單邊周期環(huán)形諧振徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)

呂銳翔， 李麗霞， 楊繼博

(西安建筑科技大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安 710055)

眾所周知，盤(pán)類結(jié)構(gòu)廣泛應(yīng)用于機(jī)械、電子、紡織、冶金、采礦、汽車、航空、航天及船舶等領(lǐng)域，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的飛速進(jìn)步，要求機(jī)械裝備向低噪聲、振動(dòng)小，或輕型、高精度方向發(fā)展，而盤(pán)類結(jié)構(gòu)通常是振動(dòng)能量的載體或者傳播體，其結(jié)構(gòu)形式、動(dòng)態(tài)特性及動(dòng)態(tài)激勵(lì)力的傳遞方式，對(duì)整個(gè)系統(tǒng)的振動(dòng)有重要影響。目前對(duì)于盤(pán)類結(jié)構(gòu)的減振主要是通過(guò)提高其加工精度、控制原材料的質(zhì)量或通過(guò)阻尼減振等。而往往這些方法會(huì)增加盤(pán)類結(jié)構(gòu)的加工成本和加工難度，同時(shí)對(duì)于低頻振動(dòng)的隔離常難以奏效。所以，如何在現(xiàn)有的基礎(chǔ)上，引入新技術(shù)進(jìn)一步降低盤(pán)類結(jié)構(gòu)的振動(dòng)是十分必要的。

在特定方向上具有周期性的結(jié)構(gòu)對(duì)于特定頻率段內(nèi)的彈性波傳播具有抑制作用，其可以對(duì)盤(pán)類結(jié)構(gòu)在特定頻率段的振動(dòng)進(jìn)行控制[1-3]。聲子晶體理論使得周期結(jié)構(gòu)的減振特性得到了進(jìn)一步的發(fā)展[4-5]。目前對(duì)于聲子晶體其帶隙的機(jī)制解釋主要有兩種，一種是布拉格散射(Bragg)機(jī)制[6]，另一種是局域共振機(jī)制[7]。其中基于局域共振機(jī)制的聲子晶體相對(duì)于基于布拉格散射機(jī)制的聲子晶體可以在相對(duì)較小的晶格常數(shù)下得到更加低頻的帶隙，從而達(dá)到對(duì)結(jié)構(gòu)低頻振動(dòng)的控制。本文將聲子晶體理論引入到工業(yè)應(yīng)用中常見(jiàn)的盤(pán)狀結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)出具有低頻減振特性的徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)，有助于實(shí)現(xiàn)對(duì)盤(pán)狀結(jié)構(gòu)低頻振動(dòng)的抑制。

Torrent 等[8-10]將聲子晶體理論引入到徑向周期結(jié)構(gòu)中，設(shè)計(jì)出一種在徑向上具有周期性的徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)，同時(shí)驗(yàn)證了其存在的聲學(xué)帶隙。隨后Xu等[11-13]將徑向聲子晶體推廣到振動(dòng)控制領(lǐng)域，得到了基于布拉格機(jī)制的彈性波帶隙，理論上驗(yàn)證了其對(duì)于盤(pán)狀結(jié)構(gòu)振動(dòng)的控制。進(jìn)一步Li等[14]基于Lamb理論研究了周期性波紋的徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)，得到了大于20 kHz的高頻帶隙。An等[15]研究了一種在徑向以及周向上具有周期性的廣義徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)，得到了中心頻率位于16 kHz的高頻寬帶隙。由于實(shí)際工程中對(duì)于振動(dòng)的控制多在低頻時(shí)，上述研究雖然在理論上得到了其結(jié)構(gòu)的帶隙，但由于其帶隙位于高頻處，并不能在目前的工業(yè)領(lǐng)域得到應(yīng)用。對(duì)Shi等[16-18]提出了基體盤(pán)由兩種材料在徑向上以特定的寬度周期性排列，得到了相較低的帶隙。隨后Li等[19]研究了在環(huán)氧樹(shù)脂和鋁交替排列組成的基體盤(pán)上周期性附加散射體的聲子晶體結(jié)構(gòu)，得到了低于500 Hz的帶隙。Gao等[20]通過(guò)在硅橡膠和鉛這兩種材料沿徑向周期排列的基板盤(pán)上附加橡膠散射體得到了低于10 Hz的低頻帶隙。雖然上述研究將帶隙降低至1 000 Hz以內(nèi)，但是其基體盤(pán)是通過(guò)兩種材料組合而成，使得其結(jié)構(gòu)在現(xiàn)有的加工條件下應(yīng)用于工業(yè)領(lǐng)域中難以保證其對(duì)于復(fù)雜工況的適應(yīng)，同時(shí)基體盤(pán)不同材料連接處的易斷性使其無(wú)法確保工業(yè)設(shè)備的穩(wěn)定運(yùn)行。

