分類幾何多情形，討論問題解析法

[摘要]幾何多情形間題在初中數學中十分常見.幾何多情形的成因是多樣的，文章列舉幾何特征不具體、對應關系不明、元素結構多樣、落點位置不定四大類型，總結類型問題的常涉內容及解題思路，并開展教學反思，提出相應建議

[關鍵詞]幾何;多情形;特征;對應;結構;落點

作者簡介：王芳（1968-），本科學歷，中學高級教師，從事中學數學教學與研究工作

幾何多情況分析是初中數學的重難點之一，問題解析需要把握造成多情形的因素，并對其加以分類討論.往往造成幾何多情形的因素是多樣的，如幾何特征不具體、對應關系不明、線段關系多樣、落點位置不定等，下面對其深人探究，并開展教學反思

幾何多情形舉例探討

類型一：幾何特征不具體造成的多情形

幾何特征不具體可以造成多情形，出現多解，如直角三角形的直角、等腰三角形的腰、特殊角度等.問題解析時需要結合題干信息討論標準，利用幾何特征來分析解答，但需要根據題意確定需要討論的具體情形，確保分析合理.

例1如圖1所示，已知在△ABC中AB=AC=6，BC=8，點P是底邊BC上不與點B和C相重合的一點.∠DPE=∠B，且D邊始終經過點A，另一邊PE與AC交于點F，當△APF為等腰三角形時，則PB的長為

分析求△APF為等腰三角形時PB的長，題干沒有設定等腰三角形的腰，故問題因等腰三角形特征不具體造成了多情形，需要分別討論AP=PF，AFPF，AF=AP三種情形，具體如下解：①當AP=PF時，可證△ABP≌△PCF，則PC=AB=6，所以PB=2②當AF=PF時，可證△ABC△FAP，由相似性質可得APAC6PFBC8從而有PC=，所以PB=③當AF=AP時，點P將與點B相重合，不符合題意，故該情形不存在.

綜上可知，PB的長可為2或者點評本題目造成多情形的原因是題干沒有設定等腰三角形的腰和頂點從而造成可能出現三種等腰情形，屬于因幾何特征不具體造成的多情形.上述解析中的第三種情形不存在，是由于題干設定了兩點不相重，因此在實際解題時需要準確把握問題的限定條件.類型二：全等或相似對應不明造成的多情形幾何中常出現求證三角形相似或全等的問題，而在問題分析時需要辨析“△ABCい△A'B'C"”與“△ABC和△A'B'C'相似”“△ABC≌△A'B'C'”與“△ABC和△A'B'C全等”，實際上出現符號“い”和“≌”則表示三角形的相似或全等的對應關系明確，否則對應關系不明，此時就需要對其加以討論.2在圖2所示的矩形ABCD中，AB=15cm，BC=10cmn點P從點A以2cm/s的速度沿著AB邊向點B移動，同時點Q從點D以1cm/s的速度沿著DA邊向點A移動.使用時間表示動點的移動時間（0《《6），試分析為何值時，以點Q，A，P為頂點的三角形可與△ABC相似？

分析本題目屬于幾何動點問題，題干設定了兩個動點的運動條件（速度、方向、始點和終點），需要分析△AQP與△ABC相似時的時間，顯然沒有設定相似對應關系，因此需要分別加以討論.根據題意，分析可知△AQP與△ABC相似，有兩種情形：△ABCい△PAQ或者△ABCい△QAP

解：①當△ABCい△PAQ時，由相似性質可得ABBC代入線段長可得APAQ1510可解得2t10-t

②當△ABCい△QA4P時，可得CBBA代入線段長可得可解AQ2t10-t得綜上可知，當為或者二時，以點Qの，A，P為頂點的三角形可與△ABC相似.

點評上述涉及動點的三角形相似問題中存在相似對應不明的情形，故需要對其中的相似關系進行討論，而討論的相似情形是由幾何特征和動點條件來確定的.在實際解題時需充分理解題千信息，確定是否存在多解情形類型三：元素結構多樣造成的多情形

幾何中也存在元素結構多樣造成的多情形問題，如平行四邊形中的兩點所成線段關系、幾何翻折中兩線段的相對關系等.解題時需要充分考慮元素的位置關系、組成關系對幾何圖形造成的影響，合理分類，準確討論.

