基于正交字典的全反饋信道函數估計

孫景鋒，李德識

(武漢大學 電子信息學院，湖北 武漢 430072)

0 引 言

傳統信道函數估計方法沒有利用信道的稀疏特性，存在復雜高、計算量大、實時性差等問題[1]。隨著壓縮感知理論的發展，基追蹤算法、匹配追蹤算法(matching pursuit，MP)、正交匹配追蹤算法(orthogonal matching pursuit，OMP)等[2,3]被運用到信道估計中。相比均衡算法，匹配算法忽略了部分權重較小的分量，以提高算法的實時性[4]?；粉櫵惴ㄍㄟ^梯度下降方法迭代計算信道函數，存在收斂速度慢的問題[5]。MP算法采用貪婪算法，存在局部最優解的問題。OMP算法通過殘差正交投影方法來獲得最優匹配結果，存在噪聲敏感的問題[6]。廣義正交匹配算法(generalized orthogonal matching pursuit，GOMP)在每一次迭代時選擇與殘差乘積最大的幾個字典，但在迭代過程中可能會選擇出錯誤原子[7]。壓縮采樣匹配追蹤(compressive sampling matching pursuit,CoSaMP)[8]和子空間追蹤(subspace pursuit,SP)[9]的出現引入了字典回溯的思想，采取先添加原子再進行可靠性篩選的原子選擇方法提高重構質量。將壓縮感知和均衡算法相結合，可提高收斂速度，但在低信噪比情況下均衡類算法計算誤差較大。因此需要研究抗干擾能力強且實時性強的信道估計方法，本文根據匹配信道參數估計推導獲取理想信道參數估計的條件；設計訓練序列與水聲信道函數分量卷積后，構成具備抗干擾能力的正交字典集，在匹配追蹤算法框架下能夠獲取理想信道函數估計結果。信道函數估計流程如圖1所示，本文的主要工作和貢獻如下：

圖1 基于正交字典的全反饋信道函數估計流程

(1)推導計算理想信道參數的訓練序列屬性，得到數字高斯序列與水聲信道函數分量卷積可構造具有自相關特性、正交性和抗干擾能力的字典集。正交字典集與匹配算法相結合，可濾除其它多徑和噪聲的干擾，提高算法的準確率，減小計算量。

(2)提出一種全反饋結構的水聲稀疏信道函數估計算法，驗證該結構可矯正數字高斯訓練序列不正交造成的系統誤差，通過反饋迭代可有效濾除。

1 水聲信道模型

由于聲信號在水下存在嚴重的傳播損失，反射次數多的傳播路徑能量損失更嚴重。傳播路徑存在以下4種情形：直達路徑、海面反射路徑、海底反射路徑、海面-海底反射路徑。圖2給出了淺海水聲通信傳播路徑的示意。

圖2 淺海水聲通信傳播路徑

若信號傳播路徑信息已知，可進一步估計信道傳播函數。由于信道模型中的多徑時延nk和傳播衰減ak是由水下環境和聲傳播特性共同確定，采用水聲環境建模確定信道參數的方法計算復雜度高且受時空因素影響較大，因此可通過匹配算法模型計算得到信道函數參數。為了提高信道函數估計算法的實時性，可利用信道稀疏特性降低求解信道函數的計算復雜度。

基帶信號x[n] 經過信道傳播后，由于多徑效應、傳播能量衰減ak和環境噪聲干擾noise[n]， 接收端信號r[n] 可表示為

r[n]=x[n]?h[n]+noise[n]

(1)

在多徑傳輸情況下，r[n] 也可表示為多徑信號的疊加和

(2)

其中，h為信道函數，noise為高斯白噪聲，M為傳播路徑的數量。由式(2)可知，信道函數h的沖擊響應函數可表示為

(3)

其中，第k條徑的傳播衰減為ak，傳播時延為nk。

2 正交字典構造

在接收端，接收到的信號是多個多徑信號的疊加，其中，每一條傳播路徑的信道函數可表示為

H0=[1,0…0],H1=[0,1…0]…HM-1=[0,0…1]

(4)

由H0,H1…HM-1進行線性組合，可以表達真實的信道函數h[n]。 由式(3)、式(4)可知

h[n]=a0H0+a1H1+…+aM-1HM-1

(5)

