高中“概率與統計”習題設置研究

孫露 柴小雨

【摘要】本文筆者基于統計的情境性以及數據分析素養的內涵，從情境類型和數據分析兩個視角對高中數學教材中“概率與統計”部分習題的設置進行統計與分析，依據分析結果提出適當增加科學情境和職業情境類題目以及增加收集數據類、整理和分析數據類題型的比例等教材優化方案與編寫建議.

【關鍵詞】高中;概率與統計;習題;情境;數據分析

【基金項目】安徽省教育科學研究項目“基于核心素養下高中生數據分析水平現狀及其培養研究”（JK19049）的階段性成果.

習題訓練作為學生學習過程中必不可少的重要環節，有助于加深學生對數學知識的理解，幫助學生形成良好的數感和科學的思維模式，是增強學生數學思維的具體形式與提升數學能力的有效途徑.通過習題訓練能夠有效提高學生的綜合素質.“概率與統計”作為發展學生的數據分析核心素養的主要內容，隨著信息時代的發展，扮演著越來越重要的角色.“數據分析”作為數學六大核心素養之一，“是指針對研究對象獲取數據，運用數學方法對數據進行整理、分析和推斷”[1]，主要通過“概率與統計”這一部分內容的學習逐步養成.因此，為了多方面提高學生的各項能力，應對教科書中的習題進行有效的選擇與設計，并且結合“概率與統計”在高中數學中的地位，對教科書中相關習題的設置進行整理與分析.

一、高中“概率與統計”習題的教學功能

依據“概率與統計”內容的難度以及基本學習要求，分別在高中必修和選修課程中設置了相應的學習內容.同時依據學生未來專業發展的需要，文科與理科的學習要求和側重點也不同.在人教A版必修3中，設計了概率初步和統計初步的內容，在選修1-2和選修2-3中設計了統計案例，在選修2-3中設計了對概率中隨機變量和一些離散變量的隨機模型的學習，“概率與統計”內容的教學課時也有所增加，充分凸顯出了“概率與統計”在高中數學中的地位.

習題作為高中數學學習的重要組成部分之一，是學生認識問題、理解問題、解決問題的鑰匙，對提高學生思考和探究問題的能力有積極意義.“概率與統計”部分的例題及課后習題則圍繞數據分析這一核心素養，有助于學生在問題的分析與解決過程中形成用理論、用數據說話的意識、習慣.具體來說，有以下兩個方面：

首先，“概率與統計”部分的例題與習題具有指導作用，這一部分的習題大多與我們的實際生活相關，可以讓學生更容易進入教學情境，激發了學生解決問題的興趣，引起了學生對知識的渴望，促進了他們數學思維的養成.

其次，基于統計的全過程特征，學生在相關習題的解決過程中不僅能經歷數據收集、分析、處理的全過程，還學會將實際問題轉化為統計模型，積累統計問題的解決經驗，在鍛煉其基本思維能力的同時有助于他們感受統計的實用性.

二、高中“概率與統計”習題基本情況

選取被廣泛使用的人教A版教材對其中的“概率與統計”習題設置進行研究.同時考慮到文理類學生的學習要求不同，選取了高中學生共同學習的必修3及選修系列2-3中所含有的統計知識及其習題.

由表1可以看出必修3中的第二章、第三章以及選修2-3中的第二章的習題數相差不多，分別為55，50，62題，選修2-3第三章的習題數略顯單薄，但從總體來看，各章節習題量的設置較為合理、均勻.

三、習題類型的統計分析

基于習題的分類以及“概率與統計”部分在教材中所出現的題型，可將其主要分為：計算題、簡答題、作圖題、開放題.具體的習題類型統計情況如表2：

通過表2可以很清楚地看出習題的類型主要集中在計算題和簡答題上，其中計算題的占44.8%，簡答題的占47.6%.相對傳統的封閉題而言，教科書在開放題這一類型的設置上則較少，僅占3.8%.梳理發現，計算題主要圍繞數據的分析和概率初步這些涉及所學的概念和公式的部分，較多集中在概率這一部分，需要學生將基礎的概念和公式掌握牢固，且能用靈活運用;簡答題則主要考查學生對新知識的運用和理解，要求學生能在解決問題后分析出“為什么”，題目難度相對較高，主要目的是通過題目來培養學生的數據分析能力.

