基于三階剪切變形理論的壓電功能梯度板靜力學(xué)等幾何分析

劉 濤， 李朝東， 汪 超， 蔣雅芬， 劉慶運(yùn)

(1.上海大學(xué) 機(jī)電工程與自動化學(xué)院，上海 200072； 2.安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，馬鞍山 243002； 3.安徽工業(yè)大學(xué) 創(chuàng)新教育學(xué)院，馬鞍山 243002)

功能梯度材料(Functionally Graded Material, FGM)[1]是指沿著某方向連續(xù)性改變材料結(jié)構(gòu)或組成的材料，如在厚度方向，材質(zhì)從金屬過渡到陶瓷材料。因其獨(dú)特的力學(xué)優(yōu)勢，目前被廣泛應(yīng)用于航空、核能、生物醫(yī)學(xué)、機(jī)械等領(lǐng)域[2-4]。同樣作為智能材料，壓電材料獨(dú)有的正逆壓電效應(yīng)[5]，使其在結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測[6]和微機(jī)電系統(tǒng)[7]領(lǐng)域中發(fā)揮著重要作用。因此，將壓電材料與FGM結(jié)合以獲得性能更加優(yōu)越的智能結(jié)構(gòu)和智能材料，引起了國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。

壓電智能結(jié)構(gòu)的迅速發(fā)展使其結(jié)構(gòu)形式變得更加多樣化、復(fù)雜化。因此，結(jié)構(gòu)的自由振動[8-9]、彎曲[10-12]、屈曲[13]、振動[14]、形狀控制等問題的研究愈發(fā)受到重視[15]。壓電智能結(jié)構(gòu)分析的建模方法主要有解析法建模、數(shù)值方法建模和實(shí)驗(yàn)方法建模。壓電功能梯度板(Piezoelectric Functionally Graded Plate, PFGP)是最基本的壓電功能梯度材料結(jié)構(gòu)形式之一，就其結(jié)構(gòu)分析的數(shù)值分析方法看，采用常規(guī)的三維彈性理論框架，傳統(tǒng)的數(shù)值方法會耗費(fèi)大量計(jì)算網(wǎng)格。若要提高計(jì)算效率，則需要根據(jù)材料屬性定制對應(yīng)的形函數(shù)[16]改進(jìn)數(shù)值方法(如梯度有限先法)。然而，這種改進(jìn)方式仍然擺脫不了維度上帶來的網(wǎng)格自由度增量。為解決上述問題，國內(nèi)外很多學(xué)者采用等效單層理論[17]框架下的數(shù)值方法去研究PFGP的力學(xué)行為。He等與Liew等分別在經(jīng)典板理論(Classical Plate Theory, CPT)和一階剪切變形理論(First-Order Shear Deformation Theory, FSDT)的框架下，利用有限單元法(Finite Element Method, FEM)研究了PFGP在機(jī)-電-熱載荷下的靜力學(xué)、動力學(xué)特性和主動振動控制問題。此外，為解決FEM中因單元畸變降低計(jì)算精度[18-19]的問題，文獻(xiàn)[12-14]采用無網(wǎng)格法(Mesh-Free Method)研究了PFGP的屈曲、靜態(tài)響應(yīng)、形狀控制以及振動等問題。Loja等[20]建立了高階剪切變形理論(Higher-Order Shear Deformation Theory, HSDT)框架下的B樣條有限元模型，文中有效分析了PFGP的靜態(tài)響應(yīng)與自由振動問題。結(jié)合HSDT和馮·卡爾曼方程(Von Kármán Euqations)，F(xiàn)akhari等[21-22]又采用有限單元法研究了熱環(huán)境下PFGP的非線性自由、強(qiáng)迫振動等問題。上述板理論中，CPT僅對薄板有效而不具有通用性；FSDT因階次過低而可能會導(dǎo)致分析精度稍弱；而HSDT構(gòu)造過程過于復(fù)雜而不利于數(shù)值分析的離散化過程。相對而言，三階剪切變形理論(Third-Order Shear Deformation Theory, TSDT)因利用C1連續(xù)單元提高求解的精確度且無需引入剪切因子具有明顯的優(yōu)勢。目前，已有一批學(xué)者將TSDT的數(shù)值方法運(yùn)用到功能梯度梁、板及殼體的力學(xué)分析中[23-25]。在PFGP的研究中，Selim等[26]構(gòu)建了TSDT框架下的無網(wǎng)格法，文中研究了兩種不同結(jié)構(gòu)的PFGPs的主動振動控制問題。