接收端的信號分量可以表示為

r0=x?H0,r1=x?H1…rM-1=x?HM-1

(6)

由式(2)可以得到

r=a0r0+a1r1+…+aM-1rM-1+noise

(7)

其中，r為r0,r1…rM-1的線性組合，且每一條傳播路徑具備相同的結構形式，將式(7)轉換成矩陣相乘形式：r=[r0,r1…rM-1][a0,a1...aM-1]T， 結合水聲信道稀疏的特點，信道參數a0,a1…aM-1中只有小部分存在數值，故r也可以由r0,r1…rM-1稀疏的表示，因此r0,r1…rM-1為r的字典集。

通過計算r中包含的字典元素的權重來估計信道函數參數。通過計算分析最優信道參數的估計條件，進而獲取字典集的正交、抗干擾能力強和自相關峰突出等特性。字典集由訓練序列x和信道函數分量Hi卷積生成，由式(4)可知，不同信道環境下的信道函數分量的規律穩定，因此本文通過設計一段特定的訓練序列x， 使得x與不同的水聲信道函數分量卷積都具備字典集的3點特性。對選用的訓練序列進行整數化以適應通信系統，并對整數化后的序列進行性能分析，是否還滿足最優條件。

2.1 最優信道參數估計條件

在匹配算法的框架下，任選信道函數的一個參數計算過程進行分析，并從中推導最優信道參數估計條件。信道函數傳播衰減參數ai的估計公式為

(8)

其中， 為a與b點積運算，a′i為信道參數ai的估計結果，r[n] 可表示為

r[n]=a0r0+a1r1+…+aM-1rM-1+noise[n]

帶入上式則有

(9)

由于信道參數ai理想的表達式是

(10)

當式(9)可轉換成式(10)時，估計結果就可以轉換成為真實值，可知式(9)中的ajrj和noise[n] 為干擾項。當字典集滿足下列條件時：

(1)=0,?i,j∈[0,M-1], 且i≠j;

(2)=0,?i∈[0,M-1]。

式(9)可轉換為

將條件(1)、條件(2)帶入上式，可知能將a′i轉換成為真實信道參數ai。 本文通過設計特定的字典集，使得字典元素 {r0,r1…rM-1} 具備正交性和抗干擾能力，可在匹配運算時去除內部干擾和外部干擾，可得到式(10)即理想結果。

字典集可轉換成訓練序列與信道函數的卷積形式，因此可由字典集性能得知訓練序列x具備以下幾點性質：

性質1x?Hk與x?Hl正交，其中k,l∈[0,1…M-1], 且k≠l；

性質2 匹配過程中抗干擾能力強，x?Hk+noisek與x?Hl+noisel的點積不受noisek,noisel的影響，即 (x?Hk+noisek).*(x?Hl+noisel)≈(x?Hk).*(x?Hl)，k,l∈[0,1…M-1];

性質3 自相關特性，即 (x?Hk).*(x?Hk)?(x?Hk).*(x?Hl)。

其中a.*b為a與b點積運算，?為卷積運算。

2.2 訓練序列構造

目前常用的訓練碼元有：偽隨機序列(M序列)、巴克碼、隨機序列、高斯整數零相關區(Gaussian integer zero correlation zone,ZCZ)序列集[10,11]等。研究發現，高斯序列滿足上述性質要求，因此本算法運用數字化的高斯序列作為訓練序列，以下驗證了高斯序列符合最優解的設計要求。高斯序列在任意兩個不同時刻上的隨機變量，不僅是互不相關，而且統計獨立。選定高斯序列Gau[n]， 干擾噪聲noise[n]， 高斯序列的性質有：

(1)Gau[n-nl].*Gau[n-nk]=0， 其中l≠k；

(2)Gau[n].*noise[n]=0, 與其它噪聲不相干；

(3)Gau[n].*Gau[n]=N/2， 其中N為高斯序列功率。

由上面性質推導訓練序列的性質：

(1)正交性：rk=Gau[n]?Hk=Gau[n-nk]，rl=Gau[n]?Hl=Gau[n-nl], 可知有不同的字典元素rk，rl， 其中l≠k， 對于他們的點積有

rk.*rl=Gau[n-nk].*Gau[n-nl]=0

(11)

(2)抗干擾能力

r.*rk={Gau[n]?H+noise}.*rk=
{Gau[n]?H}.*rk

(12)

