衛星控制力矩陀螺微振動抑制裝置的動力學建模與實驗研究

王嘉登， 張高雄， 茅 敏， 陸國平， 劉興天

(上海衛星工程研究所 空間機熱一體化技術實驗室，上海 201109)

隨著航天科技的快速發展，高分辨率光學遙感衛星在國民生活和國防事業中發揮著越來越重要的作用，其搭載的光學載荷對衛星姿態控制穩定度以及微振動環境有了更苛刻的要求。作為很多航天器姿態控制系統的主要執行機構[1-3]，控制力矩陀螺(CMG)在軌工作時，轉子一直處于高速旋轉狀態，由于動不平衡、軸承缺陷等因素，使其成為航天器上微振動主要來源之一[4-5]。為了給航天器有效載荷提供超靜工作環境，有必要對CMG產生的振動進行抑制[6]。目前抑制此類微振動的有效措施是進行振源隔離[7-10]。

國內外學者在微振動抑制領域進行了大量研究。哈勃望遠鏡中使用Honeywell公司設計的黏性液體阻尼器來隔離飛輪產生的擾動[11]；Cobb等[12]研制了一種用于太空光學望遠鏡的主、被動混合隔振平臺；美國噴氣推進實驗室設計了一種柔性主動隔振平臺，并成功應用于詹姆斯韋伯太空望遠鏡[13]。Stewart平臺因其具有自由度大，設計簡單等優勢，被廣泛用于主、被動隔振平臺，來抑制航天器在軌微振動[14]。眾多學者對Stewart隔振平臺基本特性進行了深入研究。楊劍鋒[15]推導了被動式Stewart隔振平臺的動力學方程，分析了隔振平臺在基礎位移激勵下的隔振性能。吳國軍[16]使用Kane方法建立了帶有柔性懸臂梁的Stewart隔振平臺的非線性動力學方程，分析了隔振系統上平臺質心處的動響應。張堯等[17]研究了用于控制力矩陀螺群的隔振平臺，該隔振平臺通過在典型隔振平臺基礎上添加調諧質量阻尼器實現了主動隔振效果。何兆麒等[18]在考慮支腿繞自身軸線的旋轉自由度的基礎上，建立了完善的牛頓-歐拉閉環動力學模型。

雖然針對Stewart隔振平臺的研究較多，但大多基于Kevin隔振模型或主要研究主動控制算法，而對松弛型阻尼Stewart隔振平臺的研究較少，且未能建立準確的隔振性能評價標準。

本文提出基于松弛型阻尼器的Stewart隔振平臺，采用“立方體”構型，單個隔振單元使用松弛型阻尼器[19-20]，獲取了共振大阻尼。高頻小阻尼，具有良好共振峰抑制和高頻衰減效果的隔振裝置，滿足控制力矩陀螺的使用要求。首先，運用牛頓-歐拉法建立了隔振平臺的動力學模型；隨后，分析了隔振平臺的頻率特性、隔振性能以及耦合特性；最后，搭建實驗平臺進行了隔振實驗，驗證了理論的正確性。

1 動力學特性

1.1 系統介紹

微振動抑制裝置如圖 1所示，裝置由上、下平臺和六個支腿組成，每個支腿為一個松弛型阻尼器。將微振動抑制裝置簡化為圖 2所示的模型，每個支腿為彈簧和阻尼組成的單元。定義上平臺局部坐標系、下平臺局部坐標系和全局慣性坐標系分別為Pxpypzp、Bxbybzb和Gxyz；鉸鏈與上、下平臺連接的坐標系分別為Pixpiypizpi和Bixbiybizbi；控制力矩陀螺慣量主軸坐標系為Oxyz。

圖1 微振動抑制裝置的三維模型圖

以下符號被用于系統建模中：tp為上平臺質心在G系中的位置矢量；pi為上平臺各鉸點在P系中的位置矢量，bi為下平臺各鉸點在B系中的位置矢量；ti為各支腿在G系下的矢量；R0為上平臺和質量負載的綜合質心在P系中的位置矢量；ωp、αp為上平臺角速度、角加速度；ωb、αb為下平臺角速度、角加速度；Ip為上平臺和控制力矩陀螺在G系中的慣量矩陣；Iu0i、Id0i為上、下支腿相對于質心分別在Pi系、Bi系中的慣量矩陣；ru0i、rd0i為上、下支腿質心分別在Pi系、Bi系中的位置矢量。

(a) 簡化模型

(b) 俯視圖

1.2 動力學建模

1.2.1 支腿動力學建模

眾多學者考慮的支腿為彈簧阻尼單元的Kevin模型，本文中，采用松弛型阻尼器代替傳統的彈簧阻尼單元，支腿的模型和受力分析如圖 3所示。由Stewart平臺的對稱性，可得第i條支腿在{G}系下的位置矢量li為

li=Pi-Bi=tpi+tp-tbi-tb

(1)

