破除“函數”偽裝，直切“幾何”本質

[摘要]函數與幾何壓軸題往往融合了函數、幾何兩大知識內容，問題難度較大，學生容易陷入思維誤區，難以構建解題思路.該類問題可視為是披著“函數”偽裝的幾何題，問題解析可重點關注其中的幾何特性，挖掘問題的幾何關系文章將對一道函數與幾何考題開展解法探究并反思教學，提出幾點建議

[關鍵詞]函數;幾何;數形結合;等角;對稱;模型

作者簡介：黃劉洋（1980），本科學歷，中小學一級教師，從事初中數學教學與研究工作，曾獲徐州市初中數學優質課二等獎.

問題綜述

函數與幾何是初中數學兩大知識模塊，也是中考數學的重點，以二次函數為背景融合幾何圖形的考題常以壓軸題的形式出現，該類考題往往探究兩大問題：一是幾何元素間的函數關系，

二是函數圖像中的圖形性質.在某些二次函數與幾何壓軸題中，雖然融合坐標系、點坐標、拋物線、直線等函數內容但合理利用圖形性質，從幾何視角加以突破往往可以得到意想不到的解題效果.即破除問題的“函數”偽裝，可發掘考題的“幾何”本質，不會影響最終的結果，解析過程還更為簡捷

向題探究

2020年常州市的中考數學第28題為典型的二次函數與幾何壓軸題，但在解答時可從幾何視角進行思路探究，下面具體探討解法.

考題（2020年常州市中考數學第28題）如圖1，二次函數y=x2+bx+3的圖像與y軸交于點A，過點A作x軸的平線交拋物線于另一點B，拋物線過點C（1，0），且頂點為D，連接AC，BC，BD

（1）填空：b=

（2）點P是拋物線上一點，點P的橫坐標大于1，直線PC交直線BD于點Q.若

∠CQD=∠ACB，求點P的坐標

（3）點E在直線AC上，點E關于直線BD對稱的點為F，點F關于直線BC對稱的點為G，連接AC.當點F在x軸上時，直接寫出AC的長.

思路突破：（1）使用待定系數法即可求出b的值，將點C的坐標代入二次函數解析式y=x+bx+3中可求得b=-4.

（2）該問設定拋物線上一動點P，構建了等角∠CQD=∠ACB，求點P的坐標，幾何屬性顯著.可按照如下步驟進行突破：第一步求出圖像中關鍵點坐標，第二步把握圖像中的特殊圖形和特殊性質，構建幾何模型求解.

第一步，根據題干條件求關鍵點坐標，可知點A（0，3），B（4，3），C（1，0），D（2，-1）.

第二步，提取圖像中的特殊圖形和特殊關系，利用其幾何特性定位關鍵點.

由點坐標可知BC=3V2，CD=V2，BD=2V5，則有BC+CDP=BD由勾股定理的逆定理可得∠BCD=90°則△BCD為直角三角形.在Rt△BCD中，tan∠DBC-DC1=.而在Rt△AOCBC3中，已知OC=1，A0=3，則tan∠CAO=OC1所以可獲得等量關系∠DBC∠OAC.

根據點B和點C的坐標可求得直線BC的解析式為y=x-1，該直線與坐標軸的夾角為45.過點C作AB的垂線，設垂足為點H，則∠ACB=∠ACH+∠BCH，其中∠BCH=45°，所以∠ACB=45°+∠ACH，又知∠ACH=∠OAC，所以∠ACB=45+∠OAC.

若直線BD與x軸的交點為點K，則有∠CKD=∠BCK+∠DBC，其中∠BCK=45°，推得∠CKD=45°∠DBC=45°+∠OAC，即∠CKD=∠ACB當Q位于CD的上方時，若∠CQD=∠ACB，此時直線BD與x軸的交點就為點Q的位置，即點Q與點K相重合，如圖

2.拋物線y=x2-4x+3與x軸的另一交點為P，令y=0，解得x=1或x=3，所以點P的坐標為（3，0）

顯然在CD的下方，BD的延長線上存在一個對稱的點Q，此時點Q與點C，K剛好構成一個以點C為頂點的等腰三角形，此時∠CKQ=∠CQK.如圖3，過點C作BD的垂線，設垂足為點M.利用點坐標可得直線BD的解析式為y=2x-5，則可設直線CM的解析式為y=ーx+，代入點坐標可得=，則直線CMx+，聯立直線CM與BD的方程，可解得點M的坐標為點M為線段KQ的中點，由中點坐標公式可得點Q的坐標為則直線CQ的105解析式為y=聯立直線CQ與拋物線的解析式，可得交點P的坐標為

綜上可知，點P的坐標為（3，0）或（3）該問進行了二次對稱設點，其中點E關于直線BD的對稱點為F，點F關于BC的對稱點為C，問題幾何屬性突出，顯然可直接利用對稱性質來構建解析模型.題干設定點F位于x軸上，點E位于直線AC上，可設定直線AC關于直線BD對稱，則對稱直線與x軸的交點就為點F，如圖4所示

