經典邊界條件黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁橫向自振特性分析

付艷艷， 余云燕

(蘭州交通大學 土木工程學院， 蘭州 730070)

土木工程中的許多工程構件，諸如鐵道軌枕、公路路面，隧道中用以增強地基承載力的梁，在對它們進行動力分析時均可簡化為地基梁模型[1-4]。而結構的自振特性又是反映結構動力特性的重要物理量，在結構安全性及可靠性評價時具有重要的意義，因此地基梁的動力特性在學術界及工程領域也備受關注。

Bernoulli-Euler梁在梁理論的發展歷史上有著非常重要的地位，由于其理論形式簡單易用，并且在很多問題上都能給出可以接受的工程近似解答，故而在以往對地基梁的研究中多有應用。Ge等[5]研究了Winkler地基上含有空腔的Bernoulli-Euler的自振頻率和模態；彭麗等[6]運用復模態方法研究了有限長黏彈性Winkler 地基上的Bernoulli-Euler梁的振動特性，得出簡支邊界條件下的復頻率方程和復模態函數表達式。馬建軍等[7～8]基于Winkler地基模型、Euler梁理論，研究了考慮土體質量及有限深度土體運動影響的有限長地基梁的線性和非線性固有頻率及模態構型。彭麗等[9-10]應用復模態方法研究了Pasternak地基上不同邊界條件下的Bernoulli-Euler梁的自振特性數值解及任一初始激勵條件下外激勵的響應。丁虎等[11]由共振關系給出Pasternak地基上兩端簡支和兩端固支邊界條件下Bernoulli-Euler梁的固有頻率以及模態。此外，由于Pasternak地基模型考慮了地基梁與地基之間剪切作用，能夠更精確的模擬地基土體的力學性質。因此，近年來關于黏彈性Pasternak地基梁自振特性的研究成果也頗多。Wang等[12]研究了Pasternak地基上各種經典邊界條件下的Timoshenko梁的自振頻率近似解，并給出具體算例分析了轉動慣量、剪切模量和地基參數對梁自振頻率的影響。彭麗等[13]應用復模態方法研究了Pasternak 地基上Timoshenko梁的自振特性。Zhang等[14]通過差值矩陣法研究了在保守軸向壓縮力下黏彈性Pasternak地基上錐形截面Timoshenko梁的橫向自振特性。雖然在以上的研究中對黏彈性Pasternak地基與Bernoulli-Euler梁的組合也有所涉及，但卻非常有限，且這些研究對各種經典邊界條件的分析較為分散，尚不夠全面。

回傳射線矩陣法(MRRM)計算精度高、計算速度快、數值穩定性好，在結構的自振特性研究中已有一定的應用[15-19]，但在這些研究中對結構模態的研究僅停留在實部范圍內。故本文基于回傳射線矩陣法(MRRM)，在復數域內對黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁在兩端簡支、兩端自由、兩端固支、簡支-自由、簡支-固支及固支-自由這六種邊界條件下的橫向自振特性進行研究。建立各邊界條件下的回傳射線矩陣，推導得到各邊界條件下的頻率方程；根據邊界條件及正交歸一化條件進一步求解出模態函數解析表達式。通過具體算例驗證自振頻率及衰減系數解析表達式的正確性，分析不同邊界條件下的自振頻率、衰減系數及模態。為黏彈性地基梁的振動特性研究提供理論基礎。

1 振動控制方程及方程的解

黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁的力學模型及坐標系如圖1所示。

對黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁進行節點編號，如圖1所示，分別在節點1及節點2處建立局部坐標系x12及x21，若以l表示梁長，則兩者的關系為x12=l-x21。整體坐標系x的方向與局部坐標系x12一致。其橫向自由振動控制方程為

(1)

式中:ρ、A、I分別表示梁體的材料密度、橫截面面積和橫截面對其形心主軸的慣性矩；E為梁體材料楊氏模量；k1、k2、β分別為土體的彈性系數、剪切系數和阻尼系數；v為梁的撓度；t為時間。

