一類Caputo型分數階微分包含的非局部問題

吳 睿, 高珊珊, 程 毅

(1. 長春財經學院 數學教研部, 長春 130122; 2. 遼寧理工學院 信息工程學院, 遼寧 錦州 121000;3. 渤海大學 數學科學學院, 遼寧 錦州 121000)

1 引言與預備知識

近年來, 關于發展方程或發展包含的非局部問題已引起人們廣泛關注[1-3]. 非局部映射在物理學領域應用廣泛, 該映射包含了周期、 反周期、 積分邊值等條件[4-7]. Cheng等[8]考慮了一類具有時變時滯的分數階微分系統, 在非局部條件下, 利用不動點定理和半群理論研究了該系統的精確可控性. 本文考慮在有限維空間內一類分數階微分包含非局部條件下解的存在性.

令T∶=[0,b], 用n表示n維實Euclid空間, 〈·,·〉表示n中內積, ‖·‖表示n空間由內積導出的范數. 設C(T,n)表示從T到n的連續函數全體組成的空間, 定義其范數為n)表示T上的Lebesgue-Bochner可積函數空間, 定義其范數為其中分數階微積分定義目前有Riemann-Liouville型、 Grünwald-Letnikov型和Caputo型等, 本文考慮一類Caputo型分數階微分包含的非局部問題. 關于分數階微積分的基本概念和性質參見文獻[9].

2 主要結果

考慮如下非局部條件下的分數階微分包含問題：

(1)

其中α∈(0,1),A:n→n是一個線性算子,B:T×n→n是一個非線性函數,G:T×n→2{?}是一個集值映射,φ:C(T,n)→n是一個非局部映射.

定義1若函數z(t)∈C(T,n), 對幾乎處處t∈T, 存在函數g(t)∈G(t,z), 使得

成立, 則稱z(t)是包含問題(1)的解.

由文獻[10]中注7.1及定義1知, 包含問題(1)的解等價于

(2)

Ωσ∶={z∈C(T,n): ‖z‖C<σ},

其中σ>0是一個常數. 顯然Ωσ是C(T,n)的一個有界開集. 本文假設條件如下：

(H1)A:n→n是一個有界、 線性的正定算子, 對任意的z∈n, 存在常數c∈+, 使得〈Az,z〉≥c‖z‖2.

(H2)B:T×n→n是非線性函數, 滿足:

(i) 對任意的t∈T,z∈n,t→B(t,z)是可測的,z→B(t,z)是連續的；

(ii) 對幾乎所有的t∈T和任意的z∈C(T,n), 均存在一個連續非負函數h:→, 使得‖B(t,s)‖≤h(‖s‖), 其中其中c是(H1)中的常數；

(iii) 對幾乎處處的t∈T, 存在非負函數μ(t)∈L∞(0,b), 使得

〈B(t,δ1)-B(t,δ2),δ1-δ2〉≤μ(t)‖δ1-δ2‖2, ?δ1,δ2∈n,

其中‖μ‖∞

(H3)φ:C(T,n)→n是一個連續函數, 使得:

(i) 對任意的z∈Ωσ, 均存在一個不減的非負函數f:→, 滿足‖φ(z)‖≤f(σ)；

(ii) 對任意的t∈[0,b]及x,y∈C(T,n), 均存在常數0

‖φ(x)-φ(y)‖≤l‖x-y‖C.

(3)

(4)

由于Mittag-Leffler函數具有連續性, 故可記

上述常數需滿足如下假設條件：

(H4) 存在常數σ>0, 使得

引理1如果假設條件(H1)～(H4)成立, 則發展方程

(5)

存在唯一解z∈C(T,n).

證明： 引入算子Ψ:C(T,n)→C(T,n), 定義為

(6)

則方程(5)的非局部問題可轉化為z=Ψ(z)的不動點問題.

首先, 驗證方程(5)解的存在性. 設序列{zn}, 在C(T，n)中有zn→z(n→∞), 則

由假設條件(H3)和(H2)中(i)可知, 當zn→z時,

‖φ(zn)-φ(z)‖→0, ‖B(t,zn)-B(t,z)‖C→0.

即當zn→z時, ‖Ψ(zn)-Ψ(z)‖C→0, 故Ψ是連續的.

|Ψ(z)(t2)-Ψ(z)(t1)|→0,

(8)

移項并整理后與z1-z2做內積, 得

由文獻[11]中引理2.3及假設條件(H1),(H2)中(iii)可知,

由假設條件(H2)中(iii)及文獻[12]中引理3.1可知,

再結合初始條件

z1(0)=φ(z1),z2(0)=φ(z2)

及假設條件(H3)中(ii), 得

由Mittag-Leffler函數的單調性可知

Eα(2(‖μ(t)‖∞-c)tα)<1.

又因為0

下面考慮包含問題(1), 對集映射G(t,z)做如下假設：

(H5)G:T×n→n是一個閉值的集值映射, 滿足：

(i) ?(t,z)∈T×n, (t,z)→G(t,z)是圖可測的；

(ii) 對幾乎處處的t∈T,z→G(t,z)是下半連續的；

(iii) 對任意的z∈n,t∈[0,b], 存在函數λ(·)∈C[0,b], 使得

下面給出本文的主要結果.

定理1如果假設條件(H1)～(H5)成立, 則包含問題(1)的解集非空.

證明： 定義算子F:D(F)?C(T,n)→Lp(T,n)為

其中

D(F)∶={z∈C(T,n):z(0)=φ(z)}.

由引理2可知, 算子F:D(F)→Lp(T,n)是一一映射, 故F-1:Lp(T,n)→D(F)存在. 顯然D(F)→Lp(T,n)是連續的, 因此F-1:Lp(T,n)→D(F)也是連續的. 設Θ?Lp(T,n)是一個有界集. 任取z∈F-1(Θ), 存在u∈Θ, 使得z=F-1(Θ). 由引理2可知,z(t)是一致有界的, 即F-1(Θ)在D(F)中有界. 由Arzela-Ascoli定理知,F-1(Θ)在Lp(T,n)中是相對緊集. 因此, 算子F-1:Lp(T,n)→Lp(T,n)是全連續的.

設N:Lp(T,n)→2Lp(T,n)是G的集值Nemitsky算子, 定義為

N(z)={γ∈Lp(T,n):γ(t)∈G(t,z(t)), a.e.t∈T}.

由文獻[13]中定理3.2知, 算子N是非空、 閉的、 可分解值且下半連續的. 由Bressan-Colombl連續選擇定理知, 存在一個連續映射H:Lp(T,n)→Lp(T,n), 使得H(z)∈N(z), 易驗證F-1°H:Lp(T,n)→Lp(T,n)是全連續的. 故只需證明不動點問題z=F-1°H(z)有解.

設集合

Γ={z∈Lp(T,n):z=θF-1°H(z),θ∈(0,1)}.

由文獻[11]中引理2.3及假設(H1)可知,

即當t→t0時, 有Dα‖z(t0)‖2≤-εc‖z(t0)‖2. 由文獻[12]中引理3.1知,