利用數(shù)學探究活動課培養(yǎng)數(shù)學建模能力

張軼中，張 鐸

(1.黑龍江省佳木斯市教育研究院，黑龍江 佳木斯 154000；2.佳木斯市第八中學，黑龍江 佳木斯 154000)

一、引言

在新課改及新高考背景下，高中數(shù)學教學發(fā)展面臨著一個無法忽略的難題，即理論與實踐脫節(jié)。為了解決這一難題，越來越多的教師和研究者們，開始關(guān)注到數(shù)學探究活動課的重要意義。該課型是一種很好的途徑，用以將數(shù)學的純理論經(jīng)過教學活動，變成可以對指導現(xiàn)實生活和生產(chǎn)實踐有意義的策略、規(guī)范、方法和應用模式。因此，通過在高中生中開展數(shù)學探究活動課的實踐操作，嘗試多多引導學生用數(shù)學的方式思考，以期培養(yǎng)和發(fā)展高中學生應用數(shù)學建模能力。

二、概念的界定

高中數(shù)學探究活動課是指高中學生在學習的過程中，對于一個數(shù)學問題、數(shù)學知識進行自主研究,通過利用所學的數(shù)學知識、數(shù)學技能，分析觀察得出的事實,提出具有意義的數(shù)學問題,并探索、推測、歸納、總結(jié)出適當?shù)臄?shù)學結(jié)論或數(shù)學法則，進行解釋和證明。

數(shù)學建模能力是指高中學生在對現(xiàn)實問題進行處理、進行數(shù)學抽象化后，有效地利用數(shù)學語言來說明表達現(xiàn)實問題，主動有意識地利用構(gòu)造數(shù)學模型的數(shù)學思維、應用數(shù)學方法來解決問題。在新修訂的高中數(shù)學《新課標(2017版)》中，明確地指明了高中階段學生在數(shù)學方面應具有的六大核心素養(yǎng)，即數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析。數(shù)學建模在六個核心素養(yǎng)中處于樞紐地位。

數(shù)學探究活動課有其蘊含的數(shù)學學科魅力、樂趣。在這樣的課堂中，既有助于數(shù)學建模思想的應用和發(fā)展，也有助于高中數(shù)學核心素養(yǎng)在實踐教學中的落地開花。

在日常教學中，教師應該多注重課堂環(huán)節(jié)的設計，更加傾向于生動活潑的數(shù)學探究課堂風格設計，充分調(diào)動學生的探索積極性，培養(yǎng)建模思考能力，在潤物細無聲中向?qū)W生滲透建模思想，從而循序漸進地提升學生的數(shù)學核心素養(yǎng)和能力。

三、高中數(shù)學建?，F(xiàn)狀

通過以“高中、數(shù)學建模、數(shù)學探究、數(shù)學活動課”為關(guān)鍵詞進行相關(guān)文獻檢索，對檢索結(jié)果的相關(guān)內(nèi)容加以梳理后，總結(jié)發(fā)現(xiàn)，目前高中的數(shù)學建模發(fā)展現(xiàn)狀如下。

一方面，教師層面，數(shù)學建模意識和能力薄弱。雖然新高考的改革已經(jīng)在穩(wěn)步實施，但長期以來所形成的“應試教育”思維模式仍然在影響著當下的教師教學。因此，在目前的高中數(shù)學教學實踐中，仍然大量存在著對培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)重視不夠的問題。

另一方面，學生的數(shù)學建模能力發(fā)展情況并不樂觀。在長期的應試教育環(huán)境下，學生們和家長們還是會更容易接受和適應題海戰(zhàn)術(shù)的教學方法，平時不注重學習過程的體驗，探索延伸思維較差，故而嚴重影響數(shù)學建模思想的發(fā)展。

四、數(shù)學建模課的特點

從目前的數(shù)學建模相關(guān)理論和實踐研究的結(jié)論來看，可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學建模課堂的建設具有如下特點。

以生為本，關(guān)注鼓勵。在數(shù)學探究活動的課堂上，當給出案例后，教師的主要任務是引導——遵循學生的思維發(fā)展特點，使學生在不斷探索中明白過程的邏輯性。引導學生學會思考問題。只有經(jīng)過學生自己探索與思考后，形成的知識才會深刻。