(3)自相關特性：任一字典元素rk=Gau[n]?Hk=Gau[n-nk]， 有

rk.*rk=N/2(N為序列的功率)

(13)

由此，可證明高斯序列滿足正交字典的基本要求。但高斯序列作為碼元序列存在幅值多樣、分布隨機等缺點，為減小通信系統復雜度，適應通信基帶碼元要求，則需要將高斯序列轉化為整數高斯序列。待轉換的序列Gau[n]=[x0,x1…xn-1]， 整數目標集合Symbol=[…-3,-2,-1,1,2,3…]， 數字化過程即將Gau[n] 中的值映射到Symbol中。數字化的要求是轉換后的序列在上述3點性質要求上盡量逼近高斯序列。

高斯序列數字化的方法，常見方法有取整法、聚類法等。取整方法設定閾值后向上或向下取整具備算法簡單的優勢；聚類方法先將特性相同的點聚集在一起，再將每一塊數據分別同值整數化，相比取整雖然操作復雜，但其利用歐式距離對這些點進行分類，能獲取最小均方誤差，相比取整的方法，聚類法能將特性相近的一些點聚類在一起。因此本文選用聚類的方法作為本文的整數化方法，其中典型的方法為K-means聚類[12]。

首先可以利用歐氏距離將高斯序列分成K塊，再將這K塊區域的幅值進行同值數字化，K-means聚類算法，其步驟如下：

(1)隨機選取K個初始質心；

(2)計算所有樣本點到K個質心的距離；

(3)若樣本離質心Si最近，那么該樣本屬于Si點群；若樣本點到多個質心的距離相等，則該樣本點可被劃分到任意組中；

(4)所有樣本分組后，計算每個組的樣本點均值，將計算的均值作為新的質心；

(5)重復步驟(2)～步驟(4)直到質心收斂算法結束。

由上述方法可以得到K塊數據，在Symbol=[…-3,-2,-1,1,2,3…] 中對稱的選取K個值，將K塊數據中的值對應映射，即完成數字化。圖3即為四值數字化的聚類結果。

圖3 高斯序列K-means聚類結果

數字化方法可通過數字化后序列的正交性、抗干擾能力、自相關特性等進行評價，為此分別設置了3個指標進行衡量量化的性能。

2.3 訓練序列的性能分析

為了對所構造的訓練序列進行分析與評價，分別設計了正交偏離角、有無干擾項匹配偏差、相關峰值與最大干擾峰值比來分別對正交性、抗干擾能力、自相關特性進行量化表征。

自相關特性，將相關峰與最大干擾峰值比定義為ratepeak-max-interference， 簡化為ratePMI其定義式表達如下

(14)

正交性能分析，通過計算不同碼元間的夾角與直角的偏角，并求和表示為正交偏角(declination，OP)，其定義式如下

(15)

抗干擾能力分析，抗干擾能力(anti-interference ability,Anti-IA)則是通過對比有無噪聲情況下的匹配困難度，有噪聲干擾時記為ratenoise， 無噪聲干擾時記為ratesign， 抗干擾能力數值越接近1表示碼元序列抗噪能力越強，其定義如下

(16)

巴克碼在長度12 000內的最長序列為13，對于一般海洋水聲通信中，多徑的最大時延超過100 ms，要求的訓練碼元長度超過200，故巴克碼不適合作為訓練碼元。ZCZ序列通過計算產生零相關序列適合作同步碼，對于長序列的訓練序列會產生更多碼值，不適合做基礎碼元[13]。偽隨機序列也即M序列，是一種偽隨機序列、偽噪聲(PN)碼或偽隨機碼。隨機序列也是常被選作為訓練碼元。下面通過上述3種指標比較選擇合適的訓練碼元。

由MATLAB生成長度為2000的高斯序列，進行k-means聚類數字化稱為數字化序列，利用MATLAB生成長度為2000的M序列和隨機序列，通過時延生成100組字典元素，通過上述的定義的碼元評價參數，對以上3種碼元進行量化評價得到的數值指標見表1。

表1 比較碼元的相關峰與最大干擾峰值比

根據評價指標可知，理想情況下，相關峰與最大干擾峰比為無窮大，正交偏角為0°，抗干擾能力系數為1，對以上3個性能指標計算可知，數字化高斯序列相比其它碼元都有一定的優勢，選取數字化高斯序列作為本文方法的訓練碼元。