1 模型和計(jì)算方法

研究提出的新型環(huán)狀諧振徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)如圖1所示，其中圖1(a)是5個(gè)單位晶格結(jié)構(gòu)沿徑向方向周期排列并且繞Z軸旋轉(zhuǎn)得到的三維實(shí)體模型，圖1(b)單位晶格結(jié)構(gòu)圖,圖1(c)徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)的形成方式。如圖1(b)所示單位晶格結(jié)構(gòu)是由A、B、C三部分組成， A部分寬度為晶格常數(shù)。其結(jié)構(gòu)幾何參數(shù)如下：其中A部分寬度為a，高度為m、B部分寬度為d，高度為c、C部分寬度為b，高度為h，同時(shí)C部分距基板距離為n，基板距Z軸距離為r0。

(a) 徑向聲子晶體盤(pán)三維模型

(b) 晶格結(jié)構(gòu)

(c) 徑向結(jié)構(gòu)形成方式

為了研究所提出的徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，本文從無(wú)限周期結(jié)構(gòu)的能帶圖，有限周期結(jié)構(gòu)頻響函數(shù)曲線，本征位移場(chǎng)三個(gè)方面進(jìn)行研究。理論上由于結(jié)構(gòu)在徑向方向上具有無(wú)限周期，因此根據(jù)Block定理，只需研究單個(gè)周期的晶格結(jié)構(gòu)，其中單個(gè)晶格結(jié)構(gòu)在徑向方向的周期邊界條件可以表示為

u(r+ra,z)=u(r,z)eikrra

(1)

式中:r是徑向位置;a是晶格常數(shù);kr是在徑向方向上Bloch波矢量的分量。研究通過(guò)改變第一布里淵區(qū)邊界的k值，來(lái)求解特征值問(wèn)題。本文從有限元軟件COMSOL Multiphysics5.2中的特征頻率求解器模塊的參數(shù)掃描函數(shù)掃描在R方向上k=0到k=1總共11個(gè)細(xì)分點(diǎn)，可以得到每個(gè)點(diǎn)的固有頻率，進(jìn)而得到所提出的新型環(huán)狀諧振徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)的能帶結(jié)構(gòu)圖。

對(duì)于有限周期結(jié)構(gòu)，通過(guò)計(jì)算其頻響函數(shù)曲線來(lái)描述其彈性波傳播特性，本文研究了在徑向方向上由有限個(gè)單位晶格組成的周期陣列結(jié)構(gòu)。通過(guò)在有限周期結(jié)構(gòu)的一端沿某一方向施加一定范圍頻率的加速度激勵(lì)，同時(shí)在其另一端拾取其單個(gè)頻率的加速度響應(yīng)，頻響函數(shù)定義為通過(guò)有限周期結(jié)構(gòu)的拾取端加速度響應(yīng)與激勵(lì)端加速度激勵(lì)之比，其數(shù)學(xué)表達(dá)式為

T=20lg(a2/a1)

(2)

式中,a1代表激勵(lì)端的加速度激勵(lì)a2代表拾取端的加速度響應(yīng)。通過(guò)改變激勵(lì)端加速度頻率獲得其頻響函數(shù)曲線。

2 帶隙及機(jī)理分析

為了進(jìn)一步研究徑向聲子晶體的帶隙特性，本文給出了晶格結(jié)構(gòu)具體幾何參數(shù)如表1所示，同時(shí)給出了其晶格結(jié)構(gòu)所組成的三部分的材料參數(shù)如表2所示，其中A部分的基板材料為環(huán)氧樹(shù)脂，B部分的彈性材料為硅橡膠，C部分的質(zhì)量塊為鋼。

表1 徑向聲子晶體晶格結(jié)構(gòu)參數(shù)

表2 徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)材料參數(shù)

徑向聲子晶體能帶結(jié)構(gòu)圖如圖2(a)所示，從圖中可以看出結(jié)構(gòu)1在0～600 Hz區(qū)間內(nèi)有5條能帶，并且在第一和第二能帶之間產(chǎn)生了一個(gè)位于0.016～0.082(56.5～246.91 Hz)的低頻寬帶隙。為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提出徑向聲子晶體其所產(chǎn)生帶隙的準(zhǔn)確性，分別計(jì)算了5個(gè)周期下的二維軸對(duì)稱模型徑向以及軸向激勵(lì)下的頻響函數(shù)曲線圖，同時(shí)計(jì)算了5個(gè)周期下的三維模型軸向激勵(lì)下的頻響函數(shù)曲線圖，如圖2(b)所示。從圖中可以看出，在加速度激勵(lì)下，計(jì)算所得到的二維軸對(duì)稱模型與三維實(shí)體模型在的頻響函數(shù)曲線的帶隙范圍吻合，并且其與無(wú)限周期能帶結(jié)構(gòu)圖中的帶隙吻合，進(jìn)一步驗(yàn)證了所提出的徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)其帶隙的準(zhǔn)確性。

