矩陣初等變換的應用舉例

摘?要：矩陣的初等變換是高等代數的重要組成部分，其思想貫穿于高等代數的始終，在矩陣的理論研究中占有非常重要的地位。而大部分的《高等代數》教科書理論性很強，例題很少，學生學起來比較吃力，本文主要舉例探討初等變換在矩陣的逆、矩陣的秩、線性方程組的解、向量組的線性相關性、二次型的標準化等方面的應用，以供高代初學者一個學習參考。

關鍵詞：初等變換;逆矩陣;矩陣的秩;相關性;二次型標準化

1 緒論

在高等代數中，數域P上的矩陣的初等變換是指下列三種變換：[1]

由行列式的性質知，每個方陣做初等變換后不改變方陣的行列式的非零性，因此可以通過對方陣做初等變換來判斷原矩陣是否可逆。當然，這僅僅是矩陣初等變換的簡單應用，它在高等代數的主要應用體現在以下幾點：求矩陣的逆、求矩陣的秩，求向量組的極大線性無關組以及線性相關性，求線性方程組的解，二次型的標準化等。

2 矩陣初等變換的應用

2.1 求矩陣的逆矩陣

說明：在求逆矩陣的過程中，初等行變換和初等列變換，只能使用某一種，不能同時用兩種方法。

2.2 初等行變換法求矩陣的秩

對于任給的矩陣，利用初等行變換化成行階梯型矩陣，那么階梯型矩陣中非零行的數目就是矩陣的秩。

2.3 求線性方程組的解

求解非齊次線性方程組一般解的步驟為：

3 結語

本文僅介紹初等變換在求矩陣的逆、矩陣的秩、向量組的線性相關性，線性方程組的解、二次型的標準化等方面的應用，它還有許多應用，這就要求我們在高等代數的學習和教學中要注意歸納總結。

參考文獻：

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[3]張芳英，朱睦正.矩陣初等變換在高等代數中的應用及教學研究[J].河西學院報，2020，36（2）：117-122.

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作者簡介：陳小燕（1982—?），女，海南臨高人，本科，碩士，講師，研究方向：基礎數學、數論。