四、習題情境的統計分析

數據作為“概率與統計”的主要研究對象，情境性是其主要特征，且情境是產生數學概念、發現數學問題、提出和解決數學問題的背景、前提、條件和基礎.因而選取PISA對于情境類型的劃分，將所考察的“概率與統計”習題分別按照無情境、個人情境、社會情境、職業情境、科學情境五種情境進行分類統計.

表3數據表明，“概率與統計”的情境類型分布有較大差異.在183道課后習題中，無情境的習題出現最多，所占百分比約為32%;隨后為社會情境類習題，所占比例在28%左右;排在第三的為個人情境類習題，占比約為19%;而職業情境類和科學情境類習題所占比例最低，分別約為11%和10%.

五、數據分析內涵的統計分析

“數據分析”作為數學核心素養的一個重要內容，也是統計的核心所在.《普通高中數學課程標準（2017年版）》對其的內涵解讀主要包括收集數據、整理和分析數據、推斷和評價三方面.其內涵分別為：

（1）收據數據：對有價值的問題采用多種收集數據的方法，并結合具體問題選擇合適的抽樣方法;

（2）整理和分析數據：可以運用合適的統計圖，求出相應的統計量，直觀認識變量間的相關關系;

（3）推斷和評價：運用統計的基本方法和思想解決實際問題，體會“隨機性”與學生習慣性的確定思維的不同，對數據處理過程做出評價.

結合以上三方面內涵對相關習題進行整理與統計（見表4）.

由表1的“概率與統計”習題的分布情況可以看出，必修3的第二章和選修2-3的第三章主要涉及統計知識，其他兩章主要為概率內容，在運用數據分析素養進行習題設置統計時也發現，必修3的第二章和選修2-3的第三章中更多涉及收集數據、整理數據和分析數據類型的習題，如必修3第二章的第一節內容就是抽樣方法，這一節的習題基本都是選擇不同的抽樣方法收集數據;必修3第二章的第二節基本上都是對數據的整理與分析.從總體來看，概率部分的內容屬于運用統計方法與思想解決問題，即推斷和評價類，總題數達到114題，占比約為62.3%.收集數據是分析數據的前提.選擇合適的抽樣方法，并篩選數據，整理數據，分析數據采用恰當的統計圖，更直觀地反映變量間的相關關系，這樣才能提升學生的數據分析素養，但教材中的收集數據與整理分析數據類習題數相對較少，占比僅為16.4%和21.3%，且習題的知識點綜合程度較低，基本上是“就知識點論知識點”，在概率章節，收集數據等題型很少出現.

六、建議與思考

（一）均衡習題情境類型

統計結果反映出高中“概率與統計”習題主要是圍繞社會情境和個人情境進行設計的.主要有以下兩方面原因：首先從學情來看，處于青春期的高中生對新鮮事物充滿好奇，當習題設置的情境能夠迎合學生的興趣、抓住學生的眼球時，學生才愿意去接受習題中所包含的信息.教師可以結合學生熟悉的個人情境、社會情境，有效溝通數學與學生生活間的聯系，提升學生學習數學知識的興趣.其次，“概率與統計”從具體情境中來，也將具體運用在現實情境中，優秀的習題是從生產、生活中選取得到的，利用這些熟悉的情境可以讓學生消除陌生感，從而合理地通過已有現實經驗來理解數學知識與方法.

但數據表明，教科書中有關科學情境的習題占比較少.數學作為自然科學重要的一部分，在高中其他學科課程的學習中時常會用到，因而可以借鑒其他國家數學教材的經驗將其他學科內容有效融入數學習題之中，使各個領域的知識相互啟發、互為補充.例如，必修3中“2.3變量間的相互關系”一節中以某種身體可以吸收汞的魚為研究對象的習題.該題將化學知識作為情境融入習題中，既讓學生認識到變量間的相互關系，也讓學生意識到科學與生活的息息相關，認識到汞元素的危害性，知道當出售的魚中若含有超量的汞，則不利于人們的身體健康.同時，對職業情境類的習題整理后發現，題量占比不僅較少且職業類型較為單一，主要以零件加工、成本計算等呈現.雖然對于高中生來說，離工作還有一段距離，但是提前在數學學習中了解職業情境更有利于學生的思想成熟，讓學生體會到數學知識在以后工作中的應用，可以提高數學學習的目的性.

