混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)基于Clough-Penzien譜的地震動(dòng)響應(yīng)的簡(jiǎn)明解析解

林桂武, 葛新廣, 李 暾

(廣西科技大學(xué) 土木建筑學(xué)院， 廣西 柳州 545006)

基礎(chǔ)隔震是一種業(yè)已成功應(yīng)用于實(shí)際工程的有效被動(dòng)控制措施[1-5]，其是利用隔震層的抗側(cè)剛度相對(duì)其上部結(jié)構(gòu)剛度小的特點(diǎn)，起到減弱地震能量向結(jié)構(gòu)物傳遞的作用，從而降低了結(jié)構(gòu)層的地震動(dòng)產(chǎn)生的變形和內(nèi)力。然而，由于隔震層的抗側(cè)剛度小，地震時(shí)上部結(jié)構(gòu)部分的剛性側(cè)移較大，會(huì)產(chǎn)生不良后果：可能會(huì)與鄰近建筑發(fā)生碰撞，或?qū)е抡w傾覆，或?qū)е赂粽饘悠茐腫6-8]。因此，對(duì)隔震層側(cè)移進(jìn)行限位十分必要。韓淼等[8]利用SAP2000軟件研究了彈簧軟限位在近斷層地震下的層間隔震結(jié)構(gòu)的響應(yīng)分析。程選生等[9]利用振動(dòng)臺(tái)試驗(yàn)驗(yàn)證了滑移隔震-限位滑移裝置對(duì)儲(chǔ)液結(jié)構(gòu)及液體晃動(dòng)波高具有良好的減振效果。劉臣等[10]研發(fā)了橡膠與鉛芯組合而成的限位裝置，能有效降低隔震結(jié)構(gòu)側(cè)移動(dòng)。以上分析均以試驗(yàn)或軟件分析為主，僅考慮的是確定性荷載。黏彈性阻尼器利用一類既能儲(chǔ)能也能耗能的高分子材料制作的阻尼器，具有安拆方便、耗能效果好等優(yōu)點(diǎn)，已被廣泛應(yīng)用抗風(fēng)減振中[11-13]。Pant等[14]利用全模型試驗(yàn)研究了黏彈性阻尼器對(duì)于高層建筑的抗風(fēng)減振效果較好。李創(chuàng)第等[15]利用傳遞矩陣法獲得了一般線性黏彈性阻尼器地震動(dòng)響應(yīng)非正交解析解。吳福健等[16]研究了位移放大型黏彈性阻尼器對(duì)于結(jié)構(gòu)地震動(dòng)的影響，研究表明該類型阻尼器能有效降低結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)。由于黏彈性阻尼器是位移-速度型阻尼器，在位移和速度較大時(shí)才能發(fā)揮其減振作用，為此，隔震層設(shè)置抗側(cè)黏彈性阻尼器，可為隔震層提供適當(dāng)?shù)膫?cè)向變形，同時(shí)充分利用黏彈性阻尼器在側(cè)移變化率(速度)大則耗能大的特點(diǎn),從而產(chǎn)生復(fù)合的減振效果，稱之為混合基礎(chǔ)隔振結(jié)構(gòu)。Providakis[17]研究了側(cè)向黏性阻尼器同時(shí)抑制剛性側(cè)移及層間位移。

1947年Housner提出隨機(jī)白噪聲地震動(dòng)激勵(lì)，經(jīng)過70年多年的發(fā)展，工程界已就地震動(dòng)看做結(jié)構(gòu)的隨機(jī)外激勵(lì)達(dá)成共識(shí)，提出了多種隨機(jī)激勵(lì)模型，如Kanai-Tajimi譜[18-19]、Clough-Penzien譜[20]、歐進(jìn)萍譜[21]、李春祥譜[22]等，其中Kanai-Tajimi譜首次利用濾波方程將復(fù)雜的地震動(dòng)表述為基于場(chǎng)地振動(dòng)特征值的白噪聲激勵(lì)，而其他隨機(jī)地震動(dòng)模型均是對(duì)Kanai-Tajimi的改進(jìn)，使對(duì)地震動(dòng)的表述更為準(zhǔn)確。Clough-Penzien譜利用濾波方程組改善了Kanai-Tajimi過分夸大低頻的地震動(dòng)能量的作用，得到了廣泛應(yīng)用。李創(chuàng)第等[23]利用復(fù)模態(tài)方法研究了多層基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)基于Clough-Penzien譜的地震動(dòng)響應(yīng)分析，但所給結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差表達(dá)式比較復(fù)雜，且未給出譜矩的分析，無法應(yīng)用于動(dòng)力可靠度分析。李春祥等[24]利用傳遞函數(shù)法分別研究了MTMD結(jié)構(gòu)基于Kanai-Tajimi和Clough-Penzien譜的地震動(dòng)響應(yīng)分析，所得響應(yīng)表達(dá)式僅為功率譜，且表達(dá)式復(fù)雜，而在分析結(jié)構(gòu)響應(yīng)方差時(shí)只能數(shù)值解，計(jì)算效率差。