但就上述的數(shù)值方法(有限單元法或無網(wǎng)格法)而言，若研究對象的幾何體稍作復(fù)雜，則會出現(xiàn)計(jì)算分析模型和幾何模型不一致的現(xiàn)象[27]。為解決此類問題，Hughes提出一種新的力學(xué)數(shù)值算法——等幾何分析(Isogeometric Analysis, IGA)[28]。其基本思想是將計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(Computer Aided Design, CAD)的非均勻有理B樣條(Non-Uniform Rational B-Splines, NURBS)作為計(jì)算機(jī)輔助工程(Computer Aided Engineering, CAE)的形函數(shù)，方便地實(shí)現(xiàn)任意連續(xù)階次的平滑性。與傳統(tǒng)的數(shù)值方法相比，IGA這種統(tǒng)一的數(shù)學(xué)方程，即省去了CAD與CAE數(shù)據(jù)之間的交互，又避免了如有限元使用拉格朗日多項(xiàng)式差值函數(shù)帶來的逼近誤差。可以說，理論上IGA形成了CAD與CAE的無縫連接。鑒于IGA方法自身的諸多優(yōu)點(diǎn)以及其天然地滿足TSDT所需的C1連續(xù)性要求[29]的特性，使得部分學(xué)者將TSDT與IGA方法結(jié)合對FGM結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)[30]、動力學(xué)[31-32]、結(jié)構(gòu)與材料參數(shù)優(yōu)化[33-34]等問題進(jìn)行了研究，驗(yàn)證了該方法的精確性。

最近，少部分學(xué)者將IGA方法引入到PFGP的分析中。如，Phung-Van等[35]分析了PFGP在機(jī)-電-熱負(fù)載下的非線性瞬態(tài)響應(yīng)；Nguyen等[36]研究了壓電功能梯度多孔板的靜動態(tài)響應(yīng)；Nguyen-Quang[37]則針對均勻、V型、X型以及O型四種體積分?jǐn)?shù)分布形式，分析了集成壓電層的功能梯度碳納米管增強(qiáng)復(fù)合材料板的動態(tài)響應(yīng)。值得注意的是，在PFGP靜力學(xué)問題中，構(gòu)建三階剪切變形理論的等幾何分析方法還未被涉及，因此，本文擬用TSDT下的IGA方法，研究并探討PFGP的自由振動、彎曲以及變形控制等靜力學(xué)問題。

1 基于三階剪切變形理論的壓電功能梯度板模型

如圖1所示，PFGP長為a，寬為b，共分為上、中、下三層。中間層厚度為hf，是由金屬和陶瓷組成的功能梯度材料，在厚度方向上其材質(zhì)具有光滑連續(xù)的變化特性。中間層上、下表面均被一厚度為hp的壓電層完全覆蓋，忽略中間層與壓電層之間的膠黏層。板的總厚度ht=hf+2hp。

圖1 壓電功能梯度板

1.1 功能梯度層的體積分?jǐn)?shù)

假設(shè)金屬材料的體積分?jǐn)?shù)含量在厚度方向上為冪函數(shù)形式分布

(1)

Vc(z)=1-Vm(z)

(2)

則功能梯度板內(nèi)任意一點(diǎn)的材料的物性參數(shù)為

P(z)=(Pm-Pc)Vm(z)+Pc

(3)

式中:下標(biāo)c和m分別為非金屬和金屬;z為厚度方向上的坐標(biāo)(z∈[-hf/2,hf/2]);n為功能梯度指數(shù)n∈[0,∞];Pc和Pm分別為非金屬和金屬的相關(guān)材料屬性，如：密度、彈性模量或者泊松比等。

1.2 三階剪切變形理論

由Reddy[38]提出的TSDT，可得到PFGP內(nèi)部任意一點(diǎn)的位移為

u(x,y,z)=u0(x,y)+zβx+c1z3(βx+w0,x)

v(x,y,z)=v0(x,y)+zβy+c1z3(βy+w0,y)

w(x,y,z)=w0(x,y)

(4)

由幾何方程可得幾何非零應(yīng)變?yōu)?/p>

(5)

其中，面內(nèi)應(yīng)變與橫向剪切應(yīng)變分別為

ε={εxxεyyγxy}T=ε0+zκ1+z3κ2

(6)

