實驗輔助概率論與數理統計教學的應用實踐

胡嘉卉

【摘要】本文論述了在概率論與數理統計課程教學中開展數學實驗的必要性以及應用實踐，結論表明數學實驗的開展既可以促進學生對理論知識的理解，又能夠提高學生的應用能力.

【關鍵詞】概率論與數理統計;數學實驗;應用

【基金項目】 2021河南工業大學本科教學研究項目（項目編號： lxyjy202101）;河南工業大學博士基金項目（項目編號： 2020BS037）.

1引言

在大數據背景下，計算機軟件及技術在各個學科領域內廣泛應用，概率論與數理統計中的理論和方法體現出越來越重要的作用.其中，數理統計中處理數據的方法應用尤其廣泛，遍及理學、工學、管理學和農學等專業領域.同時，這門課程也成為機器學習和人工智能發展的重要數學支撐.概率論與數理統計是理工科高等院校的必修課程，是碩士研究生入學考試的重要內容之一，好的教學效果不僅能為學生打下堅實的理論基礎，滿足其后續學習的需要，還有利于學生將所學知識應用到專業實踐中去.然而，在大多數高等院校，這門課程目前的教學模式主要是教師通過板書以及PPT講解理論知識，學生聽講并通過做作業對知識進行鞏固.這種方式雖然能達到讓學生掌握理論知識的目的，但在這種教學模式下，學生往往會覺得課堂枯燥，知識抽象難懂，學習興趣不高，掌握不了所學知識的應用方法，很難在后續的學習中把理論知識應用到專業中去.為了提升教學效果，使學生能將所學知識與實踐相結合，我們在原有課堂教學過程中適當引入一些數學實驗，這樣不僅能夠增強師生互動，活躍課堂氣氛，還有利于提高學生的動手能力.

筆者在教學過程中對部分重要且抽象的知識點應用MATLAB軟件開展了數學實驗，幫助學生深刻地理解所學內容，增強了學生的學習興趣，提升了教學效果.下面就筆者的教學實踐和效果進行論述和分析.

2概率統計課程中的實驗教學

2.1模擬擲硬幣實驗

歷史上，很多數學家都做過拋硬幣實驗，他們通過多次反復投擲均勻硬幣，統計出硬幣正面向上的頻率，發現當實驗次數較少時，頻率值隨機波動幅度較大;當實驗次數較多時，頻率值的隨機波動幅度較小;隨著實驗次數的逐漸增加，正面向上的頻率將逐漸穩定于固定值0.5.

然而在課堂上，成千上萬次投擲真實硬幣來重現這一結論是不方便也不現實的.我們可以帶領學生一起編寫MATLAB程序來模擬擲硬幣實驗，記錄并觀察多次實驗的結果，同樣可以得出相應的結論.

例1通過生成隨機數模擬連續多次投擲硬幣的結果，規定隨機數小于0.5時為正面，否則為反面.記錄重復10次，100次，1000次，10000次，100000次，1000000次實驗出現正面的頻率.

解 參考代碼如下：

frequency = zeros（6，1）;

for m = 1 ： 6

a=0;

A=rand（10^m，1）;

for i = 1 ： 10^m

if A（i，1） < 0.5

a=a+1;

end

end

frequency（m，1） = a/（10^m）;

end

frequency

運行結果列表如下：

表1列出了4組模擬結果.從結果可以看出，當實驗次數較少時，比如10次，正面朝上的頻率波動幅度比較大，最小0.3，而最大為0.7.但是隨著實驗次數的增加，正面朝上的頻率逐漸穩定于固定值0.5.學生通過計算機生動地重現了歷史上幾位著名數學家做過的擲硬幣實驗，理解頻率和概率的關系.同時，實驗直觀地解釋了大數定律，即事件發生的頻率依概率收斂于事件的概率，概率是頻率的穩定值.

2.2驗證泊松定理

泊松定理當n充分大（n≥20），而p較小（p≤0.05）時，服從二項分布的隨機變量X近似服從泊松分布，即P（X=k）=Cknpk（1-p）n-k≈λkk！e-λ，其中λ=np.

在課堂上，我們通過下面的例2，告訴學生如何用MATLAB中的命令計算二項分布的概率，從而避免分布律的復雜計算，然后通過調整參數，驗證泊松定理的結論.