針對(duì)目前分析基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)+側(cè)向黏彈性阻尼器組成的耗能體系的隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)表達(dá)式復(fù)雜的問題進(jìn)行了研究。首先建立混合耗能結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)方程，并利用C-P譜的濾波方程，將混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)基復(fù)雜的地震動(dòng)轉(zhuǎn)化為基于白噪聲激勵(lì)下的地震動(dòng)；其次運(yùn)用復(fù)模態(tài)方法解耦運(yùn)動(dòng)體系，并獲得混合隔震結(jié)構(gòu)隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)(結(jié)構(gòu)層側(cè)移、層間變形及其變化率)統(tǒng)一的杜哈梅積分表達(dá)式；利用白噪聲激勵(lì)協(xié)方差的性質(zhì)，獲得耗能體系響應(yīng)協(xié)方差的簡(jiǎn)明表達(dá)式；然后基于平穩(wěn)激勵(lì)的Wiener-Khinchin定律，獲得響應(yīng)功率譜的簡(jiǎn)明解析解并基于譜矩的定義，獲得混合耗能結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的0-2階譜矩的簡(jiǎn)明解析解；最后研究了基于首超破壞準(zhǔn)則的混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠度。

1 混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)方程

在基礎(chǔ)隔震層設(shè)置抗側(cè)作用的黏彈性阻尼器組成混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)，如圖1所示。

圖1 計(jì)算簡(jiǎn)圖

在地震動(dòng)作用下運(yùn)動(dòng)方程

(1)

(2)

式中：λ，cV為黏彈性阻尼器的松弛時(shí)間和阻尼系數(shù)。M、C、K的具體表達(dá)式如下

地面地震動(dòng)采用Clough-Penzien譜隨機(jī)激勵(lì)模型，其濾波方程組表示

(3a)

(3b)

(4)

式中，δ(τ)為Dirac函數(shù)。

傳統(tǒng)方法主要是采用與式(3)等價(jià)的功率譜密度函數(shù)[25]

(5)

由式(5)可知，該表達(dá)式復(fù)雜，且在分析結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的譜矩和方差時(shí)需對(duì)功率譜進(jìn)行積分，只能數(shù)值積分，故存在計(jì)算效率和精度的問題。為此本文提出利用C-P譜的濾波方程與混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)方程聯(lián)合求解的方法，獲得結(jié)構(gòu)系列地震動(dòng)響應(yīng)簡(jiǎn)明解析解。

聯(lián)立式(1)～(3)，用矩陣形式表示為

(6)

式中：

(7)

式中：o為元素等于0的1×(n+1)向量；o1為元素等于0的1×(n+5)向量；o2為元素等于0的(n+1)階方陣；E為(n+1)階單位對(duì)角陣。

由式(6)可知，基于C-P譜激勵(lì)的混合隔震結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)化為白噪聲激勵(lì)下的響應(yīng)分析，可利用白噪聲激勵(lì)的簡(jiǎn)明特點(diǎn)獲得地震動(dòng)響應(yīng)的簡(jiǎn)明解析解。為獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的簡(jiǎn)明解，必須采用復(fù)模態(tài)方法對(duì)式(6)進(jìn)行解耦。

2 混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的解析解

2.1 復(fù)模態(tài)解耦

由復(fù)模態(tài)法理論[26]可知，式(6)存在左、右特性向量矩陣U，V和特征值矩陣P，滿足關(guān)系式

(8)

