參外聯合激勵下一類混沌系統的動力學機理

張曉芳， 董穎濤， 韓修靜， 畢勤勝

(江蘇大學 土木工程與力學學院, 江蘇 鎮江 212013)

自1963 年三維 Lorenz系統中的混沌現象被揭示以來[1-3]，混沌及其機理的研究一直是學術界的廣泛關注的課題之一[4-6]。各類不同的混沌系統，如Rossler振子[7-8]、Chen系統[9-12]、蔡氏電路[13-15]等紛紛被建立起來。基于雙翼混沌吸引子的Lorenz混沌系統，Sara Dadras等通過改變該系統的非線性結構，其相應的數學模型[16]為

(1)

得到了一類由倍周期分岔導致的新型四翼混沌吸引子[17-18]，該數學模型可通過EWB軟件設計的電子振蕩電路實現。同時，在該電路的基礎上通過引入兩頻率不同的周期電流源，使混沌系統進入周期運動狀態，以達到控制系統運動的目的[19-20]。

迄今為止，相關工作大都是圍繞常規激勵頻率開展的，并著重考察了不同共振形式下的解特性，而當激勵頻率與系統固有頻率之間存在量級差距時，會產生不同尺度的耦合效應[21-22]，導致一種特殊的振蕩行為，也即系統的狀態變量會在大幅振蕩和微幅振蕩之間來回轉換的簇發振蕩。簇發振蕩在許多工程及科學問題中都有所涉及，其中生物神經元在外部刺激作用下信息的傳遞和交換是一種典型的簇發振蕩形式[23-25]。

為揭示這種特殊振蕩的產生機制，Rinzel提出了快慢分析法，也即將系統視為快慢子系統的耦合，通過分析快子系統的分岔及慢子系統的調節行為，得到各種簇發振蕩機理[26-29]。該方法對于自治快慢耦合系統非常有效，基于該方法，Izhikivich[30]總結了一快一慢和兩快一慢耦合系統中幾乎所有簇發振蕩的模式，并提出了按照沉寂態和激發態轉換時的分岔將簇發振蕩分類的方法。

而對于周期激勵系統，當激勵頻率遠小于系統的固有頻率時，由于沒有明顯的快慢子系統，不能直接應用Rinzel的快慢分析法。為此，本課題組拓展了該方法，也即將整個周期激勵項視為慢變參數，并相應組成慢子系統，而原系統則轉換為廣義自治系統，構成快子系統[31-32]。基于這一思想，得到了單周期外激和參激下各種振子中不同的新型簇發振蕩模式及其機理。

在相關工作的基礎上，本文將進一步考察兩種周期激勵，也即參外聯合激勵下系統的兩尺度耦合效應，以Sara Dadras的四翼混沌吸引子為例，重點探討當激勵頻率遠小于系統固有頻率時，兩激勵頻率形成不同共振關系及共振關系受擾動情形下系統的動力行為，揭示各種不同簇發振蕩的產生機制及其相互演化的規律。

1 嚴格共振下的分岔分析

在系統(1)的基礎上，同時引入周期激勵和參數激勵，得到了三維非自治系統

(2)

式中，wi=Aicos(ωit)(i=1,2)分別為系統的參數激勵和周期外激勵，Ai(i=1,2)為激勵幅值，ωi(i=1,2)為相應的激勵頻率。ωi(i=1,2)的不同比值可以實現不同的共振形式。當系統(2)中的2個激勵頻率ωi(i=1,2)均遠小于系統的固有頻率ΩN時，系統存在多個時間尺度。

由于ωi/ΩN<<1(i=1,2)，令t∈[t0,t0+TN]，其中TN=2π/ΩN，在任意一個以t=t0作為初始時間點的固有周期TN內，周期激勵項WAi=Aicosωit0(i=1,2)和WBi=Aicos(ωit0+2πωi/ΩN)(i=1,2)之間變化，期間Aicosωit(i=1,2)幾乎保持不變。因此，可以將Aicosωit(i=1,2)視為系統(2)的2個慢變參數，相應地，系統(2)可稱為關于2個慢變量的廣義自治系統。當2個頻率滿足嚴格的整數比關系時，可以采用Moivre公式[33]，將w=cos(ωit/n)(n為正整數)定義為基本慢變量，利用函數fi(w)(i=1,2)來分別表示這2個慢變量，即w1=A1f1(w)，w2=A2f2(w)。則系統轉化為只含有1個基本慢變量w的快慢系統。這樣，可以應用傳統的快慢分析法來揭示參外聯合激勵下系統不同簇發行為產生的機理。

不妨將廣義自治系統的平衡點定義為E(xi0,yi0,zi0)，其中

不難得到，xi0滿足

(3)

平衡點的穩定性由其對應的特征方程決定，即

λ3+a2λ2+a1λ+a0=0

(4)

其中特征方程的系數分別為

a2=a-c+e

(5)

