關(guān)于幾何“新定義”問題的探究與反思

[摘要]幾何“新定義”問題對(duì)于學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備和思維能力有著較高的要求，近幾年備受出題人青睞，開展幾何“新定義”考題教學(xué)探討十分必要.本文將以道幾何“新定義”模考題為例，進(jìn)行思路突破，總結(jié)解題策略，反思教學(xué)實(shí)踐，與讀者交流

[關(guān)鍵詞]幾何;綜合;新定義;函數(shù);思想方法

作者簡(jiǎn)介：邱宗泉（1986-），本科學(xué)歷，一級(jí)教師，從事中學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)工作，曾獲三明市第三期骨干教師

背景綜述

近幾年中考和模考試題中出現(xiàn)了眾多以“新定義”為背景的函數(shù)與幾何綜合試題，該類試題常作為壓軸題綜合考査學(xué)生獲取知識(shí)和處理問題的能力，同時(shí)其中所蘊(yùn)含的數(shù)形結(jié)合、分類討論思想對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)提出了較高的要求

幾何新定義題的出現(xiàn)為當(dāng)下數(shù)學(xué)教育的改革提出了新的要求，更加追求學(xué)科本質(zhì)，突出創(chuàng)新精神，注重學(xué)習(xí)過程，倡導(dǎo)思想發(fā)展，從而有力地促進(jìn)了教學(xué)理念的革新.在備考復(fù)習(xí)階段，利用優(yōu)秀的模考題開展教學(xué)探究，反思解題策略可以達(dá)到事半功倍的效果.

考題探究

問題（2020年江蘇省南通市模考題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，對(duì)于點(diǎn)A和線段BC，給出以下定義：如果△ABC為等腰直角三角形，則稱點(diǎn)A為BC的“等直點(diǎn)”;特別的，如果△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形，則稱點(diǎn)A為BC的“完美等直點(diǎn)1）如果B（-2，0），C（2，0），那么在D（0，2），E（4，4），F(xiàn)（-2，-4），G（0，V2中，線段BC的“等直點(diǎn)”是（2）已知B（0，-6），C（8，0）①如果雙曲線y=上存在點(diǎn)A，使得點(diǎn)A為BC的“完美等直點(diǎn)”，求ん的值.2在直線y=x+6上是否存在一點(diǎn)P使得點(diǎn)P為BC的“等直點(diǎn)”？如果存在請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo);如果不存在，請(qǐng)說明理由.

（3）如果B（0，2），C（2，0），⊙7的半徑為3，圓心為7（t，0）.當(dāng)在⊙7的內(nèi)部恰有三個(gè)點(diǎn)為線段BC的“等直點(diǎn)”時(shí)請(qǐng)直接寫出的取值范圍.

思路突破：本題目為涉及坐標(biāo)系的幾何新定義題，題干設(shè)定了與等腰直角三角形相關(guān)的新定義一等直點(diǎn)，問題解析需要理解該定義的具體內(nèi)容，然后結(jié)合相關(guān)知識(shí)進(jìn)行問題探究.由題設(shè)可知：對(duì)于由點(diǎn)A和線段BC構(gòu)成的等腰直角三角形，若BC為直角邊，則滿足一般的“等直點(diǎn)”，若BC為斜邊，則滿足“完美等直點(diǎn)”，因此問題探究需要對(duì)其中的線段進(jìn)行討論.

（1）該問已知點(diǎn)B和C的坐標(biāo)，則線段BC在坐標(biāo)系中的位置確定，只需確定D，E，F(xiàn)，G四點(diǎn)中哪個(gè)與BC構(gòu)成直角三角形即可.

根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)繪制如圖1所示圖像，觀察可知，△BDC和△FBC為等腰直角三角形，所以線段BC的“等直點(diǎn)”是D和F

（2）已知B（0，-6），C（8，0），則線段BC位于第四象限，且所處直線的斜率為正

①求雙曲線y=-上的點(diǎn)A為BC的“完美等直點(diǎn)”，需要把握其中的兩個(gè)條件：一是△ABC是以BC為斜邊的等腰直角三角形;二是雙曲線k的符號(hào)沒有設(shè)定，結(jié)合線段BC的位置需要討論點(diǎn)A位于第一和第四兩個(gè)象限的情形.（i）當(dāng)點(diǎn)A位于第四象限時(shí)，如圖2所示，由于點(diǎn)A是線段BC的“完美等直點(diǎn)”，則△ABC為以BC為斜邊的等腰直角三角形，則有∠BAC=90°，AB=AC.過點(diǎn)A分別作x軸和y軸的垂線，設(shè)垂足分別為E和F，如圖2，分析可證△AEC≌△AFB（AAS），則AE=AF.由點(diǎn)B和C的坐標(biāo)可知OB=6，OC=8，BC=10，設(shè)AE=AF=x，則CE=8-x，在Rt△ACE中，由勾股定理可得ACP=CEP+AEP，即（5V2）=x2+（8-x）2，可解得x=1（舍去）或x=7，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（7，-7），則N=-49.

