混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)基于Clough-Penzien譜的地震動響應(yīng)的簡明解析解

林桂武, 葛新廣, 李 暾

(廣西科技大學(xué) 土木建筑學(xué)院， 廣西 柳州 545006)

基礎(chǔ)隔震是一種業(yè)已成功應(yīng)用于實際工程的有效被動控制措施[1-5]，其是利用隔震層的抗側(cè)剛度相對其上部結(jié)構(gòu)剛度小的特點，起到減弱地震能量向結(jié)構(gòu)物傳遞的作用，從而降低了結(jié)構(gòu)層的地震動產(chǎn)生的變形和內(nèi)力。然而，由于隔震層的抗側(cè)剛度小，地震時上部結(jié)構(gòu)部分的剛性側(cè)移較大，會產(chǎn)生不良后果：可能會與鄰近建筑發(fā)生碰撞，或?qū)е抡w傾覆，或?qū)е赂粽饘悠茐腫6-8]。因此，對隔震層側(cè)移進行限位十分必要。韓淼等[8]利用SAP2000軟件研究了彈簧軟限位在近斷層地震下的層間隔震結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析。程選生等[9]利用振動臺試驗驗證了滑移隔震-限位滑移裝置對儲液結(jié)構(gòu)及液體晃動波高具有良好的減振效果。劉臣等[10]研發(fā)了橡膠與鉛芯組合而成的限位裝置，能有效降低隔震結(jié)構(gòu)側(cè)移動。以上分析均以試驗或軟件分析為主，僅考慮的是確定性荷載。黏彈性阻尼器利用一類既能儲能也能耗能的高分子材料制作的阻尼器，具有安拆方便、耗能效果好等優(yōu)點，已被廣泛應(yīng)用抗風(fēng)減振中[11-13]。Pant等[14]利用全模型試驗研究了黏彈性阻尼器對于高層建筑的抗風(fēng)減振效果較好。李創(chuàng)第等[15]利用傳遞矩陣法獲得了一般線性黏彈性阻尼器地震動響應(yīng)非正交解析解。吳福健等[16]研究了位移放大型黏彈性阻尼器對于結(jié)構(gòu)地震動的影響，研究表明該類型阻尼器能有效降低結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)。由于黏彈性阻尼器是位移-速度型阻尼器，在位移和速度較大時才能發(fā)揮其減振作用，為此，隔震層設(shè)置抗側(cè)黏彈性阻尼器，可為隔震層提供適當?shù)膫?cè)向變形，同時充分利用黏彈性阻尼器在側(cè)移變化率(速度)大則耗能大的特點,從而產(chǎn)生復(fù)合的減振效果，稱之為混合基礎(chǔ)隔振結(jié)構(gòu)。Providakis[17]研究了側(cè)向黏性阻尼器同時抑制剛性側(cè)移及層間位移。

1947年Housner提出隨機白噪聲地震動激勵，經(jīng)過70年多年的發(fā)展，工程界已就地震動看做結(jié)構(gòu)的隨機外激勵達成共識，提出了多種隨機激勵模型，如Kanai-Tajimi譜[18-19]、Clough-Penzien譜[20]、歐進萍譜[21]、李春祥譜[22]等，其中Kanai-Tajimi譜首次利用濾波方程將復(fù)雜的地震動表述為基于場地振動特征值的白噪聲激勵，而其他隨機地震動模型均是對Kanai-Tajimi的改進，使對地震動的表述更為準確。Clough-Penzien譜利用濾波方程組改善了Kanai-Tajimi過分夸大低頻的地震動能量的作用，得到了廣泛應(yīng)用。李創(chuàng)第等[23]利用復(fù)模態(tài)方法研究了多層基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)基于Clough-Penzien譜的地震動響應(yīng)分析，但所給結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差表達式比較復(fù)雜，且未給出譜矩的分析，無法應(yīng)用于動力可靠度分析。李春祥等[24]利用傳遞函數(shù)法分別研究了MTMD結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi和Clough-Penzien譜的地震動響應(yīng)分析，所得響應(yīng)表達式僅為功率譜，且表達式復(fù)雜，而在分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差時只能數(shù)值解，計算效率差。