式中，特征值矩陣P為對(duì)角陣，其元素的實(shí)部為負(fù)實(shí)數(shù)。

引入復(fù)模態(tài)變量

y=UZ

(9)

式中：Z為廣義變量。

把式(9)代入式(6)并利用復(fù)模態(tài)理論，式(6)可改寫為

(10)

式中：γ為模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)向量，其表達(dá)式

(11)

由于P為對(duì)角陣，則式(11)的分量表達(dá)式

(12)

式中：zj、ηj、pj分別為Z、η、P的分量。

式(12)的時(shí)域解為

(13)

2.2 地震動(dòng)系列響應(yīng)的統(tǒng)一表達(dá)式

結(jié)構(gòu)層相對(duì)于地面的位移和層間地震動(dòng)變形是工程結(jié)構(gòu)抗震設(shè)計(jì)的關(guān)鍵參數(shù)；結(jié)構(gòu)層相對(duì)于地面的速度方差和層間地震動(dòng)位移變化率方差是結(jié)構(gòu)抗震動(dòng)力可靠度分析的基礎(chǔ)。為此，本文研究了上述地震動(dòng)系列響應(yīng)的分析。

(14a)

(14b)

式中：μi為右特征向量矩陣U的第i行向量；結(jié)構(gòu)響應(yīng)的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)λj,i

λj,i=uj,iηi

(15)

(16a)

(16b)

式中：

(17)

(18)

至此，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)各層位移，層間變形及其變化率的時(shí)域解可統(tǒng)一表示為

(19)

式中：Xl(t)表示設(shè)計(jì)變量l；κl,i表示設(shè)計(jì)變量對(duì)應(yīng)的模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)；Xl,i(t)為分量形式

(20)

3 響應(yīng)的方差及功率譜的解析解

由式(20)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)Xl的協(xié)方差為

CXl(τ)=E[Xl(t)Xl(t+τ)]=

(21)

由式(20)，結(jié)構(gòu)響應(yīng)分量的協(xié)方差為

(22)

把式(4)代入式(22)

(23)

利用Dirac的函數(shù)性質(zhì)，式(23)簡(jiǎn)化為

E[Xl,k(t)Xl,i(t+τ)]=

(24)

對(duì)式(24)積分

(25)

由式(21)及(25)，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)基于C-P譜的地震動(dòng)響應(yīng)為

(26)

式中：

(27)

由式(26)可知，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)基于C-P隨機(jī)激勵(lì)的地震動(dòng)響應(yīng)的協(xié)方差可用耗能結(jié)構(gòu)的振動(dòng)復(fù)特征值指數(shù)的線性組合表示，表達(dá)式簡(jiǎn)潔明了，且為各模態(tài)的CQC組合。由隨機(jī)振動(dòng)理論可知，當(dāng)τ=0時(shí)，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)的協(xié)方差即為其響應(yīng)的方差

(28)

根據(jù)式(14)～(16)、(28)可獲得混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)及其變化率的方差。

由隨機(jī)振動(dòng)理論，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)的單邊功率譜與協(xié)方差存在Wiener-Khinchin關(guān)系

(29)

式中：SXl(ω)為結(jié)構(gòu)響應(yīng)Xl的功率譜。

把式(26)代入式(29)并積分

(30)

從式(30)可知，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)的功率譜表示成系統(tǒng)振動(dòng)復(fù)特征值pi的頻域變量ω平方和的倒數(shù)的線性組合，為后文獲得簡(jiǎn)明的地震動(dòng)響應(yīng)譜矩及方差的解析解奠定了基礎(chǔ)。

4 地震動(dòng)響應(yīng)譜矩的解析表達(dá)式

(31)

對(duì)式(31)進(jìn)行積分運(yùn)算

(32)

由隨機(jī)振動(dòng)理論，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)的0階譜矩等于其方差，比較式(28)及(32)，可驗(yàn)證本文方法的正確性。同時(shí)，由隨機(jī)振動(dòng)理論可知，動(dòng)力平穩(wěn)響應(yīng)的2階譜矩等于其平穩(wěn)響應(yīng)變化率的0階譜矩。因此，混合基礎(chǔ)隔震耗能結(jié)構(gòu)響應(yīng)的2階譜矩可由其變化率的0階譜矩表示

(33)