來源于生活，又應用于生活。首先教師為學生提供的問題要由易到難，貼近學生的生活實際，不僅利于學生理解，同時也會讓學生有繼續(xù)研究的信心。

簡單的數(shù)學建模問題教師可以讓學生在課堂上通過獨立思考、合作探究解決。一些復雜的建模問題可以借助多媒體工具，在課堂上針對問題共同上網(wǎng)查閱資料，不僅有助于數(shù)學建模思路的及時拓展，同時也會培養(yǎng)學生的鉆研的意識。

除此之外，教師在進行知識引導與引入點拋出時，所能夠運用到的具體事例，不僅要貼合學生的年齡特點、思維方式，還應該是緊跟時事發(fā)展的。例如，在高中數(shù)學的函數(shù)增長模型一課中，我們可以結(jié)合當下全世界正在經(jīng)歷的疫情變化趨勢，利用例題與真實疫情數(shù)據(jù)案例相結(jié)合，不僅有助于學生更好地理解函數(shù)增長模型，更有助于培養(yǎng)學生的社會責任感和愛國情感。

五、數(shù)學探究活動課的主要特點

數(shù)學源自生活，并且服務于生活。數(shù)學具有悠久的歷史，因為數(shù)學的應用價值和意義涉及生活的方方面面。對于當下的教師和學生而言，都需要更新態(tài)度和意識，數(shù)學并非僅有應試意義，數(shù)學對每個人、每個階段而言，都是必不可缺的。而對問題解決能力的培養(yǎng)也是為了能夠更好地成長和生活。教師教學的意義就是這樣，傳授知識是為了讓學生能夠在成長中更好地發(fā)展和更美好幸福地生活。這也是注重數(shù)學核心素養(yǎng)培養(yǎng)的重要意義所在。

目前，存在很多學生對數(shù)學無感甚至是有抵觸心態(tài)的情況，認為數(shù)學在現(xiàn)實生活中毫無意義。究其原因，一定程度上是由于教師沒有在學習過程中將數(shù)學內(nèi)容生活化，也就是欠缺了對與生活相關(guān)的具體案例的緊密結(jié)合。一旦我們開始意識到是數(shù)學建模活動課程可以幫助學生，對蘊藏在客觀事物中的數(shù)學模式進行思考、做出判斷，那么學生就能真正地感受和體會到學習的用處和知識的用處，體會到數(shù)學學習的意義。

不僅需要注重對課堂各個環(huán)節(jié)的把握和設計，還需要根據(jù)學校生源實際情況來思考和構(gòu)建整個活動課的內(nèi)容。

新課標中所提及的核心素養(yǎng)的內(nèi)容為我們培育怎樣的學生提供了標準與參考，但我們不能只看到標準和要求而忽視學生的實際。以某校學生的實際情況為例：學生出自佳木斯市一所普通高中的普通班級，學生相對底子比較薄，表達能力比較欠缺。大多數(shù)學生既缺乏數(shù)學建模這方面的經(jīng)驗，也缺乏數(shù)學抽象的能力。針對這樣的學情，如何設計教學目標，如何開展探究活動課，就需要多思多想。

要幫助學生發(fā)展問題解決的探索能力，把實際生活中的問題通過數(shù)學抽象，轉(zhuǎn)化成對應的數(shù)學問題的關(guān)鍵性能力。這也是學生學習和應用數(shù)學建模能力的關(guān)鍵所在。因此，借鑒學者王成滿在數(shù)學建模思想融入高校生數(shù)學核心素養(yǎng)發(fā)展策略研究中進行的數(shù)學建模課的設計，一節(jié)生動有效的數(shù)學建?；顒诱n應該在設計上具有以下幾個方面的特點。

教學目標：根據(jù)主題，學生自己應用數(shù)學建模思想，建立模型，解決問題。

教學方法分析：主要是采用數(shù)學建模思想，以現(xiàn)實生活中熟悉的、經(jīng)常出現(xiàn)內(nèi)容或是最近的時事熱點生成話題，將其引入教學中，拉近高中數(shù)學課堂和現(xiàn)實生活的距離。再進行合作分組展示，積極鼓勵學生廣泛參與，充分地發(fā)揮學生的學習主動性，使學生對整個數(shù)學課堂教學過程中充滿興趣。最后，通過啟發(fā)引導的方式來發(fā)散性引導學生的適時思維，使高中學生的數(shù)學核心素養(yǎng)得到有效發(fā)展。

