6 IDW interpolation algorithm （different path）

圖7 Junkins 算法（不同網格大小）Fig.7 The junkins weighting method（different mesh size）

4.3.2 不同的傳輸路徑

按照網格0.1°時計算的海水路徑、平均陸地和甚干燥地路徑的誤差情況如圖8 所示，海水介質的誤差范圍在（ -2 ～2）ns，平均陸地的誤差范圍在（ -5～5）ns和甚干燥地的誤差范圍在（ -5～5）ns。隨著路徑的電導率變小，路徑的傳輸介質對信號的阻力增強，同時ASF 網格的誤差也變大。因此，海水路徑對信號的阻力最小，相應的ASF 網格計算誤差最小，隨著信號傳輸路徑上介質對信號的阻力逐漸變大，ASF 網格的計算誤差逐漸變大。

圖8 Junkins 算法（不同傳輸路徑）Fig.8 The Junkins weighting method（different path）

5 算法比較

首先在待測試區域建立4 個網格，每個網格經緯度方向的大小0.2°，待測試區域到發播臺的信號傳輸路徑屬于平均陸地。比較三種網格應用算法如圖9 所示，從上到小依次是IDW 插值算法、Junkins 插值算法和Bilinear 插值算法，從最左邊一列看出三種算法誤差分布IDW 插值算法誤差分布的規律性最差，誤差最小的區域集中在網格中心部位，誤差大的區域分散在網格的邊緣區域；Junkins 算法的規律性介于二者中間，誤差最小的區域集中在網格的左下部分，誤差大的區域集中在網格的右上部分；雙線性算法誤差分布的規律性最好:離網格頂點越近，誤差越小，離網格頂點越遠，誤差越大，從網格中心向外部擴散開來誤差逐漸變小。

圖9 中間一列是色柱，反距離插值算法的誤差范圍是（0～15）ns；Junkins 算法的誤差范圍是（ -10 ～10）ns；雙線性插值算法的誤差范圍是（0～1）ns，雙線性插值算法引入的誤差最大。

圖9 中，右側3 個圖分別是三種算法的誤差概率分布函數曲線圖。IDW 插值算法誤差不大于20ns，95%的誤差小于12ns，Junkins 插值算法誤差不大于15ns；95%的誤差小于10.7ns，Bilinear 插值算法誤差不大于1.2ns，95%的誤差小于0.9943ns。三種算法分析比較得出IDW 插值算法誤差最大，Junkins 算法誤差次之，雙線性插值算法的誤差最小。

圖9 三種插值算法的比較示意圖Fig.9 The comparison of three interpolation algorithms

6 結束語

通過以上仿真分析比較，雙線性插值算法的誤差最小，而且呈現一定的規律型從網格中心到網格邊緣誤差逐漸減小；反距離插值算法優于要計算距離算法計算量最大，誤差最大，而且誤差的規律性差；Junins 算法計算量、誤差大小以及誤差的規律性在三種算法中居中。