γ={γxzγyz}T=εs+z2κs

(7)

式中:ε0={u0,xv0,yu0,y+v0,x}T,

κ1={βx,xβy,yβx,y+βy,x}T，

κ2=c1{βx,x+w0,xxβy,y+w0,yyβx,y+βy,x+2w0,xy}T，

εs={βx+w0,xβy+w0,y}T

κs=3c1{βx+w0,xβy+w0,y}T

由廣義胡克定律，應(yīng)力的本構(gòu)關(guān)系可以表示為

(8)

彈性常量為

Q66=G12,Q44=G23,Q55=G13

(9)

式中，E，v分別為彈性模量與泊松比。

實(shí)際應(yīng)用中，壓電材料常處于第二類邊界條件，即力學(xué)夾持和電學(xué)短路[39]。根據(jù)第二類壓電方程[40]，PFGP的本構(gòu)方程可表示為

(10)

(11)

式中，壓電應(yīng)力常數(shù)e31、e32可以通過式(12)獲得。

(12)

式中，d31，d32為壓電應(yīng)變常數(shù)。

僅考慮z方向上的電場強(qiáng)度，對應(yīng)的電場強(qiáng)度矩陣表示為

(13)

式中，φ為壓電層厚度方向上的電勢差。

根據(jù)上述分析，PFGP的應(yīng)變能為

(14)

因此，彈性剛度矩陣為

(15)

式中，

(16)

(17)

1.3 弱形式

利用哈密頓變分原理[41]，板的弱形式表示為

(18)

式中，t1和t2分別為時(shí)間軸的某兩個(gè)時(shí)刻，L為總能量

(19)

2 壓電功能梯度板的等幾何分析

2.1 NURBS基函數(shù)

節(jié)點(diǎn)矢量k(ξ)由一組單調(diào)不遞減的實(shí)數(shù)序列組成[42]。定義為k(ξ)={ξ1=0,…,ξi,…,ξn+p+1=1}，其中ξi稱為節(jié)點(diǎn)，n為基函數(shù)個(gè)數(shù)，p為樣條階次。Ni,p(ξ)表示第i個(gè)p次B樣條基函數(shù)

(20)

(21)

對于二維平面問題，NURBS基函數(shù)由兩個(gè)方向的一維B樣條基函數(shù)張量積構(gòu)成

(22)

式中:wi,j為權(quán)重;Ni,p(ξ)和Nj,q(η)分別為ξ方向p階次和η方向q階次的B樣條基函數(shù)，Nj,q(η)形式和Ni,p(ξ)類似。

2.2 機(jī)械位移場離散化

利用NURBS基函數(shù)，PFGP的近似機(jī)械位移場u(ξ,η)可表示為

(23)

其中，dI=[u0Iv0IβxIβyIwI]T為未知量，是控制點(diǎn)I的位移矢量。RI(ξ,η)為式(21)所定義的形函數(shù)。將式(23)代入式(6)和(7)，得到

(24)

其中，

2.3 電勢場離散化

在近似電勢場時(shí)，可分別將上、下壓電層沿著厚度方向離散為多個(gè)子層單元。假設(shè)電勢在每個(gè)子層厚度方向上的變化為線性[43]，則壓電層的近似電勢場可以描述為

(26)

φi=[φi-1φi] (i=1,2,…,nsub)

(27)

式中，nsub為壓電子層的總數(shù)量。

這里，假定每個(gè)壓電子層單元同一高度的電勢相同，則由式(13)可得每個(gè)子層單元的電場為

(28)

2.4 控制方程

將式(10)、(24)、(26)、(28)代入式(18)，可得壓電功能梯度板的運(yùn)動控制方程為

(29)

式中:Muu為質(zhì)量矩陣；Kuu為PFGP的剛度矩陣，Kφφ為壓電材料的自適應(yīng)剛度矩陣；Kuφ與Kφu為機(jī)電耦合剛度矩陣；f為機(jī)械載荷；Q為壓電層表面的電荷面密度等效節(jié)點(diǎn)電量。其值分別為

(30)

(31)

(32)

(33)

N={N1N2N3}T

(34)

(35a)

(35b)

(35c)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

因此，Kuφ可以重寫為

(41)

將式(29)的第二行，代入第一行消去電勢φ，可以得到

(42a)

