隨機時滯微分方程的截斷Caratheodory數值解的收斂性

蔡雨欣， 王子豐， 尤蘇蓉

(東華大學 理學院，上海 201620)

在隨機時滯微分方程(stochastic delay differential equations, SDDEs)的研究中，當系數滿足局部Lipschitz條件和線性增長條件時，方程的解存在且唯一。但很多的SDDEs并不滿足線性增長條件，針對這類方程，文獻[1]指出系數滿足Khasminskii型條件時，方程的解存在且唯一。

隨機微分方程(stochastic differential equations, SDEs)的精確解通常很難求出，構造方程的數值解并分析數值解的相關性質是SDEs的熱門研究課題，常用的數值方法有Euler-Maruyama法、倒向Euler-Maruyama法、馴化Euler-Maruyama法、Milstein法以及Caratheodory法。目前，系數滿足局部Lipschitz條件和線性增長條件的SDEs方程的數值解已得到廣泛研究[2-6]。

對于非線性增長條件下SDEs的數值解問題，也有相關研究報道。如Hutzenthaler等[7]在高度非線性增長條件和單邊Lipschitz條件下研究了這類方程的數值解。文獻[8-9]提出的截斷Euler-Maruyama法，可以用于求解系數滿足局部Lipschitz條件和Khasminskii型增長條件的方程的數值解。此后，截斷Euler-Maruyama法被應用于SDDEs的數值解分析中，得到了具有強收斂性和收斂速率的數值解[10]。文獻[11]利用截斷Caratheodory數值算法探討了SDEs數值解的收斂性。截斷算法在SDDEs的應用主要是截斷Euler-Maruyama法與局部截斷Euler-Maruyama法，目前還沒有將截斷思想應用于SDDEs的Caratheodory數值解的相關文獻報道。本文將這種數值算法應用于SDDEs中，進而證明數值解的強收斂性。

1 問題背景及截斷Caratheodory數值算法構造

若x∈n，用|x|表示其歐幾里得范數。若A是一個向量或是矩陣，使用AT表示其轉置，用表示它的跡范數。給定τ>0，用表示定義在[-τ, 0]上，取值于n的連續函數族。對于設(Ω,F, {Ft}t≥0,P)是一個完備概率空間，{Ft}t≥0是其上的一個σ域流，滿足通常條件[10](單調遞增且右連續，F0包含的所有P為零測集)。B(t)=(B1(t),B2(t), …,Bm(t))T是定義在該概率空間上的m維布朗運動。對于兩個實數a和b，記a∨b=max(a,b)，a∧b=min(a,b)。對于給定實數a，用[a]表示小于等于a的最大整數。

考慮如式(1)所示的隨機時滯微分方程。

dx(t)=f(x(t),x(t-τ))dt+
g(x(t),x(t-τ))dB(t),t≥0

(1)

式中：f(x,y):n×n→n，g(x,y):n×n→m×n分別為方程的漂移系數和擴散系數；τ>0為時滯量。

初值條件為

{x(θ): -τ≤θ≤0}=ξ∈C([-τ, 0];n)

(2)

假設式(1)的系數滿足以下局部Lipschitz條件和Khasminskii條件。

假設1對任意的h>0，存在Kh>0使得

假設2存在一組常數p>2和K>0，使得對任意的x,y∈n有

傳統解的存在唯一性定理要求方程的系數滿足局部Lipschitz條件和線性增長條件。在局部Lipschitz條件和Khasminskii條件下，方程具有非線性特征，引理1給出了這類方程的解的存在唯一性。

為定義截斷Caratheodory數值格式，首先選定一個嚴格單調遞增的連續函數μ:+→+使得當r→+∞時，得μ(r)→+∞，且對任意的r≥1有

(3)

