橫向常磁場中鐵磁圓板的主共振特性與靜載效應

馬冰冰， 胡宇達

(1.燕山大學 建筑工程與力學學院，河北 秦皇島 066004；2.燕山大學 河北省重型裝備與大型結構力學可靠性重點實驗室，河北 秦皇島 066004)

電磁場環境中圓型板及其組合結構在工程實際中得到廣泛應用，如：電機定子和轉子的鐵芯、電磁傳感器結構件等，這些結構在電磁場中的耦合振動問題是決定機電系統安全運行的主要因素，因此，研究磁場中鐵磁圓板的非線性振動問題既有理論意義，也可為工程實際中機電系統的動力學控制提供技術支持。并且在常磁場中，鐵磁圓板結構受到靜載荷作用，從而具有初撓度，對圓板非線性振動產生一定影響。

板的非線性共振問題已得到很多學者的關注。在20世紀90年代，Okajima等[1]對懸臂矩形板的共振頻率與曲率和厚度變化的關系進行了研究。Oh等[2]對兩種不同鋪設角度懸臂復合板的非線性組合共振問題進行了實驗研究，發現兩種板的最大頻率差為6%。近年來，Du等[3]對均勻載荷作用下阻尼夾層圓板的非線性超諧共振進行了研究，分析了解的穩定性和奇異性。高原文等[4]分析了在周期時變磁場中簡支鐵磁梁式板的非線性磁彈性動力特性與混沌現象。Xue等[5]研究了電磁彈性薄板的非線性無阻尼強迫振動，并分析了不同參量對主共振間隔、彈簧剛度特性和振幅跳躍現象的影響。胡宇達等[6-9]在矩形板方面，研究了四邊簡支功能梯度板的主共振，磁場環境中導電薄板的亞諧共振問題；在圓板方面，研究了磁場中旋轉導電圓板的主共振與分岔問題以及超諧-組合共振問題。Chen等[10]研究了不同尺寸夾層板的固有頻率，并討論了其內共振特性。

近20年來，研究者們越來越關注靜載荷下板結構的振動與屈曲問題。Yamaki等[11]同時考慮了初始撓度和初始邊緣位移的影響，對均布橫向載荷作用下夾層圓板的軸對稱非線性振動進行了理論分析。Wang等[12]給出了靜載荷下圓板的微分方程，得到了初撓度圓板非線性振動的周期解，并討論了初始撓度對柔性板動力特性的影響。Du等[13]研究了均布荷載和周邊荷載作用下夾層圓板的非線性振動,并用改進的迭代法求解振幅-頻率-載荷特性關系，分析了兩種載荷對夾層圓板振動特性的影響。同時，有些學者考慮了多場耦合的影響。王永崗等[14]研究了靜態溫度場中具有初撓度的雙層金屬薄板在周期時變橫向載荷作用下的混沌運動。Hu等[15-16]研究了在靜磁場作用下導電旋轉圓板的非線性自由振動和主共振問題，分析了頻率和振幅與靜載、磁感應強度、轉速等參數之間的關系。徐學平等[17]分析了偏心轉子不計靜載荷時和考慮靜載荷時對轉子系統振動特性的影響。另外，有一些學者對靜載荷作用下板的屈曲問題進行了研究。王德禹[18]分析了受面內靜載荷作用的矩形板在沖擊載荷作用下產生的沖擊屈曲，分析了靜載荷、沖擊載荷速度及初始撓度對板的屈曲特性的影響。Babich等[19]研究了預應力半空間板在靜載作用下的初應力對彎矩的影響。

處于橫向常磁場中鐵磁圓板受到的磁體力為靜載荷，靜載荷下圓板產生的初撓度對系統振動產生影響。本文研究常磁場中鐵磁圓板的主共振問題，得到圓板初撓度和擾動微分方程，利用多尺度法求解得出穩態運動下的幅頻響應方程，并通過算例分析不同電磁參量對共振振幅的影響。

1 圓板磁彈性振動方程

1.1 圓板動能和勢能

考慮處于外加法向磁場(Hn1為上表面磁場、Hn2為下表面磁場)中的各向同性鐵磁圓板，在周邊夾支的邊界條件下，受到橫向載荷Pz的作用。如圖1所示，在圓板上建立柱坐標系(r,θ,z)。其中，r、θ、z分別為徑向、環向、法向坐標；圓板厚度為h；半徑為R；質量密度為ρ。

圖1 磁場中鐵磁圓板的力學模型

忽略面內位移情況下，設磁場中鐵磁圓板板內任意一點的變形位移分量的表達式為

(1)

系統動能表達式

(2)

圓板彎曲形變勢能表達式

(3)

圓板中面應變勢能表達式

(4)

1.2 電磁力

根據磁彈性相互作用的理論模型[20]，得到磁場中鐵磁圓板受到的磁體力

式中:Hn為圓板表面法線方向磁場強度;μ0為真空中的磁導率;μr為相對磁導率;χm為材料的磁化率，χm=μr-1。

運動圓板內部產生渦電流效應，依據電磁理論，運動物體所受洛倫茲力表達式為

f(fr,fθ,fz)=J×B

(6)