圖1 黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的力學模型及坐標系

對式(1)進行無量綱化，令

(2)

將式(2)代入式(1)，并整理得：

(3)

(4)

(5)

求解式(5)得：

(6)

其中，aj(ω)為入射波波幅，dj(ω)為出射波波幅，λj為波數，其表達式為

j=1，2

(7)

(8)

2 經典邊界條件下的自振頻率及模態函數

分別考慮兩端簡支、兩端自由、兩端固支、簡支-自由、簡支-固支及固支-自由六種邊界條件下的自振頻率和模態函數，其節點耦合條件如表1所示。

表1 經典邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Euler-Bernoulli梁的節點耦合條件

2.1 兩端簡支邊界條件下的自振頻率和模態函數

以兩端簡支為例，基于回傳射線矩陣法推導其頻率方程及模態函數，將式(6)及式(8)代入表1中兩端簡支的節點耦合條件中，可得：

(9)

對式(9)進行整理并合并為

d=S1a

(10)

式中：a和d表示總體入射波波幅向量和總體出射波波幅向量；S1為兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁的總體散射矩陣。其表達式分別為

(11)

由于出射波波幅向量和入射波波幅之間存在如下的相位關系

(12)

(13)

(14)

a=PUd

(15)

將式(15)代入式(10)中并整理得

[I-R]d=0

(16)

式中，R=S1PU稱為兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Euler-Bernoulli梁的回傳射線矩陣。

要使式(16)中的d有非零解，則其系數行列式為零，得到兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁的頻率方程為

(17)

將式(9)轉化到單一局部坐標系x12得

(18)

(19)

則兩端簡支邊界條件下的模態函數表達式為

(20)

根據指數函數與三角函數及雙曲函數的關系

(21)

2.2 其它邊界條件下的自振頻率和模態函數

2.2.1 兩端自由邊界條件下的自振頻率及模態函數

|I-S2PU|=(1-e-2iλ1)(1-e-2iλ2)-

(22)

式中，除了總體散射矩陣S2外，其余各矩陣都與兩端簡支邊界條件下相同，S2的表達式為

(23)

兩端自由邊界條件下的模態函數表達式為

(24)

2.2.2 兩端固支邊界條件下的自振頻率及振動模態

兩端固支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上的Euler-Bernoulli梁的頻率方程為

|I-S3PU|=(1-e-2iλ1)(1-e-2iλ2)-

(25)

式中，S3的表達式為

(26)

兩端固支邊界條件下的模態函數表達式為

(27)

對比式(22)、式(25) 及式(24) 、式(27)可知，兩端固支與兩端自由邊界條件下的黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁的頻率方程完全相同，而其相應的振動模態函數卻不同。

2.2.3 簡支-自由邊界條件下的自振頻率及振動模態

簡支-自由邊界條件下黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁的頻率方程為

|I-S4PU|=(1-e-2iλ1)(1+e-2iλ2)+

(28)

式中，S4的表達式為

(29)

簡支-自由邊界條件下的模態函數表達式為

(30)

2.2.4 簡支-固支邊界條件下的自振頻率及振動模態

簡支-固支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁的頻率方程為

(31)

式中，S5的表達式為

S5=

(32)

簡支-固支邊界條件下的模態函數表達式為

(33)

對比式(28)、式(31) 及式(30) 、式(33)可知，簡支-自由與簡支-固支邊界條件下的黏彈性Pasternak地基上的Bernoulli-Euler梁的頻率方程亦完全相同，而其相應的振動模態函數卻不同。

2.2.5 固支-自由邊界條件下的自振頻率及振動模態

固支-自由邊界條件下黏彈性Pasternak地基上的Euler-Bernoulli梁的頻率方程為

|I-S6PU|=(1-e-2iλ1)(1-e-2iλ2)-

(34)

式中，S6的表達式為

(35)

固支-自由邊界條件下的模態函數表達式為

(36)