例2某人對同一目標進行獨立射擊400次，設每次射擊時的命中率均為0.02，試求至少命中兩次的概率.

解設X表示400次射擊命中目標的次數，那么X～B（400，0.02），我們可以根據二項分布的分布律直接計算出答案0.9972.另外，由于此題的參數滿足泊松定理的條件，所以我們也可以用泊松分布的分布律近似計算概率.

同時，常用分布的概率還可以利用MATLAB命令計算，學生恰當應用軟件，可以避免煩瑣的計算.

參考代碼如下：

X=0：400;

R=binopdf（X，400，0.02）;

s=sum（R（3：401））

運行結果為s=0.9972.這里學生可以看到，程序運行結果和利用分布律計算的結果是一致的.

在此例子的基礎上，我們引導學生對參數做一些調整，通過繪制二項分布和泊松分布的曲線來驗證泊松定理的結論.繪制的曲線如圖1和圖2所示.

從繪制出的圖像可以看出，當p足夠小，n足夠大時，即泊松定理的條件滿足時，二項分布和泊松分布的分布律曲線是吻合的，如圖1所示的情形.而當這個條件不滿足時，如圖2所示，二者會出現較大偏差，此時不能用泊松分布近似二項分布.

2.3蒙特卡羅（Monte Carlo）模擬

蒙特卡羅模擬是一種計算方法，其原理是通過大量隨機樣本來求出一個系統中的未知量.該方法的一般實現過程為：先設計一個適當的隨機實驗，使得某事件發生的概率與所求量有關，然后大量重復該實驗，用事件發生的頻率代替概率，從而近似計算出所求.隨著計算機技術及軟件的發展，蒙特卡羅方法很適合通過計算機模擬實現，這樣能夠節省大量成本.

例3用蒙特卡羅法計算圓周率π的近似值.

解 在一個邊長為1 cm的正方形內畫一個半徑為1 cm的14圓，然后在這個正方形內生成均勻分布的隨機點，落在圓內的點數占總點數的π4，我們求出這個頻率，再乘以4，就得到π的近似值.通過不同數量的隨機點得到的π的近似值如下表所示.可以看出，隨機點越多，得到的π的近似值越精確，這也說明了隨著實驗次數的增多，頻率逐漸趨于概率.

2.4參數的區間估計

如果得到樣本向量X，我們調用命令[mu，sigma，muci，sigmaci] = normfit（X，alpha），可以得到參數的極大似然估計值mu和sigma，以及置信系數為1-alpha的置信區間muci和sigmaci.在課堂上講到區間估計內容時，我們先講解教材中的方法，然后通過例4和例5說明如何應用命令normfit求置信區間，比較得到的結果，并進一步闡明我們對于置信系數的理解.

例4從某年級中隨機抽取10名女生，身高如下：162 cm，159 cm，168 cm，160 cm，157 cm，162 cm，163 cm，159 cm，170 cm，166 cm.求該年級女生平均身高的95%的置信區間.（假設女生身高服從正態分布）

解 我們先用教材中的方法解答，再調用命令normfit求解，然后進行對比.

解法一： 設該年級女生的平均身高為μ，欲求滿足P（θ^1<μ<θ^2）=0.95的區間（θ^1，θ^2），先求滿足P-λ<X--μSn<λ=0.95的λ.由教材的附表查表可得λ=tn-1α2=t9（0.025）=2.26.

故PX--λSn<μ<X-+λSn=0.95，其中X-=162+…+16610=163，S2=1n-1∑ni=1（Xi-X-）2=18.43.所以μ的置信系數為95%時，置信區間為（159.6，165.6）.

解法二： 調用命令[mu，sigma，muci，sigmaci] = normfit（X，alpha），其中X為樣本向量，alpha=0.05.

參考代碼如下：

X = [162 159 168 160 157 162 163 159 170 166];

[mu，sigma，muci，sigmaci] = normfit（X，0.05）

運行可得：

mu =162.6000

sigma =4.2216

muci =

159.5800

165.6200

sigmaci =

2.9038

7.7071

其中，mu和sigma分別為總體期望和標準差的極大似然估計值，muci為本題所求，即平均身高μ的95%的置信區間，這與上面的計算結果是一致的.sigmaci為總體標準差的95%的置信區間.

由此可見，在掌握了基本理論的前提下，適當應用軟件解決問題是快捷方便的.