重難點分析：課程的教學重點是對函數(shù)思想的理解和應用，教學的難點在于構(gòu)建函數(shù)模型和對生成結(jié)果的合理判定。

教學的實施：首先由教師提出課程主題，然后學生自己嘗試進行建模學習。在課程中間，教師要對學生有針對性地進行理論指導，數(shù)學的建模思想則需要學生自主獨立完成。課程的最后，要對教學目標要求的研究結(jié)果進行展示和評價。

反思與評價：對建模結(jié)果評價時，初期以鼓勵為主，然后要提高關(guān)于數(shù)學方法的要求，最后要進行數(shù)學思維的拓展，回扣課程主題思想，努力引導學生發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實生活中的數(shù)學應用，將所學數(shù)學知識在生活中真正地加以運用。

鄂東古城蘄州鎮(zhèn)東，有一綠林掩映的村舍，名曰油鋪。相傳明末清初朱姓皇族為避清軍殺戮，改名換姓逃難至此安家落戶，屈指算來已歷兩百多個春秋。

六、利用數(shù)學探究活動課培養(yǎng)數(shù)學建模能力的思路

下面以典型案例為例來進行分析。

數(shù)學建模活動課教學設計案例:

【環(huán)節(jié)1：創(chuàng)設情境，引入問題】

為了有效地激發(fā)學生的研究興趣，用《流行病學》小視頻引入，顯示模型在防疫中的重大作用。然后展示新冠疫情中的4幅圖。設計問題1引領學生思考，用現(xiàn)實疫情數(shù)據(jù)引到本節(jié)課內(nèi)容，激發(fā)學習興趣。同時，展示數(shù)學和現(xiàn)實生活的聯(lián)系，感受數(shù)學的應用價值, 增強應用意識。

【環(huán)節(jié)2：學會建模，感受指數(shù)爆炸】

探究1中投資回報問題具有很強的現(xiàn)實意義。通過分析三種不同的投資回報模型，引導學生認識三種函數(shù)模型的差異，并根據(jù)實際情況選擇不同的函數(shù)模型。

本環(huán)節(jié)重點是引導學生對三種模型的增長情況進行分析，懂得從增加量和累計的回報數(shù)兩個角度入手分析并解決問題，并借助計算結(jié)果與圖象理解“對數(shù)增長”“直線上升”“指數(shù)爆炸”的含義。

這里通過提問引導學生，問題中具體到投資天數(shù)，回報的增加量不能作為選擇投資方案的依據(jù)，而應該考慮累計的回報數(shù)。

通過本環(huán)節(jié)學生也要學習如何選擇恰當?shù)谋硎拘问綄栴}進行分析。

通過信息技術(shù)的輔助，減少了計算量，迅速得到數(shù)據(jù)和圖像，讓學生體會信息技術(shù)和數(shù)學融合的力量，更好地理解函數(shù)的特征，重在探索的過程，這是提升學生核心素養(yǎng)的一種有效途徑。

【環(huán)節(jié)3：體會差異，選擇模型】

問題3：創(chuàng)設一個選擇公司獎勵模型的問題情景，讓學生在觀察和探究的過程中，體會到對數(shù)增長模型的特點。在管理和經(jīng)濟問題中，常常遇到e和10的數(shù)為底的對數(shù)函數(shù)模型，本例意在引導學生分析實際情況，進一步認識三種函數(shù)模型的特點，并通過對比三個函數(shù)的增長差異，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)選擇合適的函數(shù)模型。

本環(huán)節(jié)的重點在分析獎勵方案的具體要求，通過文字、符號與圖象的順利轉(zhuǎn)化將其數(shù)字化，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)。解題時引導學生從畫函數(shù)圖像入手，通過觀察函數(shù)的圖象，得到初步的結(jié)論，再通過具體計算確認結(jié)果，培養(yǎng)學生運用函數(shù)的觀點分析問題的意識和能力。