對比各邊界條件下的頻率方程，可以看出，兩端簡支邊界條件下的頻率方程為完全因式分解式，而其他邊界條件下的頻率方程不能進行完全因式分解；兩端固定及兩端自由邊界條件下頻率方程完全相同，其表達式較兩端簡支邊界條件下多一項；簡支自由和簡支固定邊界條件下的頻率表達式也完全相同，亦是兩項之和，而固定自由邊界條件下的頻率方程是三項之和，它又較兩端固定(兩端自由)的頻率方程表達式多了一項。

3 模態函數正交性及其歸一化條件

令

(37)

可將式(5)轉化為

(38)

根據式(38)進一步可得

(39)

(40)

式中：下標m和n分別代表m階和n階自振頻率所對應的物理量。

式(40)減去式(39)，可以得到

(41)

當m≠n時，ωm≠ωn，則得到地基梁的模態函數正交性條件為

(42)

當m=n時，ωm=ωn，則可得到歸一化條件為

(43)

4 算例分析

通過具體算例可直觀分析各經典邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的自振頻率及模態函數，將用回傳射線矩陣法求得的解與參考文獻[20]用復模態法所得的解進行對比，考察回傳射線矩陣法求解黏彈性Pasternak 地基上的Bernoulli-Euler梁的橫向自振頻率的正確性。Bernoulli-Euler梁及黏彈性Pasternak地基的各項物理參數如表2和表3所示。

表2 Bernoulli-Euler梁的各項物理參數

表3 黏彈性Pasternak 地基的各項物理參數

4.1 兩端簡支黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的自振特性解析解

4.1.1 自振頻率及衰減系數

式(17)為一完全因式分解式，可以方便求解出其精確解析解。利用三角函數與指數函數的關系，將式(17)化為三角函數的形式為

|I-S1PU|=(1-cos 2λ1+isin 2λ1)(1-cos 2λ2+isin 2λ2)=0

(44)

忽略其奇異解λ1=0，因其對應的是剛體運動，其它的根為

λ1=nπ，n=1，2，3…

(45)

根據式(7)，解得：

(46)

(47)

(48)

(1) 參數對自振頻率及衰減系數的影響

由式(46)～(47)可知，兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁的衰減系數大小與階數n無關，僅與地基阻尼系數及梁體的尺寸有關；自振頻率的大小與階數n、地基參數和梁體參數都有關。自振頻率隨彈簧系數和剪切系數的增大而增大，而剪切系數對自振頻率的影響大于彈簧系數；阻尼系數的增大會使自振頻率減小。

(2) 自振頻率及衰減系數的解析解及結果驗證

根據式(47)～(48)可準確的求解出兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的衰減系數和自振頻率的解析解，其結果分別如式(49)及表4所示，并將其與復模態方法求得的數值解進行對比。

(49)

表4 兩端簡支Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的前10階自振頻率

采用復模態方法求得的兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的衰減系數為0.05，與式(49)的結果十分接近。

由表4可知，采用回傳射線矩陣法求得的黏彈性Pasternak 地基上兩端簡支的Bernoulli-Euler梁的自振頻率解析解與復模態求得數值解基本一致，其偏差均在0.1%以內，由此也表明采用回傳射線矩陣法計算自振頻率方法可行。而解析解為精確解，說明復模態方法求得的數值解偏大，與精確解有一定的誤差。此處解析解的提出既減少了數學編程軟件編程的耗時，又能簡單方便、合理可靠的計算出地基梁的自振特性，為黏彈性地基梁的振動特性的研究提供了理論基礎。

4.1.2 模態函數

根據式(43)及式(47)，可得

(50)

將式(21)代入式(50)中得

(51)

其中

(52)

表5 兩端簡支黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁前10階模態函數待定參數的值(×10-4)

(a) 1～5階實部

(b) 1～5階虛部

(c) 6～10階實部

(d) 6～10階虛部

由圖2可知，兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁各階模態曲線的實部與虛部關于軸線對稱，其振幅隨著階數的增加而逐漸減小，相鄰階數幅值的減量亦隨著階數的增加而逐漸減小。