式中:J為忽略電場強度時的電流密度矢量，J=σ0(V×B);B為磁感應強度矢量，B=μ0μrH;σ0為電導率。

對式(6)沿板厚方向積分，可得電磁力矩為

(7)

(8)

橫向磁場中，鐵磁圓板受到的電磁力所做虛功表達式為

(9)

1.3 磁彈性振動方程

運用哈密頓變分原理得到

(10)

式中，δUP為橫向激勵力Pz所做虛功。

將式(2)～(4)、(9)代入式(10)中，且只考慮橫向位移情況時，推得鐵磁圓板的橫向磁彈性振動方程為

(11)

式中，Nr、Nθ、Nrθ為中面內力。

2 靜載荷作用下圓板擾動微分方程

當鐵磁圓板處于常磁場中時，即當Hn1和Hn2為恒定值時，由式(5)可得受到的磁體力為靜載荷，即：

Fz=Q

(12)

并考慮軸對稱情況，橫向磁場中鐵磁圓板的非線性振動方程可寫為

設圓板在靜載荷下產生微小靜撓度w0，強迫振動撓度w1，總撓度為

w=w0+w1

則式(13)可以改寫為

初始撓度滿足

(15)

設滿足周邊夾支邊界條件的位移函數為

(16)

對式(15)進行伽遼金積分并化簡得到初撓度方程

(17)

其中，

求解得到：

(18)

設位移函數為

(19)

將式(15)代入到式(14)中，并進行伽遼金積分，得到擾動微分方程

B1q″+B2q′+B3q+B4q2+B5q3=B6Pz

(20)

3 多尺度法求解主共振問題

設激勵力為Pz=P0cos(ωt)，對式(20)進行量綱歸一化處理，考慮系統的弱非線性問題，引入小參數ε，得到

(21)

接下來應用多尺度法對具有初撓度擾動的系統主共振問題進行求解，分別考慮一階近似求解和二階近似求解兩種情況。

3.1 一階近似

取一階近似解

(22)

其中，T0=τ，T1=ετ。

將式(22)代入式(21)中，令的ε0、ε1項系數相等，可得：

(23)

(24)

式(23)的通解為

(25)

(26)

(27)

令a′=γ′=0，得到穩態運動下常磁場中鐵磁圓板主共振幅頻響應方程

(28)

3.2 二階近似

取二階近似解

ε2q2(T0,T1,T2)

(29)

其中，T0=τ，T1=ετ，T2=ε2τ。

將式(29)代入式(21)中，并分別令ε的零次、一次、二次項系數相等，可得各階近似線性偏微分方程組

(30)

(31)

(32)

式(30)的通解為

(33)

代入式(31)

(34)

式中,cc為各等式右側各項共軛復數項之和。

消除久期項可得

(35)

式(35)代入式(34)，求解可得式(34)的特解為

(36)

將q0，q1代入式(32)中，并消除久期項

(37)

(38)

4 數值分析

針對橫向交變磁場中受到橫向簡諧激勵力作用的軟鐵磁馬氏體鋼制圓薄板進行數值分析。尺寸參數為：R=0.3 m，h=0.005 m(圖2(a)和圖3(a)除外)，物理參數取值如表1。

表1 圓薄板物理參數[21]

圖2和圖3分別繪制了一階近似和二階近似求解方法下鐵磁圓板的幅頻特性曲線圖。曲線表明，振幅在共振區域(εσ≈0附近)顯著增加，曲線存在向右偏移現象，呈現硬彈簧特性。且隨著調諧值由負數逐漸增加為正數時，共振幅值由單值解變為多值解。由圖2(a)和圖3(a)可看出，隨著板厚增加，共振區域逐漸變窄，且當下表面磁場強度為100 A/m時，一階近似與二階近似解得的振幅十分相近，但圖3(a)中的曲線振幅稍大。由圖2(b)和圖3(b)可看出，磁場強度較小時圖2(b)中的曲線沒有變化，而圖3(b)中曲線隨著磁場強度增大，曲線向右偏移的角度變小，有向左偏移的趨勢。出現這種現象的原因可見式(28)和式(38)，二次非線性項系數中含有靜載荷項，利用一階近似多尺度法求解時，幅頻響應方程中不體現二次項，常磁場僅影響阻尼項和固有頻率，因此磁場較小時共振曲線無變化；而二階近似求解時，隨著磁場強度增加，二次項系數增大，其非線性增大，因此曲線逐漸向左偏移。圖2(c)和圖3(c)中曲線表明，隨著激勵力幅值增大，共振區域逐漸拓寬，上支曲線和下支下半部分振幅增大，下支上半部分曲線振幅減小。