根據Routh-Hurwitz準則可知，當式(4)滿足條件a0>0，a2>0，a1a2-a0>0時，平衡點E(xi0,yi0,zi0)是穩定的。而平衡點的失穩會導致不同形式的分岔。當特征方程有零特征根時，系統可能出現Fold分岔，用LB表示Fold分岔集，即

LB：a0=0

(6)

當特征方程的特征值含有一對純虛根時，系統可能產生Hopf分岔，用HB表示Hopf分岔集，即

HB：ai>0(i=1,2,3)且a0=a1a2

(7)

此時，由Hopf分岔產生的頻率為

(8)

為了進一步討論共振條件下系統的動力學行為，文中取定參數a=2，b=7，c=2，d=6，e=9，A1=2，A2=10。利用Moivre公式將兩個慢變量轉化為一個基本慢變量w表示，其中w=cos 0.01t。表1給出了ω1∶ω2=2∶4，1∶3三種典型的不同頻率比下f1(w)和f2(w)的表達式。

圖1給出了三種不同頻率比下的平衡曲線圖及其分岔圖。其中實線表示穩定的平衡點，虛線表示不穩定的平衡點，HB表示Hopf分岔點，FB表示Fold分岔點。由圖1(a)可知當ω1∶ω2=1∶1時，系統有3條平衡線，其中包括4段穩定的平衡線，3段不穩定的平衡線，穩定的平衡線與不穩定的平衡線之間由4個超臨界Hopf分岔點連接，2個Fold分岔點位于中間的不穩定平衡線上，平衡線關于原點呈中心對稱。

表1 不同激勵頻率比下f1(w)和f2(w)表達式

由圖1(b)可知，當ω1∶ω2=2∶4時，系統包含10段穩定的平衡線和9段不穩定的平衡線，平衡線關于w=0呈軸對稱。由圖1(c)可知，當ω1∶ω2=1∶3時，系統包含8段穩定的平衡曲線和7段不穩定的平衡線，平衡線關于原點呈中心對稱。比較不同頻率比下的平衡線曲線可以看出，雖然系統中激勵的頻率比在變化，但3條平衡線數目不發生變化。不同的是其平衡線的結構發生了變化，平衡線在x=0處來回穿插，相對于圖1(a)，圖1(b)和1(c)中一個周期內平衡點正負改變的次數增加，使得分岔點數量也相應增加，系統的動力學特性更加豐富。

(a) ω1∶ω2=1∶1平衡線圖

(b) ω1∶ω2=2∶4平衡線圖

(c) ω1∶ω2=1∶3平衡線圖

(d) ω1∶ω2=2∶4平衡線局部放大圖

2 嚴格共振條件下的簇發振蕩

2.1 情形一

(a) 時間歷程圖

(b) (x,y)平面相圖

(c) 平衡線圖與(w,x)平面轉換相圖的疊加圖

(d) x方向上系統速度時間圖

從圖2(c)中可以觀察到，系統軌線在經過Fold分岔點向上跳躍時發生了軌線局部突出的現象。結合變量x的速度時間圖2(d)可知，軌線在B點處速度瞬間增大，又在短時間內迅速回落至負方向導致了在此處x值的迅速變化。

2.2 情形二

(a) 時間歷程圖

(b) (x,y)平面相圖

(c) 平衡線圖與(w,x)平面轉換相圖的疊加圖

(d) 疊加圖局部放大圖1

(e) 疊加圖局部放大圖2

2.3 情形三

(a) 時間歷程圖

(b) (x,y)平面相圖

(c) 平衡線圖與(w,x)平面轉換相圖的疊加圖

(d) 疊加圖局部放大圖

從上述三種情形可以看到，當外激勵頻率遠小于系統固有頻率時，系統產生了簇發振蕩。在參外聯合激勵處于共振的條件下，隨著激勵頻率比的變化，廣義自治系統的平衡線發生了改變，導致參外聯合激勵系統不同的簇發現象，在系統相圖上則表現為渦卷數目的變化，即由雙渦卷現象逐漸演化為動力學特性更為豐富的四渦卷現象。

3 非嚴格共振條件下的簇發振蕩

3.1 簇發振蕩

嚴格的共振情況在實際系統中很少存在，系統往往受到不同程度的擾動。在小擾動的情況下，系統的動力學行為將會更為復雜.