3 全反饋信道函數估計

采用數字高斯序列與信道函數分量卷積構成的正交字典集后，由于生成高斯序列和數字化過程是對原序列近似處理，帶來字典集近似正交的問題，本文提出全反饋信道函數估計算法來減小由近似正交帶來的誤差，并用數學歸納法證明反饋結構的功能。

3.1 匹配算法計算

基于接收端信號式(1)，采用匹配算法的框架，運用以下步驟，依次求解出信道函數的參數：

(1)r[n] 與各字典元素信道參數計算

(17)

(2)設定閾值，舍棄幅值較小的多徑信道參數對于接收端的信號r[n]， 經過信道的衰減，依據信道參數ak的絕對值進行取舍無法判定該參數在信道函數中的影響因子，故用其相對值進行取舍。設定相對值閾值為α， 對于小于α的徑舍棄，其它的保留原值，進行下一步計算。歸一化公式如下

(18)

(3)在序列中找出信道參數最大徑，并按式(20)更新r[n]， 進行第二次信道參數分解。從分解參數中找出信道參數最大的徑，并作為信道函數的參數

al=max(a0,a1…am-1)

(19)

去除已經計算出來信道函數參數對剩余參數計算的干擾

r[n]=x[n]?(h[m]-al·h[l])

(20)

(4)重復進行步驟(1)～步驟(3)，直至分解出所有的信道參數。

3.2 全反饋結構重構信道參數

理想狀態下，高斯序列是互不相關的，而且還是統計獨立的，但是生成和數字化過程會對理想高斯序列近似操作，所以對于不同時延的高斯序列并非嚴格正交，即“完備正交字典”中的元素的相關性不為零。解決近似正交的問題，可通過改進算法結構，對于估算過程中存在其它元素的干擾，在參數估算完畢后，利用已估計參數全反饋到下一輪計算中矯正參數，稱為估計參數全反饋去干擾法。其具體步驟如下，其中hmi表示第m次反饋計算后的第i個信道參數，rmi表示m次反饋計算后的接收分量：

(1)基于匹配估計信道參數hm0,hm1…hmM；

(2)接收信號r[n] 分量計算

rm1=x?hm1,rm2=x?hm2…rmM-1=x?hmM-1
r′m0=r[n]-rm1-rm2…rmM-1

(21)

(3)將r′m0帶入式(17)重新估計h(m+1)0并更新信道參數

(22)

(4)參照(2)、(3)計算h(m+1)1,h(m+1)2…h(m+1)M-1；

(5)將m+1，重新反饋到(1)計算參數,直至計算誤差符合要求。

圖4為反饋迭代次數與均方誤差的關系，隨著迭代次數，誤差將會越來越小，并采用數學歸納法證明全反饋結構可減小信道函數誤差。由于字典存在正交偏角，其干擾帶來的誤差可以寫成以下形式

ε0==a0μ0…
εM-1==amμmεe==μe

(23)

圖4 信號參數估計的均方誤差

其中，εk為rk給信道參數ai計算帶來的誤差,μk為第k個字典rk在ri矢量方向上的分量權重因子，本文將其稱為轉換因子；a′mi代表第m次迭代計算后的信道參數。

將式(23)帶入式(22)中，可知在沒有反饋結構時存在

(24)

其誤差可表達為

(25)

加入反饋結構后，將第一次計算的參數值反饋回原結構重新計算，則帶來的誤差有：εk=<(a′k-ak)rk,ri>=(a′0k-ak)μk。

第一次反饋計算參數則有

(26)

第一次反饋計算后的誤差記為

(27)

(1)數學歸納法第一步：證明第一次迭代的誤差e1小于不迭代(第0次)的誤差e0

(28)

歸納法第一步可用實際數據證明，如圖4可例證第一次的迭代誤差小于不迭代誤差。

(2)數學歸納法第二步：給出條件：第k次迭代的誤差比第k-1次迭代的誤差小

(29)

(3)數學歸納法第三步：由第二步的條件，推導第k+1次的誤差小于第k次的誤差成立

(30)