圖2 一階近似幅頻特性曲線圖

圖3 二階近似幅頻特性曲線圖

圖4和圖5分別繪制了一階近似和二階近似求解下的振幅-磁場強度特性曲線圖。由各圖中的曲線可以看出，振幅-磁場強度特性曲線關于磁場強度Hn2=0 A/m呈左右對稱形式，且在磁場強度較小時便激發了共振，振幅較大。由圖4看出，當調諧值較小或激勵力幅值較大時，曲線為單值解；隨著調諧值增加或激勵力幅值減小，兩腰側曲線開始內縮，存在多值解，直至最后分離形成上部分封閉曲線。圖5曲線呈牛角狀，當調諧值較小、激勵力幅值較大時曲線兩腰向內微收，隨著調諧值增加、激勵力幅值減小，兩腰側曲線內縮更加明顯，最后兩部分曲線分離形成上部分封閉曲線，存在3個解。

通過對比圖4和圖5發現，當磁場強度較小時一階與二階近似共振振幅大小相近，而當磁場強度增加到250 A/m時，二階近似振幅急劇減小，但由于一階近似求解時不體現含有常磁場靜載的二次非線性項，因此一階近似振幅在Hn2=12 000 A/m左右時才急劇減小。綜上所述，磁場強度較小時一階近似與二階近似計算結果相近，而磁場強度較大時，二階近似計算結果更加準確。

圖6和圖7給出的是不同調諧值與不同磁場強度下一階近似和二階近似振幅-激勵力幅值特性曲線圖。

圖4 一階近似振幅-磁場強度特性曲線圖

圖5 二階近似振幅-磁場強度特性曲線圖

圖6 一階近似振幅-激勵力幅值特性曲線圖

圖7 二階近似振幅-激勵力幅值特性曲線圖

圖中曲線表明，當激勵力幅值較小時便可以激發系統的主共振現象，且出現多值解，之后振幅隨著激勵力幅值的增大由多值解變為單值解，且單值解緩慢增加。曲線向左偏移，呈現軟彈簧特性。

比較圖6(a)和圖7(a)看出，在Hn2=200 A/m時，圖7(a)共振幅值大于圖6(a)的共振幅值，隨著調諧參數增大，上支曲線與下支上半部分曲線共振振幅增大，而下支下半部分曲線振幅減小。由圖6(b)和圖7(b)相比較可看出，圖6(b)中在磁場強度數值較小時，曲線沒有變化；圖7(b)中上支曲線與下支上半部分曲線共振振幅隨著磁場強度的增加而增加。

圖8和圖9通過提取共振曲線出現多值解的臨界點繪制了分岔點變化圖。其中：圖8(a)和圖9(a)分別提取了圖2(a)和圖3(a)中的多值解臨界點，繪制出板厚-調諧參數的共振分岔點變化曲線，曲線呈向右下凹形非線性變化，隨著板厚的減小，相應的調諧值增大而出現共振分岔現象；圖8(b)和圖9(b)分別提取了圖6(b)和圖7(b)中的多值解臨界點，繪制出磁場強度-激勵力幅值的共振分岔點變化曲線，曲線呈向右上非線性變化趨勢，隨著磁場強度的增大，相應的激勵力幅值增大而出現共振分岔現象，且在激勵力幅值較小時，曲線斜率非常大；圖8(c)和圖9(c)分別提取了圖4(a)和圖5(a)中的多值解臨界點，繪制出磁場強度-調諧值的共振分岔點變化曲線，曲線呈向右下拱形非線性變化走勢，隨著磁場強度的減小，相應的調諧值增大而出現共振分岔現象。

圖8 一階近似求解分岔點

圖9 二階近似求解分岔點

圖10和圖11繪制了兩種求解方法下的不同參量三維曲線變化圖。由圖10(a)和圖11(a)看出，振幅隨調諧值變化時，在共振區域振幅增加，且存在跳躍性，激勵力幅值變大時共振曲線整體走勢不變但共振區域拓寬。由圖10(b)可看出，一階近似下共振曲線在磁場強度較小時為分離的上下兩支曲線，當磁場強度增大后，共振曲線變成一條曲線且最大振幅減小。由圖11(b)可看出，在二階近似下，共振曲線隨著磁場強度的增加，逐漸向另一側偏移，系統由硬彈簧特性變成軟彈簧特性。由圖10(c)和圖11(c)中三維曲線發現，激勵力幅值較小時，振幅-磁場強度曲線為封閉曲線與平滑曲線兩部分，隨著激勵力幅值增長，兩部分曲線逐漸靠近，最后合并成一條曲線。

圖10 一階近似求解主共振三維圖

圖11 二階近似求解主共振三維圖

5 結 論

通過研究常磁場引起的靜載荷下鐵磁圓板的主共振問題，求解出了鐵磁圓板在靜載荷下產生的初撓度，并應用多尺度法，得到一階與二階近似求解下的幅頻響應方程。

通過算例分析，得到以下結論：

(1) 當激勵力頻率約等于圓板固有頻率時，系統會在初撓度的基礎上發生主共振現象。當系統產生主共振時，振幅在共振區域明顯增加，且板厚、磁場強度、激勵力等參量對共振振幅產生顯著影響。

(2) 利用一階近似多尺度法求解時，含有常磁場靜載的二次非線性項在幅頻方程中不體現，當磁場強度較小時，一階近似與二階近似求解得到的振幅相近，而磁場強度較大時，二階近似求解更為準確。