例5假設X～N（10，4），模擬產生X的100組容量為24的重復觀測樣本數據，對于每一組樣本數據利用normfit計算總體均值的0.95的置信區間，并考察在得到的100個置信區間中有多少個區間包含10.

解 參考代碼如下：

function n = ex4（）

n=0;

for i=1：100

x =normrnd（10，2，24，1）;

[m，s，sci] = normfit（x）;

if sci（1）<10 && sci（2）>10

n=n+1;

end

end

該函數的四次運行結果分別為n=96，n=95，n=96，n=99.該結果表明，如果置信系數為0.95，那么對于構造的100個區間來說，大約會有95個包含參數μ.事實上，對于一個具體的區間，如例4中得到的（159.6，165.6），它或者包含μ，或者不包含μ，兩者必居其一，說它包含μ的概率是0.95并不合適.因此，置信系數0.95的意義是指多次重復抽樣構造置信區間包含μ的頻率大約是95%.也就是說，置信系數實際上是對構造置信區間的這種方法的可靠程度的整體評價.這樣的教學模式一方面可以使學生學會應用軟件中的命令進行參數估計，另一方面，也使學生更深刻地理解了置信系數和置信區間的含義.

2.5假設檢驗

在講到假設檢驗部分時，除了給學生講授教材中的理論知識以及借助查表的檢驗方法外，我們還向學生介紹了MATLAB中的命令，以使其快速地得到結論.

例6某工廠生產10 Ω的電阻，根據以往生產的電阻的實際情況，可認為其電阻值服從正態分布，標準差σ=0.1 Ω.現隨機抽取10個電阻，測得它們的阻值為： 9.9 Ω，10.1 Ω，10.2 Ω，9.7 Ω，9.9 Ω，9.9 Ω，10 Ω，10.5 Ω，10.1 Ω，10.2 Ω，試問通過這10個實測值能否認為該廠生產的電阻的平均阻值為10 Ω？

這個題目我們可以用教材上的方法結合查表來做，這是我們課堂上講授的基本理論和方法，是這部分內容的基礎.基于此，我們進一步引導學生用MATLAB命令快速地解決問題，拓展學生的解題思路，增強學生對知識的理解和動手解決問題的能力.

解 我們先采用教材上的方法解答，再調用命令ztest解答，并對得到的結論進行對比.給定顯著性水平α=0.05.原假設H0：μ=10;對立假設H1：μ≠10.

解法一：選取適當的統計量，構造小概率事件：

PX--μσn>λ=0.05

查表得到λ=1.96.由樣本值可得X-=10.05，將樣本值代入統計量得：

X--μσn=10.05-100.110=1.58<1.96

即統計量的取值落入接受域，故接受原假設H0.

解法二：應用命令ztest，可以更方便地得到結論.

參考代碼如下：

X=[9.9 10.1 10.2 9.7 9.99.9 10 10.5 10.1 10.2];

sigma=0.1;

mu=10;

alpha=0.05;

h=ztest（X，mu，sigma，alpha，0）

運行結果為h=0.

這表明，在顯著性水平α=0.05時，接受原假設H0.可見應用軟件解決問題減少了計算量，提高了效率.需要注意的是，雖然軟件的輔助可以給問題解決帶來方便，節省時間，但是我們并不能忽略基本理論和數學思想的講授，學生只有在理解并充分掌握了基礎數學理論的前提下，適當應用軟件，才能起到事半功倍的效果.

3結束語

在概率論與數理統計課程的教學中，教師適當引入數學實驗，既可以加深學生對抽象理論知識的理解，豐富解決問題的思路，又可以提高學生應用知識的能力，進一步增強了學生的學習熱情，提高了學生的學習興趣，活躍了課堂氣氛，增強了教學效果.本文論述了課程中開展的數學實驗的部分例子，它們都具有理論內容重要、編程簡單易行的特點，非常適合在課堂教學過程中同時開展.在不同學時、不同專業的課程教學中，我們會根據總課時量、課程進度、學生的學習能力等具體情況，適當增加或者減少部分數學實驗.如果授課對象是軟件應用能力比較強的理工科學生，我們還可以通過布置作業的形式讓他們自行編程，實現一些簡單的實驗，并把該作業成績按一定的權重計入期末總評成績中，以實現對學生學習效果的全方面、多角度考查.

【參考文獻】

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