輔助元素在中考幾何中的應(yīng)用探究

田成東

摘要：初中幾何問題是教與學(xué)的難點(diǎn)，也是學(xué)生在中考中的失分點(diǎn)。在解決幾何問題中，有些題目不能僅僅依靠已知條件就能解決，這就需要改變數(shù)學(xué)策略，引入輔助元素。采取問卷調(diào)查法，對(duì)問題進(jìn)行分析，結(jié)果顯示為，學(xué)生在遇到幾何問題探究時(shí)，大部分學(xué)生顯得束手無策，選擇放棄或是跳過此類幾何問題，也有部分學(xué)生隨意填寫一個(gè)答案。因此，對(duì)輔助元素在中考幾何中的研究就有了實(shí)際價(jià)值意義，對(duì)一線教師在幾何體的教學(xué)中也有了借鑒作用。

關(guān)鍵詞：初中幾何;數(shù)學(xué)策略;輔助元素

一、輔助元素的闡述及其應(yīng)用價(jià)值

（一）輔助元素的闡述

在解決數(shù)學(xué)問題（主要指初中幾何問題）的過程中，往往會(huì)遇到許多瓶頸，阻礙著我們的解題進(jìn)度，增加了解題難度，按照一般的解題途徑分析會(huì)比較困難，這時(shí)我們需要根據(jù)題目條件，合理構(gòu)造輔助元素，建立已知與未知之間的“橋梁”，使問題得以解決。所謂構(gòu)造輔助元素就是適當(dāng)增加輔助元素，在幾何圖形中所講的輔助元素就是添加輔助線。對(duì)于中學(xué)生來說，能夠合理地添一條輔助線或者多條輔助線（某些難度系數(shù)較大的幾何問題添加一條輔助線無法解答），則思路豁然開朗，使問題得以求解。

（二）輔助元素在幾何問題中的應(yīng)用價(jià)值

數(shù)學(xué)是一門邏輯性、抽象性較強(qiáng)的科目，一些數(shù)學(xué)幾何問題無法通過題干直接獲得結(jié)論，需要結(jié)合已知條件與隱含條件進(jìn)行推導(dǎo)，將未知轉(zhuǎn)化成已知。這里所講的隱含條件，就是合理引入輔助線。引入輔助線的目的，旨在能夠?yàn)閷W(xué)生提供解題思路，引導(dǎo)學(xué)生使用逆向思維，從問題出發(fā)對(duì)題干進(jìn)行分析，找到問題與條件之間的聯(lián)系，把它轉(zhuǎn)化到自己熟悉的知識(shí)領(lǐng)域，使問題得以解決。輔助線的引入，有助于培養(yǎng)并提升學(xué)生的逆向思維與應(yīng)用知識(shí)的能力。隨著教育部門對(duì)義務(wù)教育進(jìn)行新課程改革，要求教師在教學(xué)中要培養(yǎng)學(xué)生的自主探究綜合素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展。本文所研究——輔助元素在中考幾何中的應(yīng)用探究，就是為了通過引入輔導(dǎo)元素，幫助學(xué)生找到解題方法，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生自主探究數(shù)學(xué)學(xué)科的奧秘，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，為學(xué)生種下學(xué)好數(shù)學(xué)的種子。

二、輔助元素在初中幾何中的運(yùn)用

新課程的改革，對(duì)學(xué)生的綜合素養(yǎng)要求也在不斷提升。在中考中，對(duì)學(xué)生知識(shí)能力的考查也更加全面。依照數(shù)學(xué)學(xué)科的屬性，幾何知識(shí)在中考考查中難度系數(shù)增大，題型較活。從幾個(gè)實(shí)例中來研究分析：

1.[2021銅仁市中考17題]如圖1，將邊長為1的正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°到AB1C1D1的位置，則陰影部分的面積是

分析：圖1陰影部分的幾何圖形是一個(gè)不規(guī)則的幾何圖形，若要直接求陰影部分的面積，較為困難。通過對(duì)題目和圖形的分析，結(jié)合旋轉(zhuǎn)的知識(shí)點(diǎn)，引入一條有效輔助線，就能為解決該幾何問題提供思路。如圖2，借助輔助線將空白部分的幾何圖形轉(zhuǎn)化為兩個(gè)全等的三角形，再運(yùn)用幾何的基本知識(shí)，就能求出陰影部分的面積。

2.[2021遵義市中考12題]如圖3，AB是⊙O的弦，等邊三角形OCE的邊CD與⊙O相切于點(diǎn)P，連接OA，OB，OP，AD，若∠COD+∠AOB=180°，AB=6，則AD的長是