針對目前分析基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)+側(cè)向黏彈性阻尼器組成的耗能體系的隨機地震動響應(yīng)表達式復(fù)雜的問題進行了研究。首先建立混合耗能結(jié)構(gòu)的地震動方程，并利用C-P譜的濾波方程，將混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)基復(fù)雜的地震動轉(zhuǎn)化為基于白噪聲激勵下的地震動；其次運用復(fù)模態(tài)方法解耦運動體系，并獲得混合隔震結(jié)構(gòu)隨機地震動響應(yīng)(結(jié)構(gòu)層側(cè)移、層間變形及其變化率)統(tǒng)一的杜哈梅積分表達式；利用白噪聲激勵協(xié)方差的性質(zhì)，獲得耗能體系響應(yīng)協(xié)方差的簡明表達式；然后基于平穩(wěn)激勵的Wiener-Khinchin定律，獲得響應(yīng)功率譜的簡明解析解并基于譜矩的定義，獲得混合耗能結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)的0-2階譜矩的簡明解析解；最后研究了基于首超破壞準則的混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)的動力可靠度。

1 混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)的地震動方程

在基礎(chǔ)隔震層設(shè)置抗側(cè)作用的黏彈性阻尼器組成混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 計算簡圖

在地震動作用下運動方程

(1)

(2)

式中：λ，cV為黏彈性阻尼器的松弛時間和阻尼系數(shù)。M、C、K的具體表達式如下

地面地震動采用Clough-Penzien譜隨機激勵模型，其濾波方程組表示

(3a)

(3b)

(4)

式中，δ(τ)為Dirac函數(shù)。

傳統(tǒng)方法主要是采用與式(3)等價的功率譜密度函數(shù)[25]

(5)

由式(5)可知，該表達式復(fù)雜，且在分析結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)的譜矩和方差時需對功率譜進行積分，只能數(shù)值積分，故存在計算效率和精度的問題。為此本文提出利用C-P譜的濾波方程與混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)的地震動方程聯(lián)合求解的方法，獲得結(jié)構(gòu)系列地震動響應(yīng)簡明解析解。

聯(lián)立式(1)～(3)，用矩陣形式表示為

(6)

式中：

(7)

式中：o為元素等于0的1×(n+1)向量；o1為元素等于0的1×(n+5)向量；o2為元素等于0的(n+1)階方陣；E為(n+1)階單位對角陣。

由式(6)可知，基于C-P譜激勵的混合隔震結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)化為白噪聲激勵下的響應(yīng)分析，可利用白噪聲激勵的簡明特點獲得地震動響應(yīng)的簡明解析解。為獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的簡明解，必須采用復(fù)模態(tài)方法對式(6)進行解耦。

2 混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)的解析解

2.1 復(fù)模態(tài)解耦

由復(fù)模態(tài)法理論[26]可知，式(6)存在左、右特性向量矩陣U，V和特征值矩陣P，滿足關(guān)系式

(8)

式中，特征值矩陣P為對角陣，其元素的實部為負實數(shù)。

引入復(fù)模態(tài)變量

y=UZ

(9)

式中：Z為廣義變量。

把式(9)代入式(6)并利用復(fù)模態(tài)理論，式(6)可改寫為

(10)

式中：γ為模態(tài)強度系數(shù)向量，其表達式

(11)

由于P為對角陣，則式(11)的分量表達式

(12)

式中：zj、ηj、pj分別為Z、η、P的分量。

式(12)的時域解為

(13)

2.2 地震動系列響應(yīng)的統(tǒng)一表達式

結(jié)構(gòu)層相對于地面的位移和層間地震動變形是工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計的關(guān)鍵參數(shù)；結(jié)構(gòu)層相對于地面的速度方差和層間地震動位移變化率方差是結(jié)構(gòu)抗震動力可靠度分析的基礎(chǔ)。為此，本文研究了上述地震動系列響應(yīng)的分析。

(14a)

(14b)

式中：μi為右特征向量矩陣U的第i行向量；結(jié)構(gòu)響應(yīng)的模態(tài)強度系數(shù)λj,i

λj,i=uj,iηi

(15)

(16a)

(16b)

式中：

(17)

(18)

至此，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)各層位移，層間變形及其變化率的時域解可統(tǒng)一表示為

(19)

式中：Xl(t)表示設(shè)計變量l；κl,i表示設(shè)計變量對應(yīng)的模態(tài)強度系數(shù)；Xl,i(t)為分量形式

(20)

3 響應(yīng)的方差及功率譜的解析解

由式(20)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)Xl的協(xié)方差為

CXl(τ)=E[Xl(t)Xl(t+τ)]=

(21)

由式(20)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)分量的協(xié)方差為

(22)

把式(4)代入式(22)

(23)

利用Dirac的函數(shù)性質(zhì)，式(23)簡化為

E[Xl,k(t)Xl,i(t+τ)]=

(24)