式中：tpi=Rp，gpi，tbi=Rb，gbi，tp=[0 0h]T，tb=[0 0 0]T。

圖3 第i條支腿受力分析圖

第i條支腿沿支腿方向的單位矢量可寫成

τi=li/|li|

(2)

第i條支腿滑動速度和滑動加速度分別為

(3)

api=api+u1i

(4)

式中：u1i=ωp×(ωp×tpi)。

經計算可得上、下支腿質心處加速度表達式

(5)

(6)

式中：u4i=ωp×(ωp×tpi)+ωi×(ωi×rui)+u3i×rui，u5i=ωi×(ωi×rdi)+u3i×rdi。

對上、下支腿質心取矩的動量矩方程如下

(7)

(8)

化簡可得整個支腿對上平臺的約束力為

(9)

1.2.2 上平臺動力學建模

如圖4所示，設支腿作用于上平臺的反作用力為-Fsi，上平臺和控制力矩陀螺的綜合重力為m0g，控制力矩陀螺引起的總擾動力和總擾動力矩分別為Fmac、Mmac。

圖4 上平臺受力簡圖

使用Newton-Euler法可得上平臺動力學方程

(10)

1.3 響應求解

上支腿作用在上平臺的作用力Fi為

(11)

式中：xdi為第i條支腿阻尼單元和與其串聯的彈簧單元中間連接點的壓縮量。

對式(11)進行拉氏變換，化簡得：

(12)

聯立式(9)、式(10)和式(12)，得到隔振系統的動力學方程

(13)

其中

由此，給出微振動抑制裝置的參數、基礎激勵、干擾力和干擾力矩，代入式(13)，可得微振動抑制裝置上平臺的響應。

2 微振動抑制裝置性能分析

本文使用傳遞率表示微振動抑制裝置的隔振性能，定義傳遞率為傳遞至上平臺的加速度響應幅值與基礎激勵幅值的比。裝置的基本參數根據控制力矩陀螺進行設計，其中，控制力矩陀螺和微振動抑制裝置主要參數實測得到，松弛型阻尼器剛度和阻尼選擇適當的數值，主要參數如表1～表3所示。

表1 控制力矩陀螺主要參數

2.1 固有頻率分析

首先對系統的固有特性進行分析。固有頻率只與系統本身屬性有關，而與外界激勵無關，因此，對動力學方程(13)進行化簡，得到無阻尼系統自由振動方程

表2 松弛型阻尼器主要參數

表3 微振動抑制裝置結構參數

(14)

式中:Kp為系統的等效剛度矩陣;NikiMp為等效質量矩陣。求解式(14)得到系統的六階固有頻率總結在表4中，同時，得到系統的模態矩陣如表5所示。

表4 固有頻率理論解

表5 隔振平臺模態矩陣

從固有頻率及模態矩陣可以看出，除第三階為單純沿Z軸的平移、第五階為繞Z軸的扭轉外，其余四階均為扭轉和質心平移的疊加，隔振系統的耦合主要在X和Y方向。

2.2 松弛型阻尼器隔振性能分析

不同于Kevin模型，松弛型阻尼器的隔振性能不僅受到阻尼因子的影響，還受到剛度比的影響。剛度比是松弛型阻尼器的重要參數，其不僅決定了共振峰的位置，而且和共振放大系數緊密相關。為比較松弛型阻尼器和Kevin模型的差異，將剛度比為4的松弛型阻尼器和參數為k=50 N/mm，c=800 N·s/m的Kevin模型的傳遞率畫在同一副圖中進行比較，此狀態下，隔振系統在Z向的傳遞率曲線如圖5所示。

圖5 松弛型阻尼和Kevin模型加速度傳遞率曲線對比圖

圖5中給出了兩種系統在共振峰值相同時的傳遞率曲線。可以看出，設計合適的剛度比，可以使基于松弛型阻尼器的隔振裝置性能優于傳統Kevin隔振系統，以控制力矩陀螺100 Hz主頻衰減為例，Kevin模型衰減為-20.1 dB，而松弛型阻尼器衰減為-31.2 dB；松弛型阻尼器在高頻處的衰減明顯優于Kevin隔振系統。

2.3 耦合特性分析

控制力矩陀螺質心相對于上平臺的高度是微振動抑制裝置產生耦合的主要原因[21]。本節以安裝高度為變量研究系統的耦合特性，選取h=40 mm和h=0 mm進行分析，不同激勵下各方向的傳遞率曲線如圖6和圖7所示。