記μ-1為函數μ的反函數，則μ-1:[μ(0), +∞)→[0, +∞)是嚴格單調遞增的連續函數。取定一個常數Δ*∈(0, 1]和一個嚴格單調遞減的函數h:(0,Δ*]→(0, +∞)使得對任意的Δ∈(0,Δ*]都有

(4)

對于給定的步長Δ∈(0,Δ*]，定義映射πΔ:n→{x∈n: |x|≤μ-1(h(Δ))}如下：

當x=0時，定義πΔ(0)=0。因此，πΔ(x)將任意一個向量x映射到一個半徑為μ-1(h(Δ))的球的內部。對任意的x,y∈n，定義如下截斷函數

fΔ(x,y)=f(πΔ(x),πΔ(y))
gΔ(x,y)=g(πΔ(x),πΔ(y))

由式(3)得

|fΔ(x,y)|∨|gΔ(x,y)|≤
μ(μ-1(h(Δ)))=h(Δ)

(5)

這表明，無論f和g是否有界，其截斷函數fΔ和gΔ都是有界的。引理2說明截斷函數fΔ和gΔ仍然滿足Khasminskii條件。

引理2[13]令假設2成立，那么對于Δ∈(0,Δ*]，對任意的x,y∈n有

當-τ-Δ≤t≤-τ時，定義xΔ(t)=x(-τ)；

當k=-M,-M+1,…,0時，定義xΔ(tk)=ξ(tk)；

當k>0，tk

(6)

顯然，

(7)

dxΔ(t)=fΔ(xΔ(t-Δ),xΔ(t-τ-Δ))dt+
gΔ(xΔ(t-Δ),xΔ(t-τ-Δ))dB(t)

本文主要研究常時滯方程的數值解設計，對于變時滯方程情形，需要對上述數值解格式進行適當的調整，變時滯方程如下：

dx(t)=f(x(t),x(t-δ(t)))dt+
g(x(t),x(t-δ(t)))dB(t),t≥0

2 截斷Caratheodory數值解的收斂性

為證明數值解的收斂性，首先給出式(1)的精確解和數值解所具有的一些基本性質及引理。

定理1對于任意的Δ∈(0,Δ*],t≥0有

(8)

其中Cp是僅與p有關的正常數，進而有

(9)

證明：由式(7)可得

從而有

由基本不等式|a+b|p≤2p-1|a|p+2p-1·|b|p,H?lder不等式以及矩不等式，上式可變形為

再由式(5)得

顯然有式(9)成立。

引理3若假設1和假設2成立，則

(10)

其中C是與Δ無關的正實數。

證明：對|xΔ(t)|p使用It公式可得

利用引理2以及Young不等式可得

(11)

再利用定理1以及式(4)和(5)可得

(12)

將式(12)代入式(11)得

(13)

其中C3=C1+CpT,C4=3C2，且Ci(i=1,2,3,4)是與Δ無關的正實數。

由于式(13)對任何的t∈[0,T]都成立，其不等號右邊是關于t非降的，因此

進而利用Gronwall不等式可推出

(14)

其中C=C3eC4T，且不依賴于Δ，從而式(10)成立。

下文引理4和5說明了式(1)的精確解和數值解所定義的兩個停時的性質，這兩個引理將在定理2證明數值解的收斂性時有用，其中引理4關于精確解的性質在文獻[8]中已有證明，這里僅引用其結論。

引理4[8]令假設1和假設2成立，則對任意實數R>‖ξ‖，定義停時

τR=inf{t≥0:|x(t)|≥R}

(15)

引理5令假設1和假設2成立，對任意實數R>‖ξ‖，Δ∈(0,Δ*]，定義停時

ρΔ,R=inf{t≥0:|xΔ(t)|≥R}

(16)

則

(17)

其中C9是與Δ,R無關的正實數。

證明：將ρΔ, R簡記為ρ，對任意0≤t≤T，應用It公式可得

根據引理2，上述不等式可以變形為

(18)

分析式(18)不等號右邊的第一個積分

(19)