（i）當(dāng)點(diǎn)A位于第一象限時(shí)，如圖2中的A1點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)A和A1關(guān)于直線BC對(duì)稱，直線A1為垂直于BC的直線，k=則結(jié)合點(diǎn)A坐標(biāo)可確定直線AA1的表達(dá)式為y=-4（x-7）-7，令x=，可解得x=1，y=1，即點(diǎn)41（1，1），則ん=1綜上可知，k的值為-49或1.

②該問求直線y=x+6上的點(diǎn)P為BC的“等直點(diǎn)”時(shí)的坐標(biāo)，需要關(guān)注其中隱含的信息，參考①問可知：若為“完美等直點(diǎn)”，只可能是A和A1，但A和A1顯然不在直線上，故BC只能為Rt△ABC的直角邊.對(duì)于該問有兩種解法：一是從函數(shù)視角出發(fā)，二是從幾何視角出發(fā).后續(xù)采用假設(shè)驗(yàn)證法，假設(shè)點(diǎn)P存在，進(jìn)行坐標(biāo)推理.

解法一：函數(shù)法

當(dāng)BC為直角邊時(shí)，則PC=BC=10由于PC⊥BC，則可將PC長(zhǎng)視為點(diǎn)P到直線BC：3x-4y-24=0的距離，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（a，a+6），由點(diǎn)到直線的距離公式可得3-4（a+6）-2410，解得a=2或=-98（舍去），則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，8）已知點(diǎn)P（2，8），C（8，0），則線段BC長(zhǎng)為V（8-0）+（2-8）2=10，顯然BC長(zhǎng)就為點(diǎn)P到直線BC的距離，則∠PCB=90°.所以直線y=x+6上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P為BC的“等直點(diǎn)”

解法二：幾何法

充分利用圖像中的特殊圖形和特殊關(guān)系來構(gòu)建方程.

過點(diǎn)C作PC⊥BC，與直線y=x+6相交于點(diǎn)P，過點(diǎn)P作x軸的垂線，設(shè)垂足為點(diǎn)E，如圖3所示.結(jié)合條件可證△PEC△COB，由相似性質(zhì)可得OC=PE_8_4設(shè)OBEC6CE=3x，PE=4x，則PC=5x，AE=PE=4x.因?yàn)镺A=6，則OE=4x-6=8-3x，解得x=2，所以PC=BC=10，此時(shí)△ABC為以∠PCB為直角的等腰直角三角形，所以點(diǎn)P為BC的“等直點(diǎn)”，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，8）

（3）該問探究⊙7的內(nèi)部恰好有三點(diǎn)為線段BC的“等直點(diǎn)”，需要分類討論，同時(shí)采用臨界極限法求解.

①當(dāng)位于⊙T的內(nèi)部，恰好線段BC的“等直點(diǎn)”為A，0，G時(shí)，如圖4，此時(shí)△ABC、△BCC和△OBC均為等腰直角三角形，當(dāng)⊙7過點(diǎn)G時(shí)，連接TG，可求得OT=V5.而當(dāng)⊙7過點(diǎn)時(shí)，如圖5，此時(shí)若△BCF、△BCH和△BCP為等腰直角三角形，連接TF，同理可得TC=V5，OT=V5-2.所以當(dāng)位于⊙7的內(nèi)部，恰好點(diǎn)A，0，G為線段BC的“等直點(diǎn)”時(shí)，t的取值范圍為ーV5《≤2

②當(dāng)位于⊙T的內(nèi)部，恰好線段BC的“等直點(diǎn)”為F，O，C時(shí).如圖6，此時(shí)3p過點(diǎn)A，有OT=AT-OA=1;而當(dāng)⊙T過點(diǎn)P時(shí)，如圖7，連接TP，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，則有TE=V5，所以07=4-V5.則當(dāng)位于⊙T的內(nèi)部，恰好點(diǎn)F、の、G為線段BC的“等直點(diǎn)”時(shí)，t的取值范圍為1≤≤4-V5.