(a) 晶格的能帶結(jié)構(gòu) (b) 有限周期結(jié)構(gòu)頻響曲線

為了進(jìn)一步探討帶隙的產(chǎn)生機(jī)制，給出了能帶結(jié)構(gòu)圖中帶隙上下邊界處特殊點(diǎn)的本征位移場(chǎng)，如圖3所示。從圖3中可以看出在E點(diǎn)，也就是帶隙的起始頻率處。結(jié)構(gòu)的振動(dòng)主要為基板上部C部分質(zhì)量塊的垂直振動(dòng)(Z方向)，同時(shí)引起了彈性材料B部分的垂直振動(dòng)(Z方向)，進(jìn)一步傳遞到基板上。這是由于結(jié)構(gòu)由三種材料組成，并且每種材料的固有頻率不同，當(dāng)激勵(lì)頻率接近質(zhì)量塊的固有頻率時(shí)，引起了質(zhì)量塊在垂直方向的振動(dòng)，此時(shí)質(zhì)量塊沿垂直方向通過(guò)彈性軟材料硅橡膠傳遞給基板一個(gè)作用力，其傳遞力的大小與質(zhì)量塊的質(zhì)量和彈性軟材料的剛度成正比，進(jìn)而抑制了基板的振動(dòng)，使得彈性波不能在基板中傳播。在帶隙范圍內(nèi)，圖3(a)E點(diǎn)始終保持為主振型，其作用力持續(xù)在基板上，基板的振動(dòng)持續(xù)被抑制。根據(jù)模態(tài)疊加原理[21]。

x=ηA1+ηA2+…+ηAn

(3)

式中：x表示響應(yīng)；ηAn表示模式An的參與系數(shù)。隨著激勵(lì)頻率逐漸接近質(zhì)量塊的固有頻率時(shí)，模式A1的放大系數(shù)逐漸增大，其參與系數(shù)ηA1隨之增大，振子的振幅隨之上升，同時(shí)使得作用在基板上的作用力逐漸增大，直到抑制基板的振動(dòng)，過(guò)程如圖4所示。圖4為能帶結(jié)構(gòu)圖中第一頻帶上K從0～1所有點(diǎn)的本征位移場(chǎng)。隨著激勵(lì)頻率的增大，逐漸遠(yuǎn)離質(zhì)量塊的質(zhì)量塊的固有頻率時(shí)，放大系數(shù)變小使得參與系數(shù)ηA1逐漸降低，質(zhì)量塊的振動(dòng)方向與E點(diǎn)相反。此時(shí)基板與質(zhì)量塊在垂直(Z方向)反向振動(dòng)，進(jìn)而壓縮了B部分的硅橡膠，此時(shí)F點(diǎn)轉(zhuǎn)換為主振型，如圖3(b)所示，帶隙截至。

(a) E點(diǎn)

(b) F點(diǎn)

圖4 第一能帶所有點(diǎn)的本征位移場(chǎng)

進(jìn)一步，本文給出了對(duì)比模型2和3，其晶格結(jié)構(gòu)的幾何參數(shù)與模型1一致，其中模型2的B部分材料為硅橡膠，C部分材料為環(huán)氧樹(shù)脂，模型3是將模型1中A部分的材料由原始的環(huán)氧樹(shù)脂變?yōu)殇摗１疚姆謩e計(jì)算了模型2和模型3的能帶結(jié)構(gòu)圖，如圖5所示，其中圖5(a)為模型2的能帶結(jié)構(gòu)圖，圖5(b)為模型3的能帶圖。從圖中可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)質(zhì)量塊為與基板材料相同的質(zhì)量較輕的環(huán)氧樹(shù)脂時(shí)，相對(duì)于質(zhì)量塊為鋼的能帶結(jié)構(gòu)圖，帶隙的起始頻率和截至頻率均有升高，并且起始頻率有較大的上升。但是對(duì)于僅僅將A部分的材料更換為鋼，其帶隙的范圍為58.58～137.8 Hz。帶隙的起始頻率幾乎保持不變，而截至頻率發(fā)生了較大的下移。對(duì)于帶隙起始頻率和截至頻率可以理解為等效質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，同時(shí)可以由下式確定。

(4)

(5)