式中，C6=4K1T(1+E‖ξ‖2)。

基于引理1以及式(4)和(5)，式(18)不等號右邊的第二個積分可以放縮為

(20)

將式(19)和(20)代入式(18)可得

(21)

由于式(21)不等號右邊關于t是非降的，因此

(22)

由定理2證明截斷Caratheodory數值解的收斂性，為此需要對初值函數添加一定的條件，該條件在其他數值解的收斂性分析中也有使用[8-9]。

假設3存在一組常數K2>0，γ∈(0, 1]，使得初值ξ滿足

|ξ(u)-ξ(v)|≤K2|u-v|γ，-τ≤v≤u≤0。

定理2若假設1～3都成立，則對任意的q∈[2,p)，有

(23)

證明：令τR,ρΔ, R與式(15)、式(16)定義相同，并記θΔ,R=τR∧ρΔ, R及eΔ(T)=xΔ(T)-x(T)。利用Young不等式，對于任意δ>0，有

E|eΔ(T)|q=E(|eΔ(T)|qI{θΔ, R>T})+

E(|eΔ(T)|qI{θΔ, R≤T})≤

(24)

由引理1和引理3可知

E|eΔ(T)|p≤C

(25)

又由引理4和引理5得到

(26)

其中C10=C5+C9。將式(25)和(26)代入式(24)可以推出

(27)

為此定義兩個截斷函數

令Δ*足夠小，且滿足μ-1(h(Δ*))≥R，因此對Δ∈(0,Δ*)，有

fΔ(x,y)=FR(x,y)，gΔ(x,y)=GR(x,y)，其中x,y∈,|x|∨|y|≤R。

考慮式(28)所示的隨機時滯微分方程。

dz(t)=FR(z(t),z(t-τ))dt+GR(z(t),z(t-τ))dB(t)

(28)

初值為z(u)=ξ(u),u∈[-τ, 0]，其中FR(x,y)和GR(x,y)滿足全局Lipschitz條件。因此，式(28)在t≥-τ上有唯一的全局解z(t)，且

x(t∧τR)=z(t∧τR) ， 0≤t≤T

(29)

設zΔ(t)為式(28)的Caratheodory數值解，則同樣可得

x(t∧ρΔ,R)=z(t∧ρΔ, R) ， 0≤t≤T

(30)

關于式(28)的Caratherodory數值解zΔ(t)與全局解z(t)兩者的關系，由文獻[5，14]的結論可得

其中H為依賴于KR,T,ξ,q，且與Δ無關的正常數。因此

再結合式(29)和(30)，上式即為

因此，

從而只要Δ足夠小，式(27)成立，即可證明式(23)成立，即數值解強收斂于精確解。

3 算 例

考慮下面的非線性一維隨機時滯微分方程。

dx(t)=(-2x3+2x(t-τ))dt+(|x(t)|3/2+
sinx(t-τ))dB(t)，t≥0

其初值為

xt0=ξ={cosθ:-1≤θ≤0}。

顯然，此方程滿足假設1，同時

滿足假設2。

利用Matlab軟件進行數值模擬，得到如圖1所示的截斷Caratheodory數值解。

相比文獻[11]所討論的不帶時滯項的隨機微分方程數值格式，本文所得到的結論是對[11]關于數值格式穩定性結論的推廣和補充。如果將算例中的時滯項舍去，那么該算例能夠滿足文獻[11]進行相關分析所需的條件，因此數值解也將有相應的收斂結論。

4 結 語

本文使用截斷Caratheodory法研究了非線性隨機時滯微分方程的數值解的強收斂性。對于給定的步長Δ，定義了離散時間下的截斷Caratheodory數值解，隨后構造了連續時間的截斷Caratheodory數值解

xΔ(t)，在局部Lipschitz條件和Khasminskii型條件下，證明了連續時間的截斷Caratheodory數值解強收斂于其精確解。