“追根溯源”顯本質 化歸模型巧探究

摘?要：文章以排列組合教學中的模型化探究為例研究了如何用“特征分析”“多例歸納”“圖形輔助”等方式“追根溯源”，進行模型化探究。

關鍵詞：模型化探究;特征分析;多例歸納;圖形輔助

弗賴登塔爾說過“數學教育是數學的再創造”，數學課堂上學生的探究活動對于他們的知識建構和學科素養的培養都有十分重要的意義，因此如何創設一系列引導式問題，形成一個層層遞進的問題鏈，使學生順利完成數學問題的探究是一項非常值得研究的重要課題。模型化探究是數學探究的一種重要方式，在排列組合問題中模型化又是核心的解題思想，所以在排列組合教學中經常涉及模型化探究。

一、 排列組合問題中的基本模型

排列組合問題中最基本的兩個模型是排隊問題和分類抽取問題，排隊問題是排列應用題的基本模型，而分類抽取問題是組合應用題的基本模型。

【例1】?3名男生，4名女生，按照不同的要求排隊，求不同的排隊方法的種數。

（1）全體站成一排，其中甲只能在中間或兩端;

（2）全體站成一排，其中甲、乙必須在兩端;

（3）全體站成兩排，前排3人，后排4人，其中女生甲和女生乙排在前排，另有2名男生丙和丁因個子高要排在后排;

（4）全體站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端;

（5）全體排成一行，其中男生必須排在一起;

（6）全體排成一行，男、女各不相鄰;

（7）全體排成一行，其中甲、乙、丙三人從左至右的順序不變。

解：（1）先排甲，有A13;再排其余六人，有A66。故共有A13A66=2160（種）。

（2）先排甲、乙，有A22;再排其余5人，有A55。故共有A22·A55=240（種）。

（3）先排女生甲、乙，有A23種方法;再排男生丙、丁，有A24種方法;最后排剩余的3名同學，有A33種方法。共有排法A23·A24·A33=432（種）。

（4）（特殊元素優先法）按甲是否在最右端分兩類：

第一類，甲在最右端，有A66種排法;

第二類，甲不在最右端時，甲有A15種排法，而乙也有A15種排法，而其他人有A55種排法，有A15A15A55種排法。故共有排法A66+A15A15A55=3720（種）。

（5）捆綁法：將男生看成一個整體與其他4人進行全排列有A55種排法，整體內部進行全排列有A33種排法。共有排法A33A55=720（種）。

一般地，元素相鄰問題用“捆綁”法：①把相鄰元素看做一個整體;②把這個整體看成一個元素與其他元素排列;③整體內部進行排列。

（6）插空法：先排男生，有A33種;再將女生排入男生之間（包括兩側）的四個空位，有A44種。共有排法A33A44=144（種）。

一般地，元素不相鄰問題用“插空”法：①先將不受限制的元素排列;②再將不相鄰元素排入前面元素之間的空位中。

（7）空位法：設想有7把椅子，讓甲乙丙除外的四人先就座，有A47種方法，其余的三個位置甲乙丙按順序就坐，有1種坐法，則共有A47=840種方法。

倍縮法：7個人全排列可分兩步

第一步，固定甲、乙、丙3人從左到右的順序，將7人排隊，設排法總數為N;

第二步，對甲、乙、丙3人進行全排列，有A33種排法。

因此有A77=N×A33，∴N=A77A33=840種。

一般地，元素定序問題用“倍縮法”：①先把這幾個元素與其他元素一起排列;②用總排列數除以這幾個元素的全排列數。

解決排隊問題，要抓住“一個本質，三種基本方法，五項特殊方法”。

一個本質：元素有限制要求的排列問題。

三種基本方法：（1）用兩個原理計數;（2）用排列計數;（3）排除法。

五項特殊方法：（1）特殊位置優先法;（2）特殊元素優先法;（3）相鄰問題：捆綁法;（4）不相鄰問題：插空法;（5）定序問題：空位法和倍縮法。

【例2】?按下列條件，從10人中選出4人，有多少種不同選法？

（1）甲、乙、丙三人必須當選;

（2）甲、乙、丙三人不能當選;

（3）甲必須當選，乙、丙不能當選;

（4）甲、乙、丙三人只有一人當選;

（5）甲、乙、丙三人至多1人當選;

（6）甲、乙、丙三人至少1人當選。

解：（1）有C33·C17=7種方法;

（2）有C03·C47=35種方法;

（3）有1·C37=35種方法;

（4）有C13·C37=105種方法;

（5）有C47+C13·C37=140種方法;

（6）有C410-C47=175種方法。

解分類抽取問題，應抓住三點：

1. 弄清抽取的元素的要求;

2. 抽取多類元素要分步進行;

3. 解決至多和至少的問題用分類法和排除法。

二、 “特征分析”現本質，化歸模型巧探究

模型化思想就是要挖掘問題的本質，讓形形色色的問題回到最基本模型，因此拿到一道排列組合問題，首先要對其進行特征分析，判斷它是否屬于最基本的問題模型。

排隊問題的基本特征是：①若干元素按一定限制要求排列;②元素之間有順序。

分類抽取問題的基本特征是：①元素分為若干類;②從這些元素中按一定限制要求進行抽取。

【例3】?夏季用電高峰期間，為保證居民正常用電，某一段馬路上原有的九盞路燈需關掉其中三盞，但相鄰的兩盞路燈不能同時關掉，兩頭的兩盞路燈也不能關掉，問一共有幾種熄燈方法？