分析：這類幾何問題就較為復(fù)雜，考察了圓與幾何圖形的聯(lián)系。這問題，很多學(xué)生就會(huì)顯得束手無策，不知從哪里找突破口。若是平時(shí)在聯(lián)系或者教師在教學(xué)活動(dòng)中有輔助線這一數(shù)學(xué)思想的滲透，那么解決這類問題或許就有一些思路。如連接OP，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作DF⊥AB于點(diǎn)F，如圖4所示;利用所作輔助線和題目已知條件可以分別求出OA=OP=OB=，PD=2，證明四邊形PEFD是矩形，求出AF，DF，再利用勾股定理求出AD的長。

3.[2020銅仁10題]，如圖5，已知正方形ABCD的邊長為4，點(diǎn)E在邊AB上，BE=1，∠DAM=45°，點(diǎn)F在射線AM上，且AF=，過點(diǎn)F作AD的平行線交BA的延長線于點(diǎn)H，CF與AD相交于點(diǎn)G，連接EC，EG，EF.下列結(jié)論：①△EFC的面積為;②△AEG的周長為8;③EG2=DG2+BE2;其中正確的是______________________。

分析：主要對(duì)②進(jìn)行分析，如果我們不引入輔助線，可以說這一問在初中幾何問題中解起來難度系數(shù)非常大，絕大部分同學(xué)只能靠猜了。要是能夠引入輔助線，問題的難度系數(shù)就會(huì)降低，能夠讓更多的學(xué)生拿到分?jǐn)?shù)。例如過點(diǎn)F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，如圖6所示，根據(jù)已知條件我們可以得出四邊形AHFP是正方形、四邊形ABQP是矩形，利用△FPG∽△FQC，可得出線段PG的長度，算出線段AG的長度，再根據(jù)勾股定理，在Rt△EAG中，可得出線段EG的長度，從而△AEG的周長就求出來了。

三、輔助元素在初中幾何中的研究結(jié)論

通過對(duì)上述幾何問題探討，使得讓我們的教師和學(xué)生意識(shí)到，合理有效的構(gòu)造輔助線，在解決數(shù)學(xué)問題中起到至關(guān)重要作用。用構(gòu)造輔助元素解決問題，可以使學(xué)生的數(shù)學(xué)思想得到滲透、數(shù)學(xué)思維得到培養(yǎng)、學(xué)科綜合素養(yǎng)得到提高，進(jìn)而提高學(xué)生分析和解決問題的能力。要想運(yùn)用好構(gòu)造輔助元素這種方法，應(yīng)全面深入分析所給幾何圖形的特點(diǎn)、條件間的關(guān)系以及條件與結(jié)論之間的關(guān)系，通過對(duì)數(shù)學(xué)問題的綜合分析，再合理構(gòu)造輔助元素。總而言之，輔助元素不僅為學(xué)生提供了解題思路，也為學(xué)生創(chuàng)造了數(shù)學(xué)想象的空間，這利于提升學(xué)生對(duì)幾何的探索能力和創(chuàng)新意識(shí)的發(fā)展，為后續(xù)的學(xué)習(xí)打下夯實(shí)基礎(chǔ)。

在上述運(yùn)用中，我們發(fā)現(xiàn)有時(shí)候所添加的輔助元素不止一條，有兩條或者兩條以上，一些學(xué)生在解決這類問題有了添加輔助線的思想，但是在運(yùn)用時(shí)存在的缺陷就是“怎么加、加哪里、加幾條”，要想運(yùn)用好這種方法是有一定難度的。這就對(duì)我們的教師在教學(xué)中提出了更高的要求，需要教師們?cè)谄匠５慕虒W(xué)課堂上，能夠?qū)δ承缀螆D形進(jìn)行不同的變換，注重培養(yǎng)學(xué)生的幾何空間想象能力，讓學(xué)生見識(shí)更多的幾何圖形，為學(xué)生在解決幾何問題時(shí)提供思路和方法。同時(shí)，我們的老師和學(xué)生們平時(shí)要多積累、多總結(jié)、多反思，體會(huì)其中的數(shù)學(xué)原理、數(shù)學(xué)思想，力求將這種方法廣泛應(yīng)用。通過對(duì)學(xué)生創(chuàng)造思維能力的培養(yǎng)，讓學(xué)生數(shù)學(xué)綜合素養(yǎng)能夠全面提升，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]魏國軍.輔助元素法解決數(shù)學(xué)問題的探索[J].中學(xué)生數(shù)理化·學(xué)研版，2012（04）：53.

[2]博海倫.構(gòu)造輔助元素在解決數(shù)學(xué)問題中的探究[J].解題教學(xué)研究，2020（06）：50-52.