在具體操作中，注意發(fā)現(xiàn)不同學生的創(chuàng)意方案，鼓勵學生積極思考，培養(yǎng)學生的探索精神。

【環(huán)節(jié)4：討論表達，感悟提高】

設計開放性問題對探究2進行拓展延伸，引導學生分析實際問題，把實際需求和函數(shù)特點聯(lián)系起來，并對函數(shù)特征給予現(xiàn)實解釋。一方面可以了解學生對幾類不同模型增長差異的掌握情況，另一方面可以鼓勵學生學以致用，用以致優(yōu)，使學生的學習過程成為在教師引導下的“再創(chuàng)造”過程。

并不預設固定的答案，重在學生思想的表達和感悟提高。學生按照自己的理解，把自己的想法，通過實地的函數(shù)模型來實現(xiàn)，可能一個模型對應很多想法。通過交流和辯論，更好地體會函數(shù)模型的特點。發(fā)揮數(shù)學的內(nèi)在力量，以發(fā)展學生的思維能力、培育理性精神為核心，使學生在此過程中學會思考，提高認識問題、解決問題的能力。

【環(huán)節(jié)5：現(xiàn)實應用，激發(fā)愛國熱情】

引導學生觀察引入的4幅新冠疫情確診人數(shù)累計統(tǒng)計圖，然后選擇恰當?shù)哪Ｐ瓦M行研究。根據(jù)指數(shù)函數(shù)模型的特點，對印度的疫情情況進行預測。對比我國的統(tǒng)計圖，挖掘數(shù)學內(nèi)容所蘊含的價值觀資源，激發(fā)學生的愛國熱情和社會責任感。

具體操作中，學生自己設計方案，親自在網(wǎng)絡上收集數(shù)據(jù)，通過數(shù)據(jù)得到結(jié)論。真正經(jīng)歷建構(gòu)主義推崇的“感知—感悟—知識”的過程，經(jīng)歷“觀察—歸納—猜想—驗證”的過程，然后上升為理性認識。

【環(huán)節(jié)6：總結(jié)與思考】

最后環(huán)節(jié)總結(jié)本節(jié)課的收獲，重點明確建立函數(shù)模型解決實際問題過程其中蘊含的數(shù)學核心素養(yǎng)，激發(fā)學生主動培養(yǎng)核心素養(yǎng)的意識。

將培養(yǎng)數(shù)學建模能力融入到探究活動課堂的教學建議與反思如下。

1.要充分發(fā)揮學生的主體作用。教學應當尊重學生的主體性。而教師存在的意義就在于，為師者需要做好引導者與梳理者，需要在保證學生主體性的前提下，關(guān)注學生的思維發(fā)展變化，從學生當下的思維發(fā)展習慣與特點入手，采用學生更容易接受和消化的表達方式加以引導。只有教師和學生的關(guān)系是平等合作、相互尊重的，才能最大限度地發(fā)揮學生的主觀能動性。

2.要為學生創(chuàng)造探究的合理情境。為了探索和培養(yǎng)學生的能力素養(yǎng)，我們需要看到分析問題、解決問題的過程，就是完整的數(shù)學建模能力有效探索和發(fā)展的過程。因此，要求教師應該充分引導，而非專職灌輸。需要對學生探索中生成的問題，進行合作探究，有效碰撞，使學生完整經(jīng)歷解決問題的過程，使學生既有效鍛煉數(shù)學思維，又提高解決數(shù)學問題的能力，還打開了學習的領域、視野。

3.對學生評價要以激勵式為主。課堂教學的實踐過程中，有評價有總結(jié)才能夠有提高，如果僅僅是看上去熱熱鬧鬧，這樣的課堂是沒有實際效果的。因此，探究式課堂教學最重要的是效果，而課堂教學效果是通過學生的自評、互評和教師評價來體現(xiàn)的。課堂評價過程中不能僅僅看到本堂課的優(yōu)點和成功之處，還要充分發(fā)現(xiàn)不足，要對實踐中發(fā)現(xiàn)的問題及時處理，多角度來看待學生的表現(xiàn)，要發(fā)揮評價的激勵功能，在學生的評價上要以表揚和鼓勵為主。