設直線AC與BD的交點為N，聯立兩直線解析式，可求得點N的坐標為8觀察可知∠ACB=∠CNB+∠DBC，又知∠ACB=45°+∠DBC，顯然∠CNB=45°，由對稱性可得∠DNF=45°，即∠CNF-90°，直線AC⊥NF.直線AC的斜率kc=-3，則直線NF的斜率為kw=，結合點N的坐標可得直線NF的解析式為y則點F的坐標為（7，0則CF=CC=6.由于直線BC與x軸的夾角為45°，由對稱性可知△CFG為等腰直角三角形，即CG⊥x軸，所以點G的坐標為（1，6）.結合點A（0，3）可得線段AC=

解后反思

上述考題為二次函數與幾何壓軸題，后兩問為核心之問，問題以函數曲線和坐標系為背景分別探究等角條件下的動點坐標以及二次對稱關系所得線段長.從問題的突破過程來看，破除問題的“函數”表象，深刻挖掘問題的幾何特性是關鍵，下面對考題進行反思探討.

1.第二問的解法思考

考題所涉兩問均含有極強的幾何屬性，第二問探究等角關系條件下的動點坐標，上述突破過程充分挖掘出兩大幾何特性：一是∠BCD為特殊的直角，二是∠DBC=∠OAC，為后續的等角轉化提供了條件.關于點Q的兩個位置，常規思路是分別討論，故情形二還需獨立探究，但從幾何等角視角來看，則可視為關于特定直線的對稱情形，可構建等腰三角形，利用特殊三角形性質直接完成突破，這是幾何法突破的優勢.

2.第三問的解法思考

第三問題干進行了二次對稱變換，函數背景下求解對稱點坐標的常規思路是求直線解析式，聯立直線方程求交點，其復雜程度較高，計算量較大，很容易出錯.但上述突破過程完全將其視為特殊的幾何問題，挖掘出其中的關鍵條件∠CNB=45°，確定了直線AC⊥NF，從而簡潔地求得點F和點C的坐標.整個過程圍繞幾何對稱構建思路，把握圖像中的特殊圖形一等腰直角三角形，特殊關系一幾何垂直，完成了函數問題的幾何轉化與突破.

3.問題突破的深度思考

函數與幾何壓軸題的信息量較大，其特殊之處在于以坐標系為背景，故使得幾何圖形具有定位特點.但本質上還可以視為幾何問題，解析重點還是幾何特性分析，實際解析時仍需破除問題的函數外表，挖掘幾何特性，直觀分析問題.而在實際探究過程中，建議采用數形結合的方法，從幾何視角切人問題，挖掘其中的特殊性質，構建直觀的模型，巧妙利用函數的幾何意義突破.可按照如下步驟進行解題：

第一步，觀察幾何圖像，理解問題條件;

第二步，根據圖形的性質和關系挖掘幾何元素的聯系;

第三步，利用函數與幾何的關聯，找準切入視角，綜合使用幾何分析與函數解析法，由幾何特性構建模型，運用方程思想處理交點.對于涉及多情形的問題，注意使用分類討論法，全面探究結論的可能性.

教學建議

1.引導探究，歸納解法

函數與幾何壓軸題是中考常見題型，問題結構較為復雜，學生理解存在定難度，往往難以破除“函數”表象，不能準確把握問題的幾何特性教學中建議采用引導探究的方式，以典型問題為例，指導學生剖析問題條件，理解圖像特征，挖掘隱含特性.必要時可以采用圖像拆解的方式，隱去圖像中的不必要元素，如拋物線、直線等，引導學生聚焦幾何圖形，提取圖中的特殊圖形和特殊關系.幾何推理、數形解析是突破該類問題的常用方法，教學中要注重該方法的總結歸納，引導學生掌握方法精髓，充分數形結合，合理聯想構形，使學生真正掌握解題策略.

2.知識優化，思想滲透

函數與幾何問題涉及初中數學兩大知識模塊，其中的概念、定理、公式是最基礎的內容，僅僅理解其本身是不夠的，還需深刻挖掘定理定義的深層內容，如斜率的幾何意義、交點與方程的聯系，因此教學中有必要依托知識關聯深化學生認知，形成完善的知識體系.

另外，教材的定義定理是知識的外在形式，而數學思想是對知識的內在升華教學中應加強對思想方法的滲透.以函數與幾何問題為例，需要引導學生感悟解題過程中的數形結合思想、構造思想、分類討論思想、方程思想等，逐步提升學生的思維水平.

總之，考題教學不能一味地就題論題，僅關注問題的常規解法，這樣容易局限學生思維，教學中應注重問題探究，引導學生深度挖掘問題，透過問題表象，形成類型問題的本質解法.課堂教學應適時點撥學生，拓展學生思路，讓學生充分參與課堂討論，提升學生思維的靈活性.