對式(24)積分

(25)

由式(21)及(25)，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)基于C-P譜的地震動響應(yīng)為

(26)

式中：

(27)

由式(26)可知，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)基于C-P隨機激勵的地震動響應(yīng)的協(xié)方差可用耗能結(jié)構(gòu)的振動復(fù)特征值指數(shù)的線性組合表示，表達式簡潔明了，且為各模態(tài)的CQC組合。由隨機振動理論可知，當τ=0時，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)的協(xié)方差即為其響應(yīng)的方差

(28)

根據(jù)式(14)～(16)、(28)可獲得混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)及其變化率的方差。

由隨機振動理論，結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)的單邊功率譜與協(xié)方差存在Wiener-Khinchin關(guān)系

(29)

式中：SXl(ω)為結(jié)構(gòu)響應(yīng)Xl的功率譜。

把式(26)代入式(29)并積分

(30)

從式(30)可知，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)的功率譜表示成系統(tǒng)振動復(fù)特征值pi的頻域變量ω平方和的倒數(shù)的線性組合，為后文獲得簡明的地震動響應(yīng)譜矩及方差的解析解奠定了基礎(chǔ)。

4 地震動響應(yīng)譜矩的解析表達式

(31)

對式(31)進行積分運算

(32)

由隨機振動理論，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0階譜矩等于其方差，比較式(28)及(32)，可驗證本文方法的正確性。同時，由隨機振動理論可知，動力平穩(wěn)響應(yīng)的2階譜矩等于其平穩(wěn)響應(yīng)變化率的0階譜矩。因此，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)的2階譜矩可由其變化率的0階譜矩表示

(33)

混合隔震耗能結(jié)構(gòu)動力響應(yīng)一階譜矩為

(34)

對式(34)積分

(35)

由文獻[26]可知，2階譜矩存在，則1階譜矩必定存在，故存在如下關(guān)系

(36)

而實際上振動的頻域值必定是有限的，故：

(37)

(38)

根據(jù)式 (32)、(33)及(38)，混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)的0-2階譜矩均有簡明的解析解。

5 耗能結(jié)構(gòu)的體系動力可靠度

結(jié)構(gòu)動力可靠度的分析方法主要有穿越方法、Monte Carlo模擬方法和擴散方法[27-29]。Monte Carlo模擬方法是公認的計算精度高但存在計算耗時極大的問題；擴散方法目前僅能適用于低緯問題；穿越方法則是研究和應(yīng)用最多的一類方法。Vanmarcke基于Markov分布假設(shè)提出平穩(wěn)激勵的動力可靠度災(zāi)變函數(shù)理論公式

(39)

式中：ζX為參數(shù)X的安全界限值；qX為譜參數(shù)。其計算為

(40)

則構(gòu)件的動力可靠度為

PΧ,s=exp[-Th(ζX)]

(41)

式中，T為一次動荷載的激勵時間。

對于剪切型多層結(jié)構(gòu)體系的動力可靠度，可根據(jù)歐進萍提出了“最弱失效模型”的串聯(lián)失效模型，則結(jié)構(gòu)體系的動力失效概率Pf為[30]

(42)

6 算 例

4層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，底部設(shè)置隔震層和黏彈性阻尼器。結(jié)構(gòu)層力學(xué)參數(shù)：質(zhì)量均為4×105kg；剛度均為1.0×108N/m;層高均為3.6 m；阻尼比為0.05。隔震層力學(xué)參數(shù)：質(zhì)量為5×105kg，抗側(cè)剛度為2.5×106N/m，阻尼比0.1。抗側(cè)黏彈性阻尼器力學(xué)參數(shù)：λ=0.05 s；CV=5.5×105Ns/m。地震烈度為8度，三類場，設(shè)計分組為2組，依據(jù)文獻[6],地震動參數(shù)取值如下：場地土特征周期Tg=0.4 s,ωg=15.71 rad/s，ξg=0.8 rad/s，ωf=0.15ωg，ξf=ξg，功率譜系數(shù)S0=111.34×10-4m-2/s3。

6.1 本文方法驗證

由式(3)可知，

(43)

(44a)

(44b)

(44c)

(44d)

式中，強度系數(shù)λj,i=uj,iηi，見表1。

表模態(tài)強度系數(shù)表

(45)

式中：

(46)

(47)