對于這道問題，不少學生會感到困惑，在學生思索之后，可提出兩個問題引導學生進行探究：

問題1?該例子中是否有若干元素按一定限制要求排列？

學生可以發現一種熄燈方法就是六盞亮燈和三盞黑燈的一種排列，其中三盞黑燈是不相鄰的。

問題2?路燈與路燈之間有順序嗎？

學生可以發現六盞亮燈之間沒有順序，三盞黑燈之間也沒有順序，但亮燈和黑燈之間有順序，沒有順序的六盞亮燈或三盞黑燈之間也可以排列，但排法只有一種。

問題3?一種熄燈方法的本質是什么？

經過這兩個問題的探究，學生就可以把該問題歸結為元素不相鄰的排隊問題，從而用插空法加以解決。解法如下：①先排六盞亮燈，只有一種排法;②再把另外三盞黑燈插入六盞亮燈之間的五個空位中，有C35種方法。因此共有C35=10熄燈種方法。

【例4】?平面內有7個點，其中4個點在一條直線上，此外其余任意3個點都不共線，這7個點可確定多少條直線？

對于這道問題，學生也會一時無從下手，可提出以下問題引導學生進行探究：

問題1?該例子中7個點可分幾類？

學生馬上發現7個點分為兩類，第一類是共線的4個點，第二類是其余3個點。

問題2?一條直線對應幾個點？

學生立即想到直線由兩點確定。

問題3?如何從這7個點中抽取2個點？

學生可以發現抽取方法分為三類：第一類是從共線的4個點中抽取兩個，但任選兩個點所得的是同一直線，第二類是從其余3個點中抽取兩個，第三類是從共線4個點中抽取1個點，從其余三個點中抽取1個點。

經過以上問題的探究，學生就可以把該問題歸結為分類抽取問題，并用分類法加以解決：共有1+C23+C14·C13=16條直線。

三、 “多例歸納”找本質，化歸模型巧探究

有的時候，通過特征分析很難找到問題的本質，我們可考慮從具體的例子中歸納找到其本質。

【例5】?如圖，小明從街道的A處出發，到B處（老年公寓）與小紅會合參加志愿者活動，則小明到B處可以選擇的最短路徑有幾條？

該題中最短路徑的本質是什么呢？顯然通過特征分析很難發現什么，我們要考慮從例子中歸納出問題的本質：

問題1?試畫出兩條最短路徑;

問題2?試分析兩條路徑中向上、向右的步驟各有幾步，分別在哪幾步？

問題3?最短路徑的本質是什么？

學生可以發現最短路徑的本質是從9步中選出向上的4步的一種方法。所以共有C49=126條最短路徑。

四、 “圖形輔助”獲本質，化歸模型巧探究

對于一些抽象的計數對象，我們可以通過圖形輔助使之直觀化，從而獲取其本質。元素重復的分組問題，就可以借助畫隔板的方法轉化為簡單的組合問題。

【例6】?10個優秀指標分配給6個班級，每班至少一個，共有多少種不同的分配方法？

該題中的分配方法顯然難以一一列舉，但如果用排列組合計數又很難發現起本質，即使舉例研究也無濟于事，怎么辦呢？在教學中可以用用圖形輔助引導學生發現問題的本質：

問題1?下圖代表一種典型的分配方法，大家能否說出這種分配方法？

學生稍加思索，就可以答出：這代表1班2個名額，2班一個名額，3班兩個名額，4班兩個名額，5班1個名額，6班2個名額。

問題2?如果讓1班得到3個名額，2班1個名額，3班1個名額，其他班名額不變，隔板的位置應該如何調整？

學生很快得到答案。

問題3?一種分配方法的本質是什么？

學生可以發現用這樣的圖形輔助就很直觀地顯現了分配方法的本質是5塊隔板插入10個小球（代表指標）9個空隙中的一種方法，所以共有C59=126種分配方法。

在模型化探究中，最關鍵的問題是引導學生進行“追根溯源”，從而發現問題的本質，排列組合的教學實踐告訴我們，“追根溯源”有三招：一是“特征分析”，二是“多例歸納”，三是“圖形輔助”，應用這三種方式引導學生進行模型化探究時，都要注意設置好“問題串”，環環相扣，由此及彼，以設問啟發學生，引導他們積極主動地完成這種生成性探究。

這三種探究方式有著內在的聯系，“特征分析”是三者核心，“多例歸納”就是通過多個例子的比較分析讓“本質特征”浮出水面，“圖形輔助”是通過圖形的直觀性幫助我們洞察“本質特征”。

參考文獻：

[1]朱清波，曹廣福.例談探究式解題課教學[J].數學教育學報，2020，29（2）：49-52.

[2]侯有岐.基于核心素養的高中數學問題驅動式教學實踐研究[J].數學教學研究，2020，39（2）：2-6.

[3]何志奇.高中數學新型課堂構建的實踐研究[M].世界圖書出版公司，2013：150-160.

作者簡介：

黎平，浙江省麗水市，麗水學院附屬高級中學。