圖6 h=0 mm時控制力矩陀螺響應圖

由圖6和圖7可知，當控制力矩陀螺質心和隔振平臺剛度中心重合時，隔振系統各向無耦合；當控制力矩陀螺質心和隔振平臺剛度中心不重合時，隔振系統沿X軸平移方向和繞Y軸轉動方向，沿Y軸平移方向和繞X軸轉動方向存在耦合，激勵同時激發系統的平移模態和旋轉模態，傳遞率曲線出現兩個峰值；隔振系統沿Z軸平移方向和繞Z軸旋轉方向和其他六個方向不存在耦合，其傳遞率曲線只出現一個峰值。因此，在設計該系統時，應根據實際的隔振要求并結合控制力矩陀螺的激勵特性，合理選擇控制力矩陀螺質心和剛度中心的距離，獲取最優微振動抑制性能。

圖7 h=40 mm時控制力矩陀螺響應圖

2.4 隔振性能分析

對微振動抑制裝置下平臺施加激勵幅值30 mg，(g為重力加速度，數值為9.8 m/s2)，頻率2～40 Hz加速度掃頻激勵來研究隔振系統的隔振性能。得到基礎激勵下的傳遞率如圖8所示，微振動抑制裝置在控制力矩陀螺主頻處的六方向隔振效率和共振峰放大倍數總結在表6中。

(a) 平移方向傳遞率

(b) 轉動方向傳遞率

表6 微振動抑制裝置六個方向的隔振性能

分析圖8和表6可知，由于微振動抑制裝置具有對稱性，X和Y方向傳遞率曲線的固有頻率基本相同；六個方向中，最小的固有頻率為6.84 Hz(Y平移方向)，最大的固有頻率為28.65 Hz(繞Y旋轉方向)。隔振系統對控制力矩陀螺100 Hz主頻振動處平移方向衰減均超過30 dB，隔振效率大于94%，且在共振頻率附近放大不超過3倍。

3 隔振實驗

本節搭建微振動抑制裝置實驗平臺，通過對下平臺施加正弦掃頻激勵，測量上平臺加速度響應，驗證裝置的隔振性能。

3.1 實驗方案

實驗系統組成如圖9所示，主要包括：微振動激勵臺、微振動抑制裝置、加速度傳感器、LMS數據采集系統和懸吊系統。

圖9 實驗測試系統

在控制力矩陀螺懸吊狀態下(圖10)，通過振動臺輸入正弦掃頻激勵信號，通過加速度傳感器測量并記錄上平臺質心處的加速度變化情況，獲取微振動抑制裝置垂直方向的絕對加速度傳遞率。

圖10 懸吊狀態實驗圖

3.2 實驗結果

振動臺輸入幅值為30 mg，頻率范圍為2～200 Hz的正弦掃頻激勵信號，上平臺和CMG質心處加速度變化曲線如圖11所示。同時，通過數據采集軟件對時域信號進行處理，得到微振動抑制裝置的傳遞率曲線如圖12所示，為對比方便，圖中同時給出了1.3節中的理論曲線以及Kevin模型的傳遞率曲線。

圖11 Z向加速度響應曲線

圖12 Z向隔振系統傳遞率曲線

從圖11中可以看出，垂直激勵時時域曲線出現一個峰值，與其他方向無耦合。從圖12中可以看出，隔振系統對控制力矩陀螺100 Hz主頻振動處振動衰減超過30 dB，且在共振頻率附近放大不超過10 dB。實驗結果表明：隔振平臺對控制力矩陀螺產生的振動具有良好的衰減作用；共振峰值對應的橫坐標為14.42 Hz，與求得的固有頻率理論值相近；實驗值和理論值吻合非常好，從而通過實驗再次證明了理論模型的準確性。

3.3 激勵幅值對傳遞率的影響

為了驗證激勵幅值對微振動抑制裝置隔振性能的影響，實驗中對隔振平臺沿Z平移方向施加激勵幅值分別為10 mg、20 mg和30 mg的激振力，所得傳遞率曲線如圖13所示?？梢钥闯?，在不同幅值的激振力作用下，隔振系統的加速度曲線基本重合，表明激勵幅值對隔振系統的隔振性能沒有影響。

圖13 不同激勵幅值下沿Z平移方向加速度傳遞率曲線

4 結 論

本文基于松弛型阻尼器和立方體構型設計了衛星控制力矩陀螺微振動抑制裝置，并進行了理論分析和實驗研究。使用牛頓-歐拉法建立了系統的動力學方程，得到系統的六階固有頻率和模態矩陣，分析了抑制裝置的耦合特性以及引起耦合振動的原因，結果表明，控制力矩陀螺質心相對于上平臺的高度是微振動抑制裝置產生耦合的主要原因，應結合控制力矩陀螺不同方向的干擾特性，合理選擇設計參數。實驗結果表明：微振動抑制裝置對控制力矩陀螺100 Hz主頻處的振動衰減超過30 dB，且在共振頻率附近放大不超過10 dB，具有良好的隔振性能；激勵幅值基本不會影響系統的隔振性能。本研究對衛星控制力矩陀螺在軌微振動抑制技術具有現實意義。