③當(dāng)位于⊙7的內(nèi)部，恰好線段BC的“等直點(diǎn)”為F，O，P時(shí).如圖8，T過點(diǎn)G時(shí)，同理可得OT=V5;而當(dāng)⊙7過點(diǎn)O時(shí)，此時(shí)OT=3.所以當(dāng)位于⊙7的內(nèi)部，恰好點(diǎn)F，O，P為線段BC的“等直點(diǎn)”時(shí)，t的取值范圍為V5≤に3.綜上可知，當(dāng)位于⊙7的內(nèi)部，恰有三個(gè)點(diǎn)為線段BC的“等直點(diǎn)”時(shí)，t的取值范圍為ーV5《≤2-V5或1≤1≤4V5或V5≤《3.

思考總結(jié)

優(yōu)秀的新定義考題可引領(lǐng)教學(xué)方向，對(duì)于啟發(fā)學(xué)生思維有著積極作用上述所探究的是一道經(jīng)典的涉及直角坐標(biāo)系的幾何類新定義模考題，設(shè)問具有一定的難度梯度，可以引導(dǎo)學(xué)生理解“新定義”，總結(jié)方法，積累經(jīng)驗(yàn)，處理相關(guān)的綜合問題.下面從解題策略、教學(xué)實(shí)踐等方面進(jìn)一步反思總結(jié).

1.由試題看策略

結(jié)合上述幾何新定義考題，可將其突破過程總結(jié)為定義理解、方法總結(jié)、綜合應(yīng)用三個(gè)階段，實(shí)際上這也是大多數(shù)“新定義”試題的解題模式，因此在實(shí)際解題時(shí)可以采用如下策略

第一步，結(jié)合問題圖像，充分理解題干“新定義”'的表述內(nèi)容，初步利用定義來認(rèn)識(shí)簡(jiǎn)單的問題.

第二步，根據(jù)“新定義”來解決一些特殊的問題，總結(jié)相應(yīng)的解題方法和結(jié)論，形成定義問題的解題策略.

第三步，活用方法和結(jié)論，結(jié)合相關(guān)知識(shí)探究一些綜合性問題，注意由定義出發(fā)構(gòu)建模型，利用關(guān)聯(lián)知識(shí)處理模型.

幾何類“新定義”問題往往與幾何圖像聯(lián)系緊密，在實(shí)際求解時(shí)注意采用數(shù)形結(jié)合、分類討論的思想方法，借用直觀的圖形簡(jiǎn)化圖像，降低思維難度.同時(shí)合理利用圖形有助于發(fā)現(xiàn)圖像中的隱含關(guān)系，構(gòu)建解題思路.

2.由試題看教學(xué)

幾何“新定義”考題的“新”主要體現(xiàn)在形式上，對(duì)于學(xué)生而言，問題中的概念、定義是教材中所沒有的，但考題內(nèi)容并沒有脫離教材，因此教學(xué)“新定義”題首要是使學(xué)生脫離思想枷鎖.其次是幫助學(xué)生鞏固知識(shí)基礎(chǔ)，由題干定義出發(fā)，將所涉內(nèi)容定位到教材知識(shí)點(diǎn)上，如上述“等直點(diǎn)”顯然就是考查等腰直角三角形的性質(zhì)，因此可聯(lián)系勾股定理、等角對(duì)等邊、“三線合一”等知識(shí)來處理.

“新定義”題的突破過程對(duì)學(xué)生的能力和思維有著較高的要求，教學(xué)引導(dǎo)最關(guān)鍵的一點(diǎn)是提升學(xué)生的推理論證能力，問題的求解過程實(shí)則為“學(xué)以致用”的過程，因此需要引導(dǎo)學(xué)生注意總結(jié)方法，概括結(jié)論，活學(xué)活用，靈活變通.同時(shí)幾何“新定義”問題的解析方法較為多樣，對(duì)于涉及直角坐標(biāo)系的幾何類問題，可從函數(shù)、幾何兩大視角進(jìn)行突破，教學(xué)中應(yīng)鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，創(chuàng)新思維，綜合所學(xué)探究解法，優(yōu)化思路.教學(xué)課堂提倡開放、互動(dòng)、交流、探索，以拓展學(xué)生思維，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)為最終目的.