M=Muu

(42b)

(42c)

最后，靜力學(xué)、自由振動的問題可描述為

Kd=F

(43)

(44)

式中:ωn為第n階固有頻率;K和M分別為整體剛度矩陣、質(zhì)量矩陣。

2.5 壓電功能梯度板變形控制

PFGP的變形控制主要分為開環(huán)控制和閉環(huán)控制。開環(huán)控制時(shí)，上下壓電層都作為驅(qū)動器時(shí)，當(dāng)外部輸入壓電作用于壓電層，電壓將轉(zhuǎn)化為驅(qū)動力。通過調(diào)整輸入電壓的大小改變結(jié)構(gòu)的位移，達(dá)到控制結(jié)構(gòu)變形的目的。而在閉環(huán)控制中，一個(gè)壓電層作為驅(qū)動器，另一個(gè)壓電層作為傳感器。通過反饋控制原理，結(jié)構(gòu)在機(jī)械載荷作用下產(chǎn)生機(jī)械變形，傳感器層感知結(jié)構(gòu)的變形而產(chǎn)生相應(yīng)的輸出電壓。該感應(yīng)電壓通過控制器控制增益放大后，作為驅(qū)動器的輸入電壓，驅(qū)動器由于逆壓電效應(yīng)產(chǎn)生相應(yīng)的反驅(qū)動力抑制結(jié)構(gòu)的變形，從而達(dá)到控制結(jié)構(gòu)變形的目的。

因此，閉環(huán)控制中，式(29)的第二行可以改寫為

[Kφu]ad-[Kφφ]aφa=Qa

(45)

[Kφu]sd-[Kφφ]sφs=Qs

(46)

式中,下標(biāo)a，s分別為驅(qū)動器層和傳感器層。

根據(jù)位移反饋控制規(guī)律，驅(qū)動器的輸入電壓φa表示為

φa=Gdφs

(47)

式中，Gd為位移反饋控制增益系數(shù)。

靜態(tài)變形中，對于傳感器層，外部電荷Qs=0。忽略逆壓電效應(yīng)，則由式(46)可得，結(jié)構(gòu)變形傳感器層所產(chǎn)生的電勢為

(48)

將式(47)、(48)代入式(45)可得

(49)

最后，將上式代入(43)，整理可得

(50)

(51)

3 數(shù)值算例

為方便起見，在本文后續(xù)章節(jié)中，將板的機(jī)械邊界條件簡寫為：簡支(S)，固支(C)，自由(F)。此外，基函數(shù)階次均取為p=q=3。

3.1 收斂性分析

為驗(yàn)證所提方法的收斂性與適用性，本節(jié)以一個(gè)尺寸為400 mm×400 mm(a×b)的壓電功能梯度板為例。板的中間層是由Ti-6Al-4V和Aluminum oxide組成的功能梯度材料，厚度hf=5 mm。由式(1)可知，當(dāng)功能梯度指數(shù)n=0時(shí)，中間層是材料為Ti-6Al-4V的均質(zhì)板。當(dāng)n=∞時(shí)，為Aluminum oxide。兩塊沿z向極化，厚度為hp= 0.1 mm的PZT-G1195N壓電層完全覆蓋在中間層的上、下表面。該板的材料參數(shù)如表1所示。

如圖2所示，本文利用4種不同控制點(diǎn)數(shù)目的IGA計(jì)算網(wǎng)格驗(yàn)證所提方法的收斂性與精確性。表2為對應(yīng)4種計(jì)算網(wǎng)格下，邊界條件為SSSS的壓電功能梯度板的第1、2、4、6、8階固有頻率。由表2可知，本文所提方法計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)[44]的解析解計(jì)算結(jié)果吻合程度較高。此外，在控制節(jié)點(diǎn)大于19×19時(shí)，本文方法對計(jì)算結(jié)果的影響較小，可以判斷，該網(wǎng)格自由度下，本文方法已經(jīng)達(dá)到了收斂狀態(tài)。因此，本文后續(xù)算例均采用的控制節(jié)點(diǎn)數(shù)目為19×19。表3列舉了控制節(jié)點(diǎn)數(shù)目19×19下，邊界條件為CFFF和CCCC的PFGPs的前6階固有頻率。通過與文獻(xiàn)[8]的有限單元法計(jì)算結(jié)果相比，驗(yàn)證了所提方法對于其他機(jī)械邊界條件壓電功能梯度板的適用性。同時(shí)，由表1、2可知，隨著功能梯度指數(shù)n的增大，固有頻率增大。