例3已知三角形紙片ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AC=30cm.現將該紙片沿著過點B的直線進行翻折，使得點A落在斜邊BC上的點E處，記折痕為BD（如圖3），剪去△CDE后可得雙層△BDE（如圖4），再沿著過△BDE的某頂點的直線將雙層三角形剪開，使得展開后的平面圖形為平行四邊形，則所得到的平行四邊形的周長為cm

分析本題目屬于圖形翻折問題，要求形成平行四邊形，但組成平行四邊形的線段關系多樣，會造成多種情形，主要有以下兩種情況：一是以DF為平行四邊形的對角線，二是以DF為平行

四邊形的一邊，下面結合圖形討論

解：分析R△ABC，AC=30，∠C=30°，則AB=BE=10V3，由對稱性可知∠ABD=∠EBD=30°，所以AD=DE=10，CD）=20.

①當沿著過點E的直線剪開，展開后的圖形是以DF為對角線的平行四邊形ADEF時，如圖5所示，此時AD和DE為相鄰邊，有AD=DE=10，所以平行四邊形ADEF的周長L=44D=40.

②當沿著過點D的直線剪開，展開后的圖形是以DF為一邊的平行四邊形DFBC時，如圖6所示，此時DF和DG為相鄰邊，由折疊性質可得DG=DF，DF∥AB，所以由比例性質可得FCDABCA則AB=10V3、DF_20V3所以平行四邊形DFBG的周長L=4DF=80V

綜上可知，所得到的平行四邊形的周長為40cm或者80V3cm點評本題目中涉及了圖形翻折，由于沒有設定剪開的直線，使得DF在平行四邊形中的結構不確定，可為其邊長或對角線，從而造成問題的多解.幾何元素的多樣性需重點研究線段或角度在圖形中的結構多樣，注意培養多解思維.

類型四：幾何落點位置不定造成的多情形

在動態幾何中往往會涉及落點，有時落點的不同也會造成幾何多情形，影響整體圖形結構，此時就需要對落點位置進行討論，實際討論過程中建議構建模型，采用數形結合的方式.

例4（2020年合肥市六區聯考卷）如圖7所示，△ABC為等邊三角形，已知AB=4cm，點M為BC上的中點，點N為AB上的任意一點（不與點A和B相重合）.如果點B關于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊△ABC的邊上，則BN的長為

分析本題目為翻折問題，需要研

究點B的落點，題千只設定其對稱點B落在△ABC的邊上，但沒有具體到哪一邊，常規來講有三種可能，但由于點M的位置固定，則落點B'只可能在AB和AC邊上，需要討論這兩種情形.解：①當點B關于直線MN的對稱點B'恰好落在等邊三角形ABC的邊AB上時，如圖8所示，則MN⊥AB，有BN=B'N由題意可知AB=AC=BC，∠ABC-60°，BM=BC=-AB=2，則BN=-BM=1

②當點B關于直線MN的對稱點B恰好落在等邊△ABC的邊AC上時，如圖9所示，則MN⊥B'B，此時四邊形BMB'N是菱形.又知∠ABC=60°，點M為邊BC的中點，所以BN=BM=BC=2

綜上可知，BN的長為1cm或者2cm點評本題目中的多情形是由落點所在位置不確定造成的，但由于點M的位置固定使得落點只有兩種情形.對于幾何中的多情形問題，判斷討論情形是難點之而合理利用幾何性質構建解析模型則是難點之二，學習時需要關注幾何知識融合.

多情形探究教學建議

1.注意總結歸納，探究多解成因幾何多情形問題類型較多，上述探究了其中常見的四種類型及其成因，建議教學中結合實例引導學生歸納總結幾何多情形問題，分析引發多情形的因素，總結討論標準，形成解題方法策略.以類型一的幾何特征不定為例，可以從等腰三角形、直角三角形、平行四邊形、矩形等特殊圖形人手總結特征，歸納多情形的圖形結構及性質.

2.關注數學思想，合理滲透解題幾何多情形探究的核心思想為分類討論，其實質為根據研究對象共性與差異將問題分為多種類的思想方法，該思想方法可將復雜問題轉化為幾個簡單問題的組合.建議教學中引導學生理解分類討論思想的內酒，掌握思想方法使用的三大原則

①統一標準;②分組獨立;3③逐級討論.同時引導學生學習利用分類討論思想解析幾何多情形問題的基本思路.

3.培養數學思維，提升學生邏輯幾何多情形是造成多解的原因所在，該類問題較為特殊，對于學生的思維嚴密性有著較高的要求，因此在教學中有必要有意識地加以培養.如教學類型二中的相似或全等對應不明引導學生理解數學符號和文字語言之間的差異，考慮到幾何多情形問題的分析思路較為重要，教學時可以結合典型例題，按照“圖形理解→多情形分類→建模討論→總結歸納”的思路進行，培養學生的邏輯思維，促進解題能力的提升.