在上述嚴格共振情況下，采用Moivre公式將兩個慢變量轉化為一個基本慢變量的分析方法，在此不再適用。為了解決這一問題，本文將慢變頻率之一與時間的乘積作為慢變參數。在確定了慢變參數和對應的廣義自治系統后，即可分析不同頻率比下系統的平衡點的演化，以及相應系統的簇發振蕩，從而揭示其產生的機理。

取定各參數與共振情況相同，保持頻率ω1=0.01不變，ω2在0.01附近產生一定的擾動，取ω2=0.011。以τ=0.01t作為慢變量，圖5(a)為系統隨慢變量τ變化下的平衡線圖。由平衡線圖可以看出，系統的平衡點分支由三條平衡線組成并呈現周期狀態，其周期為2 000π。圖5(b)為(τ,x)平面上的轉換相圖與平衡線疊加圖。假定系統軌線在τ=100時，位于下半平面的小領域內，則在此后軌線會沿著穩定的平衡點分支運動，此時系統處于沉寂態，當遇到Fold分岔點時，系統向上跳躍，同時受到Hopf分岔點的影響，平衡點失穩發生大幅振蕩，進入激發態，隨著τ增加，振蕩幅度減小，在穩定平衡線處，軌線退出激發態，再次歸于沉寂態。軌線之后的運動與此類似，不再贅述。與頻率比為ω1∶ω2=1∶1的情況相比，雖然外激勵頻率發生了微小擾動，但非共振情況下，系統的動力學行為發生了巨大變化。不僅系統的周期增加，系統的平衡線結構也發生了很大變化。在小擾動的情況下，一個周期內，平衡線的波峰與波谷的數量急劇增加，使得軌線周期運動中激發態和沉寂態轉換的次數增加，在相圖上表現為渦卷的疊加如圖5(c)所示，使得系統的動力學特性變得更加復雜。

3.2 不同頻率比的影響

當參外聯合激勵的頻率比為ω1∶ω2時，設

(9)

p與q為互質的正整數，則系統的最小周期在真實時間上為

(10)

(a) 平衡線圖

(b) 平衡線圖與(τ,x)平面轉換相圖的疊加圖

(c) (x,y)平面相圖

如上述例子中ω1=0.01，ω2=0.011時，周期為T=2π/0.001=2 000π。可見，當系統的頻率受到一定程度的擾動時，系統的周期大大延長了，同時簇發的穩定性也會一定程度的影響。值得注意的是，當γ取無理數時，系統進入非周期運動，即使當γ取有理數時，系統也并不一定是周期運動，也可能是概周期運動，甚至可能是混沌現象。

將參數激勵的頻率固定為0.01，在0.009～0.015之間改變外激勵的頻率，探討系統在不同頻率比時的動力學演化行為。

從龐加萊截面圖6～10可以看出，當ω1∶ω2=1∶1和ω1∶ω2=1∶1.5時為周期運動，當ω1∶ω2=1∶0.9和ω1∶ω2=1∶1.1時均為概周期運動。從系統Lyapunov指數與參數ω2的關系圖中，也可以看到，隨著頻率比的改變，Lyapunov指數并沒有出現大于零的情況，可以推斷，系統并未進入混沌狀態，所以系統隨著頻率比的改變，呈現出周期運動與概周期運動交替變化。

(a) 三維相圖

(b) 龐加萊截面

4 結 論

參外聯合激勵下的混沌系統在激勵頻率遠小于系統固有頻率時會存在明顯的兩時間尺度效應。當兩激勵頻率處在嚴格共振情形時，利用Moivre公式可以將兩個激勵項轉化為均含一個基本激勵項的代數表達，從而可以將該基本激勵項視為慢變參數，得到相應的廣義自治系統，基于該廣義自治系統隨慢變參數的平衡點曲線及其分岔分析，結合轉換相圖，揭示相應簇發振蕩的分岔機制。可以發現，參外聯合激勵從到共振，由于平衡曲線分布方式及相應分岔點數量的不同，導致了快慢耦合系統的軌線在不同的平衡點之間跳躍的次數增加，由圍繞著兩個焦點的簇發振蕩，轉變為圍繞三個焦點乃至四個焦點的簇發振蕩，在相圖上表現為渦卷數量的變化，從兩渦卷，三渦卷到四渦卷。而當兩激勵頻率處在非嚴格共振情形時，由于無法采用Moivre公式簡化，為此，可以將慢變頻率之一與時間的乘積作為慢變參數，從而得到該情形下相應的廣義自治系統。同樣，基于隨慢變參數變化的平衡曲線及其分岔分析，結合轉換相圖，揭示簇發振蕩的產生機制。我們發現，與嚴格共振情形不同，非嚴格共振時，平衡曲線的周期大大延長了。同時，一個周期中平衡曲線上存在的分岔的數目也顯著增加了，這就導致耦合系統的軌線經過分岔點時激發態和沉寂態轉換次數也隨之增加，使得系統的動力學行為更加復雜。另外，從龐加萊截面圖以及Lyapunov指數計算可以判斷，隨著頻率的變化，系統呈現出周期與概周期簇發振蕩交替變化的運動特征。

(a) 三維相圖

(b) 龐加萊截面

(a) 三維相圖

(b) 龐加萊截面

(a) 三維相圖

(b) 龐加萊截面

圖10 Lyapunov指數與參數ω2的關系