由ek=a′kj-aj,ek=a′(k-1)j-aj。 將等式右邊帶入差值計算：故ek-ek-1=(a′kj-aj)-(a′(k-1)j-aj)=a′kj-a′(k-1)j。 由數學歸納法第二步條件，可知ek-ek-1<0， 即a′kj-a′(k-1)j<0, 將此推論結果帶入可知式(30)中證明ek+1-ek<0成立。

反饋計算后，誤差是逐漸減小的。最先估算出來的信道參數受其它信道參數影響大，具有較大的估計誤差，也會對后面信道參數產生影響。在重新估算過程中，由反饋結構將其它接收分量從接收信號r[n] 中減去，濾除其它信道參數的影響，重新估算，將干擾降到最低。

4 仿真驗證與結果分析

對于水聲通信中的信道函數估計算法，實時性、準確率、計算量等都是信道估計算法的重要評估參數。本文在MATLAB平臺上，設置相同的模擬信道環境，分別仿真DFE算法、DFElms算法、cosamp算法、MP算法、OMP算法及其組合算法和本文提出估算方法，分別在準確率、計算復雜度等方面進行對比。

4.1 計算復雜度分析

為對比不同算法的計算復雜度和計算量，設置相同的實驗環境下，現設置相關的參數變量如下，均衡算法相關參數：N訓練序列長度、n迭代次數、M濾波器長度、L字典個數、2l稀疏度估計。計算量：Calculated amount(·)，表示為Cal(·)。

在信道估計函數中，整體而言，匹配算法相比均衡算法的計算復雜度要低，因為均衡算法的收斂較慢。從表2、表3中計算量和計算復雜度的分析可知，匹配算法計算復雜度相比均衡類算法計算復雜度要小，計算量對應的也會小得多。傳統匹配類算法Cal(基追蹤)>Cal(MP)>Cal(OMP)>Cal(本文算法)。

表2 不同匹配追蹤算法計算量對比

表3 不同均衡類算法每一次迭代計算量對比

本文通過算法運行時間來體現算法的計算量大小，由圖5可知，本文算法相比其它幾種算法具備計算量小的優勢，從實驗結果也可以得到，結合匹配算法的DFEcosamp的均衡算法相比其它算法也有更快的收斂速度。

圖5 匹配類均衡類算法計算時間對比

4.2 信道函數準確率對比

匹配類算法采用點積計算信道函數，計算過程可屏蔽部分隨機噪聲；均衡類算法將接收端信號中的信號部分和噪聲部分看作一個整體，即將噪聲當作信道函數的一部分，估計得到的信道函數與真實的信道函數有偏差，所以均衡算法相比匹配類算法的均方誤差要大；而本文采用的方法，運用高斯序列的抗干擾能力，在信道函數計算過程中采用點積運算濾除噪聲，因此在3類方法中，本文算法的計算準確率將高于壓縮感知的匹配算法和均衡算法。

在相同的實驗環境下進行各類算法的仿真，如圖6、圖7 為0 dB條件下的信道函數估計結果圖，在圖6的局部放大圖可知，本文算法與真實信道更接近，圖7中均衡類算法效果都比較差，與真實信道相差較大。圖8為信噪比從0 dB-30 dB的條件下，統計各方法的估計均方誤差，其中DFElms與DFEnlms的性能相似，導致曲線重合?？梢缘玫饺缦陆Y論：

圖6 0 dB下匹配類算法信道函數估計結果

圖7 0 dB下均衡類算法信道函數估計結果

圖8 匹配類均衡類算法信道均方誤差對比

(1)匹配類算法雖然計算量不同，但其誤差大小相近，且隨信噪比減小，算法的誤差增大；

(2)如理論分析結果所示，在相同信噪比的環境下，匹配類算法的MSE要小于均衡類算法；

(3)如理論分析結果，本文算法的抗噪能力優于傳統均衡類算法，優于匹配類算法。

5 結束語

本文針對稀疏水聲信道函數的估計問題，提出了一種基于正交字典的全反饋信道函數估計方法，給訓練序列賦予正交和抗干擾的特性，在匹配算法初步估算出信道參數后，再結合全反饋結構進一步提高信道函數的準確度。仿真結果表明，本文提出的信道估計方法在噪聲敏感程度上優于匹配算法，能夠獲取更高的準確度；在算法復雜度上優于均衡類算法和匹配均衡結合算法，以更低的計算復雜度，實現較高的準確率。