表1 材料參數(shù)

(a) 9×9

(b) 15×15

(c) 19×19

(d) 21×21

表2 不同網(wǎng)格下，四邊簡支(SSSS)PFGP的1、2、4、6、8階固有頻率

表2(續(xù)) Hz

表3 懸臂(CFFF)、四邊固支(CCCC)的PFGPs的前6階固有頻率

3.2 自由振動問題分析

本節(jié)，以一個(gè)中間層由Al和Al2O3組成，上下壓電層的材料為PZT-4的PFGP為例，研究電學(xué)邊界條件(短路和開路)對其固有頻率的影響(PZT-4的材料參數(shù)見文獻(xiàn)[44])。值得注意的是，在本節(jié)中，當(dāng)功能梯度指數(shù)n=0時(shí)，中間層是材料為Al2O3的均質(zhì)板。當(dāng)n=∞時(shí)，為Al。

表4列出了功能梯度層的寬厚比(hf/a)、壓電層與功能梯度層厚度比(hp/hf)、功能梯度指數(shù)n以及電學(xué)邊界條件對四邊簡支(SSSS)的PFGP的1、2階固有頻率的影響。表5列舉了寬厚比為0.02(hf/a=0.02)、壓電層與功能梯度層厚度比為0.1(hp/hf=0.1)、機(jī)械邊界條件為SSSC和SCSC的PFGP的前6階固有頻率。

由表4、5可知：開路狀態(tài)下板的固有頻率大于短路狀態(tài)；隨著功能梯度指數(shù)n增加，板的金屬材料成分增加，剛度減小，固有頻率也減小；另外，當(dāng)功能梯度層厚度與板長之比(hf/a)由0.05增加到0.1時(shí)，板的固有頻率也增加近一倍。圖3則為開路狀態(tài)下板的前6階固有振型。

表4 短路和開路條件下，四邊簡支(SSSS) PFGP的前兩階固有頻率

表5 機(jī)械邊界條件為SSSC和SCSC的PFGP在短路和開路狀態(tài)下前6階固有頻率

(a) 一階振型

(b) 二階振型

(c) 三階振型

(d) 四階振型

(e) 五階振型

(f) 六階振型

3.3 靜態(tài)彎曲與變形控制

3.3.1 壓電雙晶懸臂梁的彎曲分析

如圖4所示，尺寸為100 mm×5 mm×1 mm的壓電雙晶懸臂梁，其上、下層壓電材料采用極化方向相反的PVDF材料。材料參數(shù)為E1=E2=2.0 GPa，G12=1.0 GPa，v12=0，e31=e32=0.046 C/m2，k11=k22=k33=10.62×10-9F/m。當(dāng)對上下壓電層施加外電場時(shí)，懸臂梁因逆壓電效應(yīng)而產(chǎn)生彎曲變形。

圖4 壓電雙晶梁(mm)

在單位電壓(1V)作用下，懸臂梁上不同位置的撓度值如表6所示，通過對比可知，本文方法與文獻(xiàn)[45-46]的數(shù)值方法以及文獻(xiàn)[47]的解析解結(jié)果基本吻合。

表6 單位電壓下的壓電雙晶梁的撓度

如圖5所示，隨著輸入電壓的增大，壓電雙晶梁的中心線撓度也隨之增大。不同電壓作用下梁末端的撓度值如表7所示，對比可知，本文與文獻(xiàn)[45,47]的計(jì)算結(jié)果基本一致。

圖5 不同電壓作用下壓電雙晶梁中心線撓度

表7 不同電壓下的壓電雙晶梁末端撓度

3.3.2 壓電功能梯度方板的彎曲分析

本節(jié)對一個(gè)邊界條件為CFFF的PFGP進(jìn)行分析。板的材料和尺寸均與3.1節(jié)算例相同。

圖6給出了板面受均布載荷q0=100 N/m2作用下，功能梯度指數(shù)n對板中心線撓度的影響。可以看出，隨著n的增大，懸臂板中心線的撓度值逐漸變小，該結(jié)果與文獻(xiàn)[8,48]的結(jié)果相吻合。圖7為PFGP的上、下壓電層僅受10 V的反向電壓時(shí)的撓度值變化，此時(shí)，壓電層均作為驅(qū)動器，即板的開環(huán)變形控制，可以看出本文方法與文獻(xiàn)[36,48]趨勢吻合。