因此，高中數學教材“概率與統計”部分的習題可以進行適當修改，適當增加科學情境和職業情境類題目，在從學生實際知識需求出發的同時注意情境設置的多元化，讓學生在習題練習中感知數學的廣泛應用性.

（二）凸顯統計的過程性

史寧中教授認為培養學生的數據分析觀念需要讓學生了解數據獲得、分析、處理以及做出決策的全過程，讓其在過程體驗中領悟數據分析的無窮魅力，從而提高數據分析素養.但統計結果表明，收集數據類以及整理和分析數據類題目均相對較少，占比只有16.4%和21.3%.

“概率與統計”不能僅僅局限于公式和計算，要讓學生理解統計的動因，掌握統計的具體步驟，分析統計結果，并評價統計的意義.學生只有親身參與統計的整個過程，才能深刻理解統計的意義.學生從小接受的數學知識甚至其他學科知識大多數都是確定性的，主要依靠單純記憶和套用公式機械計算，推斷與評價類題型的練習可以讓學生感受確定性與不確定性的差異，鍛煉活躍的思維，提升“數據分析”核心素養.例如，選修2-3“3.1回歸分析的基本思想及其初步應用”中有涉及我國1993～2002年國內生產總值數據的習題，就有效地融入了社會情境.但數據相對陳舊，因此教師可以進一步增加學生收集數據的環節或者在原有數據的基礎上組織學生將統計年份適當加長，讓學生了解GDP的統計方式以及數據的來源，并在收集整理數據的同時使其切實體會到我國近年來的社會經濟變化，感受到國家GDP的變化趨勢，感知國家綜合實力的增強，搭建學生與社會親密接觸的平臺.這樣不僅有助于學生提高社會意識，還能讓學生認識到數據統計對社會的重要性.

（三）加強習題的開放性

數據分析是有目的性的活動，人們進行數據分析是為了通過它來解決某些實際問題.習題是用來發展學生的數據分析觀念的，因此習題的類型與數目設置需合理.教科書在“概率與統計”這一內容的不同類型習題數量設置上有著明顯的差異，計算題、簡答題相對較多，而側重思維發散的開放性問題則少有涉及.因而，在“概率與統計”部分習題設置上建議可減少機械的同類型問題訓練，在給學生減負的同時使得題目更具代表性，另外，還要多增加開放題的設計，結合開放題的特征——條件不完整或是結論不封閉，鼓勵學生用自己的方式去收集、分析數據，加強學生的創新意識.例如，教師可以結合大家日常熟悉的溫度變化以及秋游等生活情境，鼓勵學生利用各種方式收集未來一周的氣溫數據，并依據所收集數據對秋游活動的日期安排以及服裝選擇等實際問題做出決策.這一開放性問題不僅要求學生將一系列的現實生活中的數據轉化為數學信息，還要求學生能夠用數學思維去思考一些超出數學課本知識的問題，運用數學知識去解決實際問題，要有能將知識整合在一起并分析的能力.在此過程中，學生需要基于網絡收集數據，合理選擇合適的表示數據的方式，發現數據蘊含的規律并預測某一時段的氣溫，增強了自身分析數據、靈活解決問題的能力.

因此，在教材編寫時可以適當增加收集數據類題目，提高整理和分析數據類題型的比例，讓學生通過自主探究，通過收集、處理數據，養成獨立思考與分析問題的好習慣，在體會“隨機性”的同時提升數學核心素養.

【參考文獻】

[1] 陳曉，周仕榮.從“概率與統計”考點看高考中的“數據分析”學科核心素養：以2016-2017兩年高考理科數學全國卷為例[J].數學通報，2018，57（08）：44-47.

[2] 朱琛，唐恒鈞，徐元根.中澳初中數學教科書習題情境的比較分析：以“統計與概率”領域為例[J].現代中小學教育，2018，34（01）：91-95.

[3] 胡典順，雷沛瑤，劉婷.數學核心素養的測評：基于PISA測評框架與試題設計的視角[J].教育測量與評價，2018（10）：40-46，64.

[4]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·數學必修3[M].北京：人民教育出版社，2012.

[5]人民教育出版社，課程教材研究所，中學數學課程教材研究開發中心.普通高中課程標準實驗教科書·數學選修2-3[M].北京：人民教育出版社，2007.