混合隔震耗能結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)一階譜矩為

(34)

對(duì)式(34)積分

(35)

由文獻(xiàn)[26]可知，2階譜矩存在，則1階譜矩必定存在，故存在如下關(guān)系

(36)

而實(shí)際上振動(dòng)的頻域值必定是有限的，故：

(37)

(38)

根據(jù)式 (32)、(33)及(38)，混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)的0-2階譜矩均有簡(jiǎn)明的解析解。

5 耗能結(jié)構(gòu)的體系動(dòng)力可靠度

結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度的分析方法主要有穿越方法、Monte Carlo模擬方法和擴(kuò)散方法[27-29]。Monte Carlo模擬方法是公認(rèn)的計(jì)算精度高但存在計(jì)算耗時(shí)極大的問題；擴(kuò)散方法目前僅能適用于低緯問題；穿越方法則是研究和應(yīng)用最多的一類方法。Vanmarcke基于Markov分布假設(shè)提出平穩(wěn)激勵(lì)的動(dòng)力可靠度災(zāi)變函數(shù)理論公式

(39)

式中：ζX為參數(shù)X的安全界限值；qX為譜參數(shù)。其計(jì)算為

(40)

則構(gòu)件的動(dòng)力可靠度為

PΧ,s=exp[-Th(ζX)]

(41)

式中，T為一次動(dòng)荷載的激勵(lì)時(shí)間。

對(duì)于剪切型多層結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力可靠度，可根據(jù)歐進(jìn)萍提出了“最弱失效模型”的串聯(lián)失效模型，則結(jié)構(gòu)體系的動(dòng)力失效概率Pf為[30]

(42)

6 算 例

4層鋼筋混凝土框架結(jié)構(gòu)，底部設(shè)置隔震層和黏彈性阻尼器。結(jié)構(gòu)層力學(xué)參數(shù)：質(zhì)量均為4×105kg；剛度均為1.0×108N/m;層高均為3.6 m；阻尼比為0.05。隔震層力學(xué)參數(shù)：質(zhì)量為5×105kg，抗側(cè)剛度為2.5×106N/m，阻尼比0.1。抗側(cè)黏彈性阻尼器力學(xué)參數(shù)：λ=0.05 s；CV=5.5×105Ns/m。地震烈度為8度，三類場(chǎng)，設(shè)計(jì)分組為2組，依據(jù)文獻(xiàn)[6],地震動(dòng)參數(shù)取值如下：場(chǎng)地土特征周期Tg=0.4 s,ωg=15.71 rad/s，ξg=0.8 rad/s，ωf=0.15ωg，ξf=ξg，功率譜系數(shù)S0=111.34×10-4m-2/s3。

6.1 本文方法驗(yàn)證

由式(3)可知，

(43)

(44a)

(44b)

(44c)

(44d)

式中，強(qiáng)度系數(shù)λj,i=uj,iηi，見表1。

表模態(tài)強(qiáng)度系數(shù)表

(45)

式中：

(46)

(47)

圖對(duì)比圖

6.1.2 譜矩的對(duì)比分析

為驗(yàn)證本文計(jì)算結(jié)構(gòu)響應(yīng)0-2階譜矩的正確性，利用式(32)、(33)及(38)對(duì)結(jié)構(gòu)各層位移的譜參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，并與虛擬激勵(lì)法進(jìn)行對(duì)比，見圖3～圖5。虛擬激勵(lì)法在計(jì)算譜矩時(shí)為數(shù)值積分，為此給定頻域變量ω的積分區(qū)間為[0,1 000]，積分步長(zhǎng) Δω=0.1 rad/s。

圖3 結(jié)構(gòu)各層位移0階譜矩對(duì)比圖

從圖3～圖5可知，本文方法與虛擬激勵(lì)法在計(jì)算0-2階譜矩時(shí)非常吻合，說明本文方法是正確的。此外，本文方法的CPU耗時(shí)為0.017 s；虛擬激勵(lì)法的耗時(shí)為4.45 s，本文方法耗時(shí)僅為虛擬激勵(lì)法的1/260，說明了在相同的條件下本文方法可有效提高計(jì)算效率。