圖6 均布載荷作用下n對懸臂板中心線撓度的影響

圖7 懸臂PFGP在10 V電壓作用下的中心線撓度

此外，為研究機(jī)電耦合情況下的撓度變化，對懸臂板同時(shí)施加q0=100 N/m2的均布機(jī)械載荷和不同的輸入電壓時(shí)板的中心線撓度變化如圖8所示，可以看出，中心線撓度變化的趨勢與文獻(xiàn)[36,48]相吻合。表8統(tǒng)計(jì)了對應(yīng)的末端位移值，可以發(fā)現(xiàn)，隨著電壓的增大，板中心線末端撓度值逐漸減小。

(a) n=0

(b) n=0.5

(c) n=5

(d) n=∞

為探討機(jī)械邊界條件對PFGP形狀變化的影響，圖9分析了功能梯度指數(shù)n=2時(shí)，不同輸入電壓以及四種不同邊界條件下指定位置的撓度變化情況。可以看到，隨著電壓的增大，撓度呈線性變化。值得注意的是，對于懸臂PFGP，板末端向上翹起(末端撓度值為正)；但對于邊界條件為SFSF、SSSS、SCSC的PFGP，由于機(jī)械邊界條件的改變，板中心向下凹陷(中心點(diǎn)撓度值為負(fù))。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的原因如圖1所示，當(dāng)上壓電層的輸入電壓與極化方向相反時(shí)，逆壓電效應(yīng)使得其沿長度方向收縮。下壓電層厚度方向的輸入電壓與極化方向相同時(shí)，其沿長度方向伸長。機(jī)械邊界條件的改變使得板的彎曲方向發(fā)生了變化。

表8 均布載荷與不同電壓作用下懸臂PFGP中心線末端撓度

圖9 不同電壓作用下邊界條件對PFGP撓度的影響(n=2)

3.3.3 懸臂壓電功能梯度板的閉環(huán)變形控制分析

最后，分析了邊界條件為CFFF和SSSS的PFGP的閉環(huán)變形控制問題。算例中，板的尺寸和材料與3.1節(jié)相同。上壓電層作為驅(qū)動器，下壓電層作為傳感器。如圖10、11所示，在機(jī)械均布載荷q0=100 N/m2作用下，隨著增益Gd的增大，板中心線撓度逐漸減小。這是因?yàn)閭鞲衅鲗右驒C(jī)械變形(正壓電效應(yīng))產(chǎn)生的輸出電壓經(jīng)位移反饋控制增益Gd放大后作為驅(qū)動器層的輸入電壓。該輸入電壓產(chǎn)生相應(yīng)的反驅(qū)動力抑制結(jié)構(gòu)的變形。

4 結(jié) 論

本文為壓電功能梯度板的靜力學(xué)分析提供了一個(gè)新的高精度數(shù)值分析方法。該方法根據(jù)哈密頓變分原理以及相關(guān)壓電方程，構(gòu)建了三階剪切變形理論下的功能梯度板等幾何有限元形式。為全面探討該數(shù)值方法的有效性，本文分析了自由振動的收斂性問題，并研究了功能梯度層的相關(guān)梯度指數(shù)n、寬厚比以及壓電層與功能梯度層的厚度比對壓電功能梯度板固有頻率的影響。此外，文中對機(jī)械載荷、電載荷、機(jī)-電載荷下壓電功能梯度板的靜態(tài)彎曲響應(yīng)也進(jìn)行了全面討論。最后，本文研究了壓電功能梯度板的閉環(huán)變形控制問題。

圖10 反饋增益Gd對懸臂PFGP中心線撓度的影響

圖11 反饋增益Gd對四邊簡支PFGP中心線撓度的影響

靜力特性是壓電功能梯度材料結(jié)構(gòu)最基本的力學(xué)特性，但該材料的動力學(xué)響應(yīng)亦是工程實(shí)際中經(jīng)常面對的問題，因此，本文方法下的相關(guān)動力學(xué)研究是一個(gè)值得關(guān)注的課題。此外，在熱環(huán)境下壓電功能梯度材料的力學(xué)分析中，本文方法的適用性問題亦是一個(gè)值得關(guān)注的領(lǐng)域。