4.2 其它邊界條件下Pasternak 地基上的Bernoulli-Euler梁的自振特性數值解

4.2.1 自振頻率及衰減系數

通過Matlab語言編程，求解出除兩端簡支外的其它邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的各階衰減系數均約等于0.049 94，與兩端簡支邊界條件下的幾乎完全相同，說明黏彈性Pasternak 地基對于Bernoulli-Euler梁振動能量的作用是一個確定的值，僅與地基土特性及梁尺寸有關，而與其上結構的約束情況無關。

表6 其他邊界條件下Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的前10階自振頻率

由表6可知：

(1) 采用回傳射線矩陣法求得的黏彈性Pasternak 地基上兩端固支(兩端自由)及簡支-固支(簡支-自由)邊界條件下Bernoulli-Euler梁的自振頻率與復模態求得結果基本一致，其偏差均在0.1%以內，進一步證明了回傳射線矩陣法求解自振頻率的正確性。

(2) 六種經典邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler的前10階自振頻率從大到小依次排序為：兩端固支(兩端自由)>簡支-固支(簡支-自由)>兩端簡支>固支-自由。

(3) 其他五種邊界條件下Pasternak 地基上Bernoulli-Euler的前10階自振頻率的變化規律與兩端簡支邊界條件下基本相同。且從第2階自振頻率開始，固支-自由邊界條件下第n階自振頻率與兩端固支(兩端自由)邊界條件下的第n-1階自振頻率幾乎相同，說明隨著階數的增大，固支-自由邊界條件下頻率方程中較兩端固支(兩端自由)邊界條件下多出的一項對自振頻率的影響幾乎可以忽略。

4.2.2 模態函數

經過計算可知各階模態函數的實部與虛部關于軸線對稱，故圖3中僅繪出了其他5種邊界條件下Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁前3階模態函數曲線的實部，如圖3所示。其振幅變化規律與兩端簡支邊界條件下的變化規律基本相同。

5 結 論

基于回傳射線矩陣法，首先，得到了橫向自由振動時兩端簡支、兩端自由、兩端固支、簡支-自由、簡支-固支和固支-自由這六種邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁的自振頻率方程及模態函數表達式，其形式較以往研究得到的表達式更加簡潔，且更容易看出不同邊界條件之間的關聯與差異。對其進行求解，得到兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁橫向自由振動時自振特性的解析解及其它邊界條件下的數值解。為統一起見，根據正交歸一化條件對模態函數中的未知參數進行求解。通過具體算例，對六種經典邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的自振頻率、衰減系數及模態函數進行了分析，結果表明：

(1) 兩端簡支邊界條件下黏彈性Pasternak地基上Bernoulli-Euler梁的自振頻率的大小與階數n、地基參數和梁體參數都有關，自振頻率隨彈簧系數和剪切系數的增大而增大，而剪切系數對自振頻率的影響大于彈簧系數；阻尼系數的增大會使自振頻率減小。

(2) 六種經典邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的自振頻率的大小隨階數n的增長而增大；不同邊界條件下自振頻率從大到小依次排序為：兩端固支(兩端自由)>簡支-固支(簡支-自由)>兩端簡支>固支-自由。從第2階自振頻率開始，固支-自由邊界條件下的第n階自振頻率與兩端固支(兩端自由)邊界條件下的第n-1階自振頻率相同。

(a) 兩端自由

(b) 兩端固支

(c) 簡支-自由

(d) 簡支-固定

(e) 固支-自由

(3) 六種經典邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁的衰減系數與階數及約束情況無關，僅與地基土特性及梁自身的尺寸有關，當地基土特性及梁自身的尺寸不發生變化時，黏彈性Pasternak 地基對于Bernoulli-Euler梁振動能量的作用是一個確定的值。

(4) 六種經典邊界條件下黏彈性Pasternak 地基上Bernoulli-Euler梁各階模態曲線的實部與虛部關于軸線對稱，其幅值隨著階數的增加而逐漸減小，相鄰階數模態幅值的增量亦隨著階數的增加而逐漸減小。