圖4 結(jié)構(gòu)各層位移1階譜矩對(duì)比圖

圖5 結(jié)構(gòu)各層位移2階譜矩對(duì)比圖

6.2 混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)減震效果分析

為驗(yàn)證混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)中黏彈性阻尼器的減振效果，對(duì)比分析有無黏彈性阻尼器的結(jié)構(gòu)層間位移的0-2階譜矩，具體見圖6～圖11。從圖6～圖8可知，在基礎(chǔ)隔震層增加黏彈性阻尼器相對(duì)于基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)，可有效降低各層相對(duì)于地面的側(cè)移的0-2階譜矩，即可有效限制各層相對(duì)于地面的位移、速度(0階譜矩對(duì)應(yīng)的是結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面的位移方差；2階譜矩對(duì)應(yīng)的是結(jié)構(gòu)相對(duì)于地面的位移變化率方差)。與基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)相比，從圖9可知，混合耗能結(jié)構(gòu)的各層層間位移會(huì)有所降低(0階譜矩對(duì)應(yīng)的是結(jié)構(gòu)的層間位移方差)；從圖10可知，混合耗能結(jié)構(gòu)的1階譜矩會(huì)少量增加；從圖11可知，混合耗能結(jié)構(gòu)的位移變化率響應(yīng)會(huì)有一定的增加(2階譜矩對(duì)應(yīng)的是結(jié)構(gòu)的層間位移變化率方差)。總之，混合耗能結(jié)構(gòu)能有效抑制結(jié)構(gòu)層位移，同時(shí)少量降低結(jié)構(gòu)的層間位移。

圖6 結(jié)構(gòu)各層位移0階譜矩對(duì)比圖

圖7 結(jié)構(gòu)各層位移1階譜矩對(duì)比圖

圖8 結(jié)構(gòu)各層位移2階譜矩對(duì)比圖

圖9 結(jié)構(gòu)各層層間位移0階譜矩對(duì)比圖

圖10 結(jié)構(gòu)各層層間位移1階譜矩對(duì)比圖

按照現(xiàn)行抗震規(guī)范對(duì)多遇地震下的層間彈性角取值為1/550，一次動(dòng)荷載持時(shí)為15 s，混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的體系失效概率為為4.6×10-6；基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的體系失效概率為7.34×10-6，可靠度明顯提高。

圖11 結(jié)構(gòu)各層層間位移2階譜矩對(duì)比圖

7 結(jié) 論

本文就基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)+抗側(cè)黏彈性阻尼器組成混合耗能結(jié)構(gòu)基于C-P譜的隨機(jī)激勵(lì)下的地震位移，速度及其層間位移和層間位移變化率等工程抗震設(shè)計(jì)參數(shù)的方差及其0-2譜矩的解析解進(jìn)行了系統(tǒng)研究，提出了一種新的簡(jiǎn)明解法，結(jié)論如下：

(1) 運(yùn)用C-P譜的等價(jià)濾波方程重構(gòu)混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的地震動(dòng)方程，可將基于表達(dá)式復(fù)雜的C-P譜的地震動(dòng)轉(zhuǎn)化為易獲得簡(jiǎn)明解的白噪聲地震動(dòng)，運(yùn)用復(fù)模態(tài)方法及隨機(jī)振動(dòng)理論將耗能體系系列動(dòng)力響應(yīng)的功率譜表述為圓頻率與耗能體系特征值平方和導(dǎo)數(shù)的線性組合，進(jìn)而獲得結(jié)構(gòu)地震動(dòng)響應(yīng)方差和譜矩的簡(jiǎn)明解析解。因此，本文方法適用于線性結(jié)構(gòu)或線性耗能結(jié)構(gòu)基于具有濾波方程的平穩(wěn)激勵(lì)的隨機(jī)地震動(dòng)響應(yīng)分析。

(2) 在基礎(chǔ)隔震層設(shè)置其抗側(cè)作用的黏彈性阻尼器能顯著改善基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)側(cè)向位移過大的問題，但層間位移可能會(huì)增大或者變小，需要合理確定黏彈性阻尼器的阻尼系數(shù)和松弛時(shí)間。

(3) 本文獲得了混合基礎(chǔ)隔震結(jié)構(gòu)的層間位移0-2階譜矩的簡(jiǎn)明封閉解，有助于基于Markov分布假設(shè)的動(dòng)力可靠度分析。