式中:f1為起始頻率;f2截止頻率;K1為等效彈簧的剛度;M1為其振子的質(zhì)量;M2為其基板以及彈簧的質(zhì)量。

(a) 模型2

(b) 模型3

對(duì)于本文所提出的聲子晶體盤(pán)狀結(jié)構(gòu)，其振子質(zhì)量M1為C部分的質(zhì)量，等效彈簧為B部分的剛度。對(duì)于模型2，其C部分為環(huán)氧樹(shù)脂，而其它參數(shù)不變，相對(duì)于模型1，C部分質(zhì)量M1減少，由式(4)可知帶隙起始頻率增大。而對(duì)于截止頻率，由式(5)可知，由于M1的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于M2的質(zhì)量，因此當(dāng)M1減小，其截至頻率變化較小。而對(duì)于模型3，由于B部分以及C部分均為發(fā)生改變，因此對(duì)于起始頻率由式(4)可知，帶隙起始頻率幾乎不變。而對(duì)于截至頻率，由式(5)可知，M2發(fā)生較大的增加，因此截至頻率出現(xiàn)較大的下移。

3 參數(shù)對(duì)帶隙的影響

3.1 基板厚度m對(duì)帶隙的影響

為了驗(yàn)證帶隙的截至頻率是由于基板質(zhì)量的大小所影響，本文在僅改變A部分基板的厚度m時(shí)，分別計(jì)算了其帶隙范圍，其計(jì)算結(jié)構(gòu)如圖6所示。從圖中可以看出，隨著m的增加，帶隙的起始頻率幾乎保持不變，但是截至頻率隨著m的增加而降低。這是由于基板A部分在截至頻率處的振型在垂直(Z)方向，隨著厚度m增加，基板A的質(zhì)量在增加，這也與上文中基板材料為鋼時(shí)，帶隙的截止頻率大幅降低一樣。為了進(jìn)一步驗(yàn)證僅僅是基板的質(zhì)量對(duì)帶隙的截止頻率產(chǎn)生影響，本文計(jì)算了在基板為環(huán)氧樹(shù)脂時(shí)，其在寬度a不變時(shí)僅僅改變基板厚度m的帶隙范圍。鋼的密度為7 890 kg/m3，環(huán)氧樹(shù)脂的密度為1 180 kg/m3，由于寬度不變，因此基板為環(huán)氧樹(shù)脂時(shí)，其基板厚度m為26.7 mm，因此選取基板厚度m為27 mm，計(jì)算得到其帶隙位于59.17～136.6 Hz，結(jié)果與基板為鋼，厚度為4 mm時(shí)的帶隙范圍基本吻合。

圖6 基板厚度m對(duì)帶隙的影響

3.2 鋼塊高度h對(duì)帶隙的影響

進(jìn)一步分析了在其它參數(shù)不變時(shí)，僅改變C部分質(zhì)量塊的高度h時(shí)，分別計(jì)算了其帶隙范圍，其計(jì)算結(jié)構(gòu)如圖7所示。從圖中可以看出，隨著質(zhì)量塊高度的增加，帶隙的起始頻率在降低，而截至頻率基本保持不變。這是由于隨著質(zhì)量塊高度的增加，其振子質(zhì)量M1隨之增加，由式(5)可知，帶隙的起始頻率降低。而對(duì)于截止頻率，由于M1的質(zhì)量遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于M2的質(zhì)量，因此當(dāng)M1增大時(shí)，由式(6)可知截至頻率僅有較小的降低。

圖7 鋼塊高度h對(duì)帶隙的影響

3.3 橡膠的高度c對(duì)帶隙的影響

最后分析了在其它參數(shù)不變時(shí)，僅改變B部分橡膠塊的高度c時(shí)，分別計(jì)算了其帶隙范圍，其計(jì)算結(jié)構(gòu)如圖8所示。從圖中可以看出，隨著橡膠塊高度的增加，帶隙的起始頻率保持不變，截止頻率逐漸降低。這是由于隨著橡膠的高度c的增加，M2隨之增加。由式(5)以及式(6)可知帶隙的起始頻率不變，截至頻率逐漸降低。

圖8 橡膠的高度c對(duì)帶隙的影響

4 結(jié) 論

本文研究了新型環(huán)狀諧振徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)的帶隙特性，分析了其晶格結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)帶隙特性的影響，其結(jié)論如下：

(1) 新型環(huán)狀諧振徑向聲子晶體結(jié)構(gòu)在基板材料為一種時(shí)，具有低頻寬帶隙特性，相比于傳統(tǒng)的徑向聲子晶體，其基板材料的單一使得其結(jié)構(gòu)在工業(yè)應(yīng)用中更加的穩(wěn)定。

(2) 基板以及橡膠塊的高度對(duì)帶隙的截止頻率有較大的影響，對(duì)帶隙的其實(shí)頻率幾乎沒(méi)有影響。而質(zhì)量塊的高度決定著帶隙的起始頻率大小，但是其影響較小，同時(shí)其對(duì)于截止頻率幾乎無(wú)影響。因此可以在對(duì)帶隙范圍影響較小時(shí)，通過(guò)降低質(zhì)量塊的高度，增加基板的厚度，來(lái)進(jìn)一步增加結(jié)構(gòu)整體的穩(wěn)定性。