圖對比圖

6.1.2 譜矩的對比分析

為驗證本文計算結(jié)構(gòu)響應(yīng)0-2階譜矩的正確性，利用式(32)、(33)及(38)對結(jié)構(gòu)各層位移的譜參數(shù)進行計算，并與虛擬激勵法進行對比，見圖3～圖5。虛擬激勵法在計算譜矩時為數(shù)值積分，為此給定頻域變量ω的積分區(qū)間為[0,1 000]，積分步長 Δω=0.1 rad/s。

圖3 結(jié)構(gòu)各層位移0階譜矩對比圖

從圖3～圖5可知，本文方法與虛擬激勵法在計算0-2階譜矩時非常吻合，說明本文方法是正確的。此外，本文方法的CPU耗時為0.017 s；虛擬激勵法的耗時為4.45 s，本文方法耗時僅為虛擬激勵法的1/260，說明了在相同的條件下本文方法可有效提高計算效率。

圖4 結(jié)構(gòu)各層位移1階譜矩對比圖

圖5 結(jié)構(gòu)各層位移2階譜矩對比圖

6.2 混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)減震效果分析

為驗證混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)中黏彈性阻尼器的減振效果，對比分析有無黏彈性阻尼器的結(jié)構(gòu)層間位移的0-2階譜矩，具體見圖6～圖11。從圖6～圖8可知，在基礎(chǔ)隔震層增加黏彈性阻尼器相對于基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)，可有效降低各層相對于地面的側(cè)移的0-2階譜矩，即可有效限制各層相對于地面的位移、速度(0階譜矩對應(yīng)的是結(jié)構(gòu)相對于地面的位移方差；2階譜矩對應(yīng)的是結(jié)構(gòu)相對于地面的位移變化率方差)。與基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)相比，從圖9可知，混合耗能結(jié)構(gòu)的各層層間位移會有所降低(0階譜矩對應(yīng)的是結(jié)構(gòu)的層間位移方差)；從圖10可知，混合耗能結(jié)構(gòu)的1階譜矩會少量增加；從圖11可知，混合耗能結(jié)構(gòu)的位移變化率響應(yīng)會有一定的增加(2階譜矩對應(yīng)的是結(jié)構(gòu)的層間位移變化率方差)。總之，混合耗能結(jié)構(gòu)能有效抑制結(jié)構(gòu)層位移，同時少量降低結(jié)構(gòu)的層間位移。

圖6 結(jié)構(gòu)各層位移0階譜矩對比圖

圖7 結(jié)構(gòu)各層位移1階譜矩對比圖

圖8 結(jié)構(gòu)各層位移2階譜矩對比圖

圖9 結(jié)構(gòu)各層層間位移0階譜矩對比圖

圖10 結(jié)構(gòu)各層層間位移1階譜矩對比圖

按照現(xiàn)行抗震規(guī)范對多遇地震下的層間彈性角取值為1/550，一次動荷載持時為15 s，混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的體系失效概率為為4.6×10-6；基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的體系失效概率為7.34×10-6，可靠度明顯提高。

圖11 結(jié)構(gòu)各層層間位移2階譜矩對比圖

7 結(jié) 論

本文就基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)+抗側(cè)黏彈性阻尼器組成混合耗能結(jié)構(gòu)基于C-P譜的隨機激勵下的地震位移，速度及其層間位移和層間位移變化率等工程抗震設(shè)計參數(shù)的方差及其0-2譜矩的解析解進行了系統(tǒng)研究，提出了一種新的簡明解法，結(jié)論如下：

(1) 運用C-P譜的等價濾波方程重構(gòu)混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的地震動方程，可將基于表達式復(fù)雜的C-P譜的地震動轉(zhuǎn)化為易獲得簡明解的白噪聲地震動，運用復(fù)模態(tài)方法及隨機振動理論將耗能體系系列動力響應(yīng)的功率譜表述為圓頻率與耗能體系特征值平方和導(dǎo)數(shù)的線性組合，進而獲得結(jié)構(gòu)地震動響應(yīng)方差和譜矩的簡明解析解。因此，本文方法適用于線性結(jié)構(gòu)或線性耗能結(jié)構(gòu)基于具有濾波方程的平穩(wěn)激勵的隨機地震動響應(yīng)分析。

(2) 在基礎(chǔ)隔震層設(shè)置其抗側(cè)作用的黏彈性阻尼器能顯著改善基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)側(cè)向位移過大的問題，但層間位移可能會增大或者變小，需要合理確定黏彈性阻尼器的阻尼系數(shù)和松弛時間。

(3) 本文獲得了混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的層間位移0-2階譜矩的簡明封閉解，有助于基于Markov分